Method in nonlinear control theory
制御システム において 、 スライディングモード制御 （ SMC ）は、 不連続な 制御信号（より厳密には、設定値制御信号）を適用することで 非線形 システム の ダイナミクスを 変化させ 、システムの通常動作の断面に沿ってシステムを「スライド」させる非線形制御手法です。 状態 フィードバック制御則は時間の 連続関数 ではありません 。代わりに、状態空間における現在の位置に基づいて、ある連続構造から別の連続構造に切り替えることができます。したがって、スライディングモード制御は可変構造制御手法です 。 複数 の制御構造は、軌道が常に異なる制御構造を持つ隣接領域に向かって移動するように設計されているため、最終的な軌道は1つの制御構造内に完全には収まりません。代わりに、最終的な軌道は制御構造の境界に沿って スライドします。これらの境界に沿ってスライドするシステムの運動は スライディングモード [1] と呼ばれ、 境界で構成される 幾何学的 軌跡は スライディング（超）面 と呼ばれます。現代制御理論の文脈では、 SMC のシステムのような 可変構造システムは、連続状態空間を流れるだけでなく、さまざまな離散制御モードも移動するため、 ハイブリッド動的システム の特殊なケースとして見ることができ ます。
導入 図1: スライディングモード制御器によって安定化されるシステムの 位相平面 軌道。初期の到達位相の後、システムの状態は直線 に沿って「スライド」する。この特定の 面が選択された理由は、それに制約された際に望ましい低次元ダイナミクスを示すためである。この場合、面は 指数的に安定な 原点を持つ 1次 LTIシステム に対応する。 s = 0 {\displaystyle s=0} s = 0 {\displaystyle s=0} s = x 1 + x ˙ 1 = 0 {\displaystyle s=x_{1}+{\dot {x}}_{1}=0} x ˙ 1 = − x 1 {\displaystyle {\dot {x}}_{1}=-x_{1}} 図1は、スライディングモード制御下のシステムの軌跡の例を示しています。スライディング面は で記述され 、システムの軌跡が表面に到達してから有限時間後に、表面に沿ったスライディングモードが開始されます。スライディングモードの理論的記述では、システムはスライディング面内に限定され、表面に沿って滑走しているだけと見なせば十分です。しかし、実際のスライディングモード制御の実装では、この理論的挙動を、高周波で一般的に非決定論的なスイッチング制御信号によって近似します。このスイッチング制御信号は、スライディング面のごく近傍でシステムを「チャタリング」 [注1]させます。チャタリングは、スライディング面の周囲に デッドバンド や境界層を設けるなどの補償方法によって軽減できます 。システムは一般に非線形ですが、図1のシステムでは、表面に限定された理想的な（すなわちチャタリングのない）挙動は、 指数関数的に安定した 原点を持つ LTIシステム です 。補償法の1つは、 [2] [3] で提案された適応スライディングモード制御法であり 、推定された不確実性を使用して連続的な制御則を構築します。この方法では、精度を維持しながらチャタリングが除去されます（詳細については、参考文献[2]および[3]を参照してください）。提案された適応スライディングモードコントローラの3つの際立った特徴は次のとおりです。(i)構造化（またはパラメトリック）な不確実性と非構造化の不確実性（モデル化されていないダイナミクス、未知の外部擾乱）が、集中不確実性と呼ばれる単一のタイプの不確実性項に統合されます。したがって、システムの線形パラメータ化された動的モデルは必要なく、このアプローチの単純な構造と計算効率の高い特性により、リアルタイム制御アプリケーションに適しています。(ii)適応スライディングモード制御方式の設計は、最悪ケースのシナリオ（つまり、不確実性の境界）ではなく、オンラインで推定された不確実性ベクトルに依存します。したがって、不確実性の境界に関する事前の知識は必要なく、各時点で、制御入力によって存在する不確実性が補償されます。 (iii) スライディングモード制御理論の基礎を用いて開発された連続制御則は、境界層アプローチでよく見られる性能と堅牢性のトレードオフなしにチャタリング現象を排除します。 s = 0 {\displaystyle s=0} s = 0 {\displaystyle s=0}
直感的に言えば、スライディングモード制御は、実質的に無限の ゲインを用いて、 動的システム の軌跡を 制限されたスライディングモード部分空間に沿って滑らせる。この低次元スライディングモードからの軌跡は、望ましい特性を持つ（例えば、システムは所望の 平衡点 で静止するまで、自然にその軌跡に沿って滑る）。スライディングモード制御の主な強みは、その 堅牢性 である。制御は2つの状態（例えば、「オン」/「オフ」または「前進」/「後進」）間の切り替えのように単純であるため、精密である必要はなく、制御チャネルに入力されるパラメータの変動の影響を受けない。さらに、制御則は 連続関数ではないため、 有限 時間でスライディングモードに到達できる （つまり、漸近挙動よりも優れている）。特定の一般的な条件下では、 最適性を実現するために バンバン制御 の使用が必要となる 。したがって、スライディングモード制御は、 幅広い動的システムに対する 最適な制御器である。
スライディングモード制御器の応用例の一つとして、スイッチング電力変換器によって駆動される電気駆動装置の制御が挙げられます。 [4] ：「はじめに」 これらの変換器は不連続動作モードであるため、 パルス幅変調 や、離散状態しかとれない出力に連続信号を適用する類似の手法 [注 2] を用いて適用する必要がある連続制御器よりも、不連続スライディングモード制御器が自然な実装選択肢となります。スライディングモード制御はロボット工学において多くの応用例があります。特に、この制御アルゴリズムは、模擬荒波における無人水上船舶の追従制御に高い成功を収めて用いられています。 [5] [6]
スライディングモード制御は、制御動作がより緩やかな他の非線形制御 よりも、より慎重に適用する必要がある 。特に、アクチュエータには遅延などの不完全性があるため、スライディングモード制御のハードな動作は、チャタリング、エネルギー損失、プラントの損傷、そしてモデル化されていないダイナミクスの励起につながる可能性がある。 [7] : 554–556 連続制御設計法はこれらの問題の影響を受けにくく、スライディングモード制御器を模倣することができる。 [7] : 556–563
制御方式 次のように記述される 非線形動的システム を考える。
x ˙ ( t ) = f ( x , t ) + B ( x , t ) u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\,\mathbf {u} (t)} 1
どこ
x ( t ) ≜ [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋮ x n − 1 ( t ) x n ( t ) ] ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n-1}(t)\\x_{n}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}} はn 次元の 状態 ベクトル で あり、
u ( t ) ≜ [ u 1 ( t ) u 2 ( t ) ⋮ u m − 1 ( t ) u m ( t ) ] ∈ R m {\displaystyle \mathbf {u} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{m-1}(t)\\u_{m}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{m}} は状態フィードバック に用いられる m 次元の入力ベクトルである 。 関数 とが 連続 かつ十分に 滑らか である と仮定し、 ピカール・リンデレフの定理 を用いて 式( 1 )の解が 存在し 、 かつ一意で あることが保証される。 f : R n × R → R n {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}} B : R n × R → R n × m {\displaystyle B:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n\times m}} x ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)}
一般的なタスクは、状態フィードバック 制御則 （すなわち、時刻 t における現在の状態から入力 への マッピング ）を設計して 、式（ 1 ）の 動的システムを 原点 の周りで 安定させる ことです。つまり、この制御則の下では、システムが原点から離れて開始されるたびに、原点に戻ります。たとえば、 状態ベクトルの成分は 、出力の一部が既知の信号（望ましい正弦波信号など）から離れていることの差を表すことができます。制御によって が すぐに に戻る ことを保証できれば 、出力は望ましい正弦波を追跡します。スライディングモード制御では、設計者は、システムがその構成空間 のサブ スペース に制約されている限り、システムが好ましく動作する（たとえば、安定した 平衡 を持つ）ことを知っています。スライディングモード制御は、システムの軌跡をこのサブスペースに強制し、そこで保持して、システムがそのサブスペースに沿ってスライドするようにします。この低次元部分空間は スライディング（超）面 と呼ばれ、閉ループフィードバックによって軌道がそれに沿って滑るように強制される場合、 閉ループシステムの スライディングモードと呼ばれます。この部分空間に沿った軌道は、 LTIシステム の固有ベクトル（すなわちモード）に沿った軌道に似ています。ただし、スライディングモードは、高ゲインフィードバックによってベクトル場を増大させることによって強化されます。ひび割れに沿って転がるビー玉のように、軌道はスライディングモードに限定されます。 u ( x ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} (t))} x ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)} u {\displaystyle \mathbf {u} } x = [ 0 , 0 , … , 0 ] ⊺ {\displaystyle \mathbf {x} =[0,0,\ldots ,0]^{\intercal }} x 1 {\displaystyle x_{1}} x {\displaystyle \mathbf {x} } u {\displaystyle \mathbf {u} } x 1 {\displaystyle x_{1}} x 1 = 0 {\displaystyle x_{1}=0}
スライディングモード制御方式は、
システムの軌道がこの多様体に限定されたときに望ましい動作を示すような超曲面 または多様体 (つまり、スライディング サーフェス) を選択します。 システムの軌道が多様体と交差してその上に留まるようにフィードバック ゲインを見つけます。 スライディングモード制御則は連続 ではないため 、有限時間内に軌道をスライディングモードに導く能力を持つ（すなわち、スライディング面の安定性は漸近安定性よりも優れている）。しかし、軌道がスライディング面に到達すると、システムはスライディングモードの特性を帯びる（例えば、原点は この面上でのみ漸近安定性を持つ）。 x = 0 {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }
スライディング モード デザイナーは、 スライディング サーフェスから 状態が離れている一種の「距離」を表す スイッチング関数を選択します。 σ : R n → R m {\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} x {\displaystyle \mathbf {x} }
この滑り面の外側にある 状態は です 。 x {\displaystyle \mathbf {x} } σ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\neq 0} この滑り面上にある状態は です 。 σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0} スライディングモード制御則は、この距離の 符号 に基づいて、ある状態から別の状態へと切り替わります。したがって、スライディングモード制御は、常にスライディングモードの方向に押し付ける硬い圧力のように機能します 。望ましい 軌道はスライディング面に近づきますが、制御則は 連続的 ではないため（つまり、軌道がこの面を横切るにつれて、ある状態から別の状態へと切り替わるため）、有限時間内に面に到達します。軌道が面に到達すると、その面に沿って滑り、例えば 原点に向かって移動することがあります。したがって、切り替え関数は、軌道が強制的に移動する一定の高さの等高線を持つ 地形図 のようなものです。 σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0} x ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)} x = 0 {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }
スライディング（超）面／多様体は、典型的には次元であり 、 n は状態の数 、 mは 入力信号（すなわち制御信号）の数である 。各制御インデックスに対して、 次式で表される次元のスライディング面が 存在する。 n − m {\displaystyle n-m} x {\displaystyle \mathbf {x} } u {\displaystyle \mathbf {u} } 1 ≤ k ≤ m {\displaystyle 1\leq k\leq m} ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)}
{ x ∈ R n : σ k ( x ) = 0 } {\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma _{k}(\mathbf {x} )=0\right\}} 2
SMC設計の重要な部分は、スライディングモード（すなわち、 で与えられるこの面 ）が存在し、システムの軌跡に沿って到達可能であるような制御則を選択することである。スライディングモード制御の原理は、適切な制御戦略によって、システムが望ましい特性を示すスライディング面上にとどまるように強制的に制約することである。システムがスライディング制御によってスライディング面上にとどまるように制約されている場合、システムのダイナミクスは式( 2 )で得られる低次元システムによって支配される。 σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
システムの状態が を満たすように強制するには 、次の操作を行う必要があります。 x {\displaystyle \mathbf {x} } σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
システムが どんな初期状態からでも到達可能であることを確認する σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} } に達すると 、制御アクションはシステムを σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} } σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
閉ループソリューションの存在 制御則は 連続ではないため、局所的に リプシッツ連続で はないことは確かであり 、そのため 閉ループシステムの解の存在と一意性は ピカール・リンデレフの定理 では保証さ れない ことに注意されたい。したがって、解は フィリッポフの 意味で理解される 。 [1] [8] 大まかに言えば、結果として得られる閉ループシステムは 滑らかな ダイナミクス で近似されるが、この滑らかな動作は真に実現可能ではない可能性がある。同様に、高速 パルス幅変調 や デルタシグマ変調は 2つの状態のみをとる出力を生成するが、有効出力は連続的な動作範囲で変動する。これらの複雑さは、連続コントローラを生成する異なる 非線形制御 設計法を使用することで回避できる。場合によっては、スライディングモード制御設計を他の連続制御設計で近似できる。 [7] σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} } σ ˙ ( x ) = 0 ; {\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} ;}
理論的基礎 以下の定理は可変構造制御の基礎となります。
定理1：スライディングモードの存在 リャプノフ関数の 候補 を考える
V ( σ ( x ) ) = 1 2 σ ⊺ ( x ) σ ( x ) = 1 2 ‖ σ ( x ) ‖ 2 2 {\displaystyle V(\sigma (\mathbf {x} ))={\frac {1}{2}}\sigma ^{\intercal }(\mathbf {x} )\sigma (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\|\sigma (\mathbf {x} )\|_{2}^{2}} 3
ここで 、は ユークリッドノルム （すなわち、 は滑り多様体からの距離であり、ここで）。式（ 1 ）で与えられる系と式（ 2 ）で与えられる滑り面に対して 、滑りモードが存在するための十分な条件は、 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|} ‖ σ ( x ) ‖ 2 {\displaystyle \|\sigma (\mathbf {x} )\|_{2}} σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
σ ⊺ ⏞ ∂ V ∂ σ σ ˙ ⏞ d σ d t ⏟ d V d t < 0 (i.e., d V d t < 0 ) {\displaystyle \underbrace {\overbrace {\sigma ^{\intercal }} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \sigma }}\overbrace {\dot {\sigma }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}} _{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0\qquad {\text{(i.e., }}{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0{\text{)}}} によって与えられた表面の 近傍 において 。 σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
大まかに言えば（つまり、のときの スカラー 制御の場合 ）、 を達成するには、 とが逆の符号を持つように フィードバック制御則 を選択する 。つまり、 m = 1 {\displaystyle m=1} σ ⊺ σ ˙ < 0 {\displaystyle \sigma ^{\intercal }{\dot {\sigma }}<0} u ( x ) {\displaystyle u(\mathbf {x} )} σ {\displaystyle \sigma } σ ˙ {\displaystyle {\dot {\sigma }}}
u ( x ) {\displaystyle u(\mathbf {x} )} が正の場合、負に なります 。 σ ˙ ( x ) {\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )} σ ( x ) {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )} u ( x ) {\displaystyle u(\mathbf {x} )} が負のときは正に なります 。 σ ˙ ( x ) {\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )} σ ( x ) {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )} ご了承ください
σ ˙ = ∂ σ ∂ x x ˙ ⏞ d x d t = ∂ σ ∂ x ( f ( x , t ) + B ( x , t ) u ) ⏞ x ˙ {\displaystyle {\dot {\sigma }}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\dot {\mathbf {x} }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\mathbf {u} \right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}} したがってフィードバック制御法則 は に直接影響を及ぼします 。 u ( x ) {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )} σ ˙ {\displaystyle {\dot {\sigma }}}
到達可能性: 有限時間内でスライディング多様体を達成する スライディングモードが 有限時間内に到達することを保証するためには、 ゼロからより強く制限する必要がある。つまり、スライディングモードが急速に消滅すると、スライディングモードへの引力は漸近的なものにしかならない。スライディングモードが有限時間内に到達することを保証するには、 [9] σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} } d V / d t {\displaystyle \operatorname {d} V/{\operatorname {d} t}}
d V d t ≤ − μ ( V ) α {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\sqrt {V}})^{\alpha }} ここで 、および は定数です。 μ > 0 {\displaystyle \mu >0} 0 < α ≤ 1 {\displaystyle 0<\alpha \leq 1}
比較補題による説明 この条件は、スライディングモードの近傍において 、 V ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle V\in [0,1]}
d V d t ≤ − μ ( V ) α ≤ − μ V . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\sqrt {V}})^{\alpha }\leq -\mu {\sqrt {V}}.} したがって 、 V ∈ ( 0 , 1 ] {\displaystyle V\in (0,1]}
1 V d V d t ≤ − μ , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {V}}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ,} これは 連鎖律 （つまり、 ）により 、 d W / d t {\displaystyle \operatorname {d} W/{\operatorname {d} t}} W ≜ 2 V {\displaystyle W\triangleq 2{\sqrt {V}}}
D + ( 2 V ⏞ ∝ ‖ σ ‖ 2 ⏟ W ) ⏟ D + W ≜ Upper right-hand W ˙ = 1 V d V d t ≤ − μ {\displaystyle {\mathord {\underbrace {D^{+}{\Bigl (}{\mathord {\underbrace {2{\mathord {\overbrace {\sqrt {V}} ^{{}\propto \|\sigma \|_{2}}}}} _{W}}}{\Bigr )}} _{D^{+}W\,\triangleq \,{\mathord {{\text{Upper right-hand }}{\dot {W}}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu } ここで は の右上導関数 で あり、記号 は 比例関係に あることを表す。したがって、 初期条件 を持つ 微分方程式で表される 曲線と比較すると、 すべての t に対してが成り立つ 。さらに、 は有限時間内に に達する必要があるため 、 V も有限時間内に に達する（つまり、システムがスライディングモードに入る）必要があることを意味する 。 [ 7 ] は スイッチング 関数 の ユークリッドノルム に比例する ため 、この結果は、スライディングモードへの接近速度がゼロから確実に制限されなければならないことを意味する。 D + {\displaystyle D^{+}} 2 V {\displaystyle 2{\sqrt {V}}} ∝ {\displaystyle \propto } z ( t ) = z 0 − μ t {\displaystyle z(t)=z_{0}-\mu t} z ˙ = − μ {\displaystyle {\dot {z}}=-\mu } z ( 0 ) = z 0 {\displaystyle z(0)=z_{0}} 2 V ( t ) ≤ V 0 − μ t {\displaystyle 2{\sqrt {V(t)}}\leq V_{0}-\mu t} V ≥ 0 {\displaystyle {\sqrt {V}}\geq 0} V {\displaystyle {\sqrt {V}}} V = 0 {\displaystyle {\sqrt {V}}=0} V = 0 {\displaystyle V=0} V {\displaystyle {\sqrt {V}}} ‖ ⋅ ‖ 2 {\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|_{2}} σ {\displaystyle \sigma }
スライディングモード制御への影響 スライディングモード制御の文脈では、この条件は次のことを意味する。
σ ⊺ ⏞ ∂ V ∂ σ σ ˙ ⏞ d σ d t ⏟ d V d t ≤ − μ ( ‖ σ ‖ 2 ⏞ V ) α {\displaystyle \underbrace {\overbrace {\sigma ^{\intercal }} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \sigma }}\overbrace {\dot {\sigma }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}} _{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\mathord {\overbrace {\|\sigma \|_{2}} ^{\sqrt {V}}}})^{\alpha }} ここでは ユークリッドノルム である 。スイッチング関数がスカラー値である場合 、十分条件は次のようになる。 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|} σ {\displaystyle \sigma }
σ σ ˙ ≤ − μ | σ | α {\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}\leq -\mu |\sigma |^{\alpha }} 。 をとると 、スカラー十分条件は次のようになる。 α = 1 {\displaystyle \alpha =1}
sgn ( σ ) σ ˙ ≤ − μ {\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma ){\dot {\sigma }}\leq -\mu } これは次の条件と同等である。
sgn ( σ ) ≠ sgn ( σ ˙ ) and | σ ˙ | ≥ μ > 0 {\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )\neq \operatorname {sgn} ({\dot {\sigma }})\qquad {\text{and}}\qquad |{\dot {\sigma }}|\geq \mu >0} 。 つまり、システムは常にスイッチング面に向かって移動し 、 スイッチング面に向かう速度の下限は非ゼロでなければなりません。したがって、たとえ がスイッチング面 に近づく につれてほぼゼロに近づくとしても 、 は常にゼロから確実に離れた値でなければなりません。この条件を保証するために、スライディングモード制御器は多様体全体で不連続であり 、 軌道が多様体を横切るにつれて、ある非ゼロ値から別の非ゼロ値へと 切り替わります。 σ = 0 {\displaystyle \sigma =0} | σ ˙ | {\displaystyle |{\dot {\sigma }}|} σ {\displaystyle \sigma } x {\displaystyle \mathbf {x} } σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} } σ ˙ {\displaystyle {\dot {\sigma }}} σ = 0 {\displaystyle \sigma =0}
定理2: 吸引領域 式（ １ ）で与えられる系と式（ ２ ）で与えられる滑り面に対して 、表面が到達可能な部分空間は 次のように与えられる。 { x ∈ R n : σ ( x ) = 0 } {\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} \}}
{ x ∈ R n : σ ⊺ ( x ) σ ˙ ( x ) < 0 } {\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma ^{\intercal }(\mathbf {x} ){\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )<0\}} つまり、初期条件がすべてこの空間から与えられる場合、リャプノフ関数候補は リャプノフ関数 となり 、 軌道は必ず となるスライディングモード面へと移動する。さらに、定理1の到達可能条件が満たされる場合、スライディングモードは 有限時間内に がゼロからより強く制限される 領域に入る。したがって、スライディングモードは 有限時間内に達成される。 V ( σ ) {\displaystyle V(\sigma )} x {\displaystyle \mathbf {x} } σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} } V ˙ {\displaystyle {\dot {V}}} σ = 0 {\displaystyle \sigma =0}
定理3: 滑り運動 させて
∂ σ ∂ x B ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial {\mathbf {x} }}}B(\mathbf {x} ,t)} は 特異でない 。つまり、システムは、 軌道をスライディングモードに近づける制御が常に存在するような 制御性を 持つ。そして、スライディングモード（ ）に到達すると、システムはそのスライディングモードに留まる。スライディングモード軌道に沿っては、 は一定であり、したがってスライディングモード軌道は微分方程式で記述される。 σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} } σ ( x ) {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}
σ ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\sigma }}=\mathbf {0} } 。 この微分方程式 に関して - 平衡が 安定して いる 場合 、システムはスライディング モード面に沿って平衡に向かってスライドします。 x {\displaystyle \mathbf {x} }
スライディングモードにおける等価制御則は、次のように解くことが できる 。
σ ˙ ( x ) = 0 {\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=0} 等価制御則について は、 u ( x ) {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}
∂ σ ∂ x ( f ( x , t ) + B ( x , t ) u ) ⏞ x ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\mathbf {u} \right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} } そして同等の制御
u = − ( ∂ σ ∂ x B ( x , t ) ) − 1 ∂ σ ∂ x f ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {u} =-\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)} つまり、実際の制御は 連続的 ではないものの 、スライディング モードを横切る急速な切り替えによって、 システムはあたかも この連続制御によって駆動されているかのように 動作することになります。 u {\displaystyle \mathbf {u} } σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
同様に、スライディングモード上のシステム軌道は、
x ˙ = f ( x , t ) − B ( x , t ) ( ∂ σ ∂ x B ( x , t ) ) − 1 ∂ σ ∂ x f ( x , t ) ⏞ f ( x , t ) + B ( x , t ) u = f ( x , t ) ( I − B ( x , t ) ( ∂ σ ∂ x B ( x , t ) ) − 1 ∂ σ ∂ x ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {f(\mathbf {x} ,t)-B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)} ^{f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u}=f(\mathbf {x} ,t)\left(\mathbf {I} -B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\right)} 結果として得られるシステムはスライディングモード微分方程式と一致する。
σ ˙ ( x ) = 0 {\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} } 、スライディングモード面 、および到達段階からの軌道条件は、上記で導出したより単純な条件に簡約されます。したがって、 システムがスライディングモードを見つけるまでの期間、いくつかの初期過渡状態の後、システムはより単純な条件に従うと仮定できます。等式が近似的に成立する場合のみ、同じ運動が近似的に維持されます 。 σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} } σ ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\sigma }}=0} σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
これらの定理から、制御チャネルを介してシステムに入力される十分に小さな外乱に対して、スライディング動作は不変（すなわち、鈍感）であることが分かります。つまり、制御が十分に大きく 、 かつゼロから一様に離れている限り、外乱が存在しないかのようにスライディングモードが維持されます。スライディングモード制御の特定の外乱およびモデルの不確実性に対する不変性は、その最も魅力的な特徴であり、非常に ロバスト です。 σ ⊺ σ ˙ < 0 {\displaystyle \sigma ^{\intercal }{\dot {\sigma }}<0} σ ˙ {\displaystyle {\dot {\sigma }}}
以下の例で説明するように、スライディングモード制御則は制約を維持することができる。
x ˙ + x = 0 {\displaystyle {\dot {x}}+x=0} 任意のシステムを漸近的に安定化するためには、
x ¨ = a ( t , x , x ˙ ) + u {\displaystyle {\ddot {x}}=a(t,x,{\dot {x}})+u} が有限の上限を持つ とき、スライディングモードは次のようになる。 a ( ⋅ ) {\displaystyle a(\cdot )}
x ˙ = − x {\displaystyle {\dot {x}}=-x} （つまり、 ）。つまり、システムがこのように制約されている場合、それは単純な 安定した 線形システム のように動作し、したがって 原点において大域的に指数的に安定した平衡状態を持ちます。 x ˙ + x = 0 {\displaystyle {\dot {x}}+x=0} ( x , x ˙ ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (x,{\dot {x}})=(0,0)}
制御設計の例 式（ 1 ）で記述されるプラントで、単一の入力 u （すなわち、 ）を持つ プラント を考える 。スイッチング関数は、 次の線形結合として 選択される。 m = 1 {\displaystyle m=1} σ ( x ) ≜ s 1 x 1 + s 2 x 2 + ⋯ + s n − 1 x n − 1 + s n x n {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\triangleq s_{1}x_{1}+s_{2}x_{2}+\cdots +s_{n-1}x_{n-1}+s_{n}x_{n}} 4
ここで、すべての に対する 重みは である 。滑り面は の 単体で ある 。軌道がこの面に沿って滑るように強制されると、 s i > 0 {\displaystyle s_{i}>0} 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0} σ ˙ ( x ) = 0 {\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=0} など s 1 x ˙ 1 + s 2 x ˙ 2 + ⋯ + s n − 1 x ˙ n − 1 + s n x ˙ n = 0 {\displaystyle s_{1}{\dot {x}}_{1}+s_{2}{\dot {x}}_{2}+\cdots +s_{n-1}{\dot {x}}_{n-1}+s_{n}{\dot {x}}_{n}=0} これは低次元システムである（つまり、この新しいシステムは次元スライディングモード単体 に制約されているため、次元である ）。この面は好ましい特性を持つ可能性がある（例えば、プラントのダイナミクスがこの面に沿ってスライドするように強制されると、プラントは原点に向かって移動する）。式（ 3 ） の リアプノフ関数 の微分をとると、 n − 1 {\displaystyle n-1} ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} x = 0 {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} } V ˙ ( σ ( x ) ) = σ ( x ) T ⏞ ∂ V ∂ x σ ˙ ( x ) ⏞ d σ d t {\displaystyle {\dot {V}}(\sigma (\mathbf {x} ))=\overbrace {\sigma (\mathbf {x} )^{\text{T}}} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}} を確実にするために 、フィードバック制御則は 次のように選択されなければならない。 V ˙ < 0 {\displaystyle {\dot {V}}<0} u ( x ) {\displaystyle u(\mathbf {x} )} { σ ˙ < 0 if σ > 0 σ ˙ > 0 if σ < 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\sigma }}<0&{\text{if }}\sigma >0\\{\dot {\sigma }}>0&{\text{if }}\sigma <0\end{cases}}} したがって、積は 負の数と正の数の積です。注意すべき点は、 σ σ ˙ < 0 {\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0} σ ˙ ( x ) = ∂ σ ( x ) ∂ x x ˙ ⏞ σ ˙ ( x ) = ∂ σ ( x ) ∂ x ( f ( x , t ) + B ( x , t ) u ) ⏞ x ˙ = [ s 1 , s 2 , … , s n ] ⏞ ∂ σ ( x ) ∂ x ( f ( x , t ) + B ( x , t ) u ) ⏞ x ˙ ⏟ ( i.e., an n × 1 vector ) {\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\overbrace {{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}={\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {[s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}]} ^{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\underbrace {\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}} _{{\text{( i.e., an }}n\times 1{\text{ vector )}}}} 5
制御則 は次のように選択される。 u ( x ) {\displaystyle u(\mathbf {x} )} u ( x ) = { u + ( x ) if σ ( x ) > 0 u − ( x ) if σ ( x ) < 0 {\displaystyle u(\mathbf {x} )={\begin{cases}u^{+}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )>0\\u^{-}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )<0\end{cases}}} どこ u + ( x ) {\displaystyle u^{+}(\mathbf {x} )} は、式（ ５ ）（すなわち、 ）が 負である ことを保証する何らかの制御（例えば、「オン」または「前進」のような極端なもの）である 。 σ ˙ {\displaystyle {\dot {\sigma }}} x {\displaystyle \mathbf {x} } u − ( x ) {\displaystyle u^{-}(\mathbf {x} )} は、式（ ５ ）（すなわち、 ）が 次の式で 正である ことを保証する何らかの制御（例えば、「オフ」や「リバース」のような極端なもの）である。 σ ˙ {\displaystyle {\dot {\sigma }}} x {\displaystyle \mathbf {x} } 結果として得られる軌道は、 となるスライディング面に向かって移動するはずです 。実際のシステムには遅延があるため、スライディングモードの軌道は、このスライディング面に沿って前後に 揺れ動くこと がよくあります（つまり、真の軌道は にスムーズに追従しない可能性があります が、スライディングモードを離れた後は必ず に戻ります）。 σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0} σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0} x ¨ = a ( t , x , x ˙ ) + u {\displaystyle {\ddot {x}}=a(t,x,{\dot {x}})+u} これは2次元 状態空間 （および ） で次のように
表現できる。 x 1 = x {\displaystyle x_{1}=x} x 2 = x ˙ {\displaystyle x_{2}={\dot {x}}} { x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = a ( t , x 1 , x 2 ) + u {\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{2}\\{\dot {x}}_{2}=a(t,x_{1},x_{2})+u\end{cases}}} また、（つまり、 既知の 有限の上限 k を持つ）と仮定する。このシステムでは、スイッチング関数を選択する。 sup { | a ( ⋅ ) | } ≤ k {\displaystyle \sup\{|a(\cdot )|\}\leq k} | a | {\displaystyle |a|} σ ( x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 = x + x ˙ {\displaystyle \sigma (x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}=x+{\dot {x}}} 前の例によれば、となるような フィードバック制御則を選択する必要があります 。ここで、 u ( x , x ˙ ) {\displaystyle u(x,{\dot {x}})} σ σ ˙ < 0 {\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0} σ ˙ = x ˙ 1 + x ˙ 2 = x ˙ + x ¨ = x ˙ + a ( t , x , x ˙ ) + u ⏞ x ¨ {\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {x}}_{1}+{\dot {x}}_{2}={\dot {x}}+{\ddot {x}}={\dot {x}}\,+\,\overbrace {a(t,x,{\dot {x}})+u} ^{\ddot {x}}} （つまり のとき ） を作るには 、 制御則は次のように選ぶ必要がある。 x + x ˙ < 0 {\displaystyle x+{\dot {x}}<0} σ < 0 {\displaystyle \sigma <0} σ ˙ > 0 {\displaystyle {\dot {\sigma }}>0} u > | x ˙ + a ( t , x , x ˙ ) | {\displaystyle u>|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|} （つまり のとき ） を作るには 、 制御則は次のように選ぶ必要がある。 x + x ˙ > 0 {\displaystyle x+{\dot {x}}>0} σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} σ ˙ < 0 {\displaystyle {\dot {\sigma }}<0} u < − | x ˙ + a ( t , x , x ˙ ) | {\displaystyle u<-|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|} しかし、 三角不等式 により、 | x ˙ | + | a ( t , x , x ˙ ) | ≥ | x ˙ + a ( t , x , x ˙ ) | {\displaystyle |{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|\geq |{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|} そして、についての仮定により 、 | a | {\displaystyle |a|} | x ˙ | + k + 1 > | x ˙ | + | a ( t , x , x ˙ ) | {\displaystyle |{\dot {x}}|+k+1>|{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|} したがって、システムは制御則によってフィードバック安定化（スライディングモードに戻る）できる。 u ( x , x ˙ ) = { | x ˙ | + k + 1 if x + x ˙ ⏟ < 0 , − ( | x ˙ | + k + 1 ) if x + x ˙ ⏞ σ > 0 {\displaystyle u(x,{\dot {x}})={\begin{cases}|{\dot {x}}|+k+1&{\text{if }}\underbrace {x+{\dot {x}}} <0,\\-\left(|{\dot {x}}|+k+1\right)&{\text{if }}\overbrace {x+{\dot {x}}} ^{\sigma }>0\end{cases}}} これは次のように 閉じた形 で表現できる。 u ( x , x ˙ ) = − ( | x ˙ | + k + 1 ) sgn ( x ˙ + x ⏞ σ ) ⏟ (i.e., tests σ > 0 ) {\displaystyle u(x,{\dot {x}})=-(|{\dot {x}}|+k+1)\underbrace {\operatorname {sgn} (\overbrace {{\dot {x}}+x} ^{\sigma })} _{{\text{(i.e., tests }}\sigma >0{\text{)}}}} システムの軌道が強制的に動くと仮定すると 、 σ ( x ) = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0} x ˙ = − x (i.e., σ ( x , x ˙ ) = x + x ˙ = 0 ) {\displaystyle {\dot {x}}=-x\qquad {\text{(i.e., }}\sigma (x,{\dot {x}})=x+{\dot {x}}=0{\text{)}}} したがって、システムがスライディング モードに到達すると、システムの 2 次元ダイナミクスは、 で全体的に指数的に安定した 平衡 を 持つこの 1 次元システムのように動作します。 ( x , x ˙ ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (x,{\dot {x}})=(0,0)}
自動設計ソリューション スライディングモード制御システムの設計には様々な理論が存在するものの、解析的・数値的手法における実用上の困難さのため、極めて効果的な設計手法は未だ確立されていない。しかしながら、 遺伝的アルゴリズム などの再利用可能な計算パラダイムを用いることで、最適設計の「解けない問題」を実用的に解ける「非決定性多項式問題」へと変換することが可能であり、これによりスライディングモード制御のコンピュータによる自動設計が可能となる。 [10]
スライディングモードオブザーバー スライディング モード制御は、状態オブザーバー の設計に使用できます 。これらの非線形高ゲイン オブザーバーは、推定器の誤差ダイナミクスの座標を有限時間内にゼロにすることができます。また、スイッチ モード オブザーバーは、 カルマン フィルター に類似した優れた測定ノイズ耐性を備えています。 [11] [12] 簡単にするために、ここでの例では、 LTI システム に対して、従来の ルーンベルガー オブザーバー のスライディング モード修正を使用しています。これらのスライディング モード オブザーバーでは、システムがスライディング モードに入ると、オブザーバー ダイナミクスの次数が 1 つ減ります。この特定の例では、単一の推定状態の推定器誤差が有限時間内にゼロになり、その後、他の推定器誤差は指数的にゼロに減少します。ただし、Drakunov によって初めて説明されたように、 [13] 非線形システム用のスライディング モード オブザーバーを 構築 して、すべての推定状態の推定器誤差を有限時間 (かつ任意の短い時間) 内にゼロにすることができます。
ここでLTIシステムを考えてみましょう
{ x ˙ = A x + B u y = [ 1 0 0 ⋯ ] x = x 1 {\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +B\mathbf {u} \\y={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &\end{bmatrix}}\mathbf {x} =x_{1}\end{cases}}} ここで、 状態ベクトル は入力のベクトルであり、出力 y は状態ベクトルの最初の状態に等しいスカラーである 。 x ≜ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} \triangleq (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} u ≜ ( u 1 , u 2 , … , u r ) ∈ R r {\displaystyle \mathbf {u} \triangleq (u_{1},u_{2},\dots ,u_{r})\in \mathbb {R} ^{r}} x {\displaystyle \mathbf {x} }
A ≜ [ a 11 A 12 A 21 A 22 ] {\displaystyle A\triangleq {\begin{bmatrix}a_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}} どこ
a 11 {\displaystyle a_{11}} 最初の状態が それ自身に与える影響を表すスカラーである。 x 1 {\displaystyle x_{1}} A 21 ∈ R ( n − 1 ) {\displaystyle A_{21}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}} は最初の状態が他の状態に与える影響に対応する行ベクトルであり、 A 22 ∈ R ( n − 1 ) × ( n − 1 ) {\displaystyle A_{22}\in \mathbb {R} ^{(n-1)\times (n-1)}} 他の州が自らに与える影響を表す行列であり、 A 12 ∈ R 1 × ( n − 1 ) {\displaystyle A_{12}\in \mathbb {R} ^{1\times (n-1)}} は、他の状態が最初の状態に与える影響を表す列ベクトルです。 目標は、 測定からの情報のみを用いて状態ベクトルを推定する高ゲイン状態オブザーバを設計することである 。したがって、ベクトルを n 個の状態の推定値とする 。オブザーバは次の形をとる。 x {\displaystyle \mathbf {x} } y = x 1 {\displaystyle y=x_{1}} x ^ = ( x ^ 1 , x ^ 2 , … , x ^ n ) ∈ R n {\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},\dots ,{\hat {x}}_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
x ^ ˙ = A x ^ + B u + L v ( x ^ 1 − x 1 ) {\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})} ここで、は推定状態 と出力 との間の誤差の非線形関数であり 、は典型的な線形 ルーエンバーガーオブザーバー と同様の役割を果たすオブザーバーゲインベクトルである 。同様に、 v : R → R {\displaystyle v:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } x ^ 1 {\displaystyle {\hat {x}}_{1}} y = x 1 {\displaystyle y=x_{1}} L ∈ R n {\displaystyle L\in \mathbb {R} ^{n}}
L = [ − 1 L 2 ] {\displaystyle L={\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}} ここで は列ベクトルである。さらに は 状態推定器の誤差とする。つまり である 。誤差ダイナミクスは次のように表される。 L 2 ∈ R ( n − 1 ) {\displaystyle L_{2}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}} e = ( e 1 , e 2 , … , e n ) ∈ R n {\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} e = x ^ − x {\displaystyle \mathbf {e} ={\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} }
e ˙ = x ^ ˙ − x ˙ = A x ^ + B u + L v ( x ^ 1 − x 1 ) − A x − B u = A ( x ^ − x ) + L v ( x ^ 1 − x 1 ) = A e + L v ( e 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {e} }}&={\dot {\hat {\mathbf {x} }}}-{\dot {\mathbf {x} }}\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})-A\mathbf {x} -B\mathbf {u} \\&=A({\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} )+Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A\mathbf {e} +Lv(e_{1})\end{aligned}}} ここで 、最初の状態推定値の推定誤差である。非線形制御則 vは、 スライディングマニホールドを強制するように設計することができる。 e 1 = x ^ 1 − x 1 {\displaystyle e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}}
0 = x ^ 1 − x 1 {\displaystyle 0={\hat {x}}_{1}-x_{1}} 推定値は 有限時間後の 実際の状態（すなわち、 ）に追従する。したがって、スライディングモード制御の切り替え関数は x ^ 1 {\displaystyle {\hat {x}}_{1}} x 1 {\displaystyle x_{1}} x ^ 1 = x 1 {\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}}
σ ( x ^ 1 , x ^ ) ≜ e 1 = x ^ 1 − x 1 . {\displaystyle \sigma ({\hat {x}}_{1},{\hat {x}})\triangleq e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}.} スライディング多様体を得るには、 と は 常に反対の符号を持つ必要がある（つまり、 本質的に すべて の に対して ）。しかし、 σ ˙ {\displaystyle {\dot {\sigma }}} σ {\displaystyle \sigma } σ σ ˙ < 0 {\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0} x {\displaystyle \mathbf {x} }
σ ˙ = e ˙ 1 = a 11 e 1 + A 12 e 2 − v ( e 1 ) = a 11 e 1 + A 12 e 2 − v ( σ ) {\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {e}}_{1}=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(e_{1})=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(\sigma )} ここで 、は測定されていないすべての状態に対する推定誤差の集合である。を保証するために 、 e 2 ≜ ( e 2 , e 3 , … , e n ) ∈ R ( n − 1 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\triangleq (e_{2},e_{3},\ldots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{(n-1)}} σ σ ˙ < 0 {\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}
v ( σ ) = M sgn ( σ ) {\displaystyle v(\sigma )=M\operatorname {sgn} (\sigma )} どこ
M > max { | a 11 e 1 + A 12 e 2 | } . {\displaystyle M>\max\{|a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}|\}.} つまり、正の定数 Mは、 システムの最大推定誤差（すなわち、 Mが 十分に大きく取れるように有界であると仮定される初期誤差、al）のスケール版よりも大きくなければならない。M が 十分に大きい場合、システムは（すなわち、 ） を達成すると仮定できる 。なぜなら 、この多様体上でも、は定数（すなわち、0）であるからである 。したがって、不連続制御は、 等価な連続制御に置き換えることができる 。 e 1 = 0 {\displaystyle e_{1}=0} x ^ 1 = x 1 {\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}} e 1 {\displaystyle e_{1}} e ˙ 1 = 0 {\displaystyle {\dot {e}}_{1}=0} v ( σ ) {\displaystyle v(\sigma )} v eq {\displaystyle v_{\text{eq}}}
0 = σ ˙ = a 11 e 1 ⏞ = 0 + A 12 e 2 − v eq ⏞ v ( σ ) = A 12 e 2 − v eq . {\displaystyle 0={\dot {\sigma }}=a_{11}{\mathord {\overbrace {e_{1}} ^{{}=0}}}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-{\mathord {\overbrace {v_{\text{eq}}} ^{v(\sigma )}}}=A_{12}\mathbf {e} _{2}-v_{\text{eq}}.} それで
v eq ⏟ scalar = A 12 ⏟ 1 × ( n − 1 ) vector e 2 ⏟ ( n − 1 ) × 1 vector . {\displaystyle {\mathord {\underbrace {v_{\text{eq}}} _{\text{scalar}}}}={\mathord {\underbrace {A_{12}} _{1\times (n-1) \atop {\text{ vector}}}}}{\mathord {\underbrace {\mathbf {e} _{2}} _{(n-1)\times 1 \atop {\text{ vector}}}}}.} この等価制御は、他の 状態からの出力状態の軌跡への 寄与を表す 。特に、行は 誤差サブシステムの出力ベクトルのように機能する。 v eq {\displaystyle v_{\text{eq}}} ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} x 1 {\displaystyle x_{1}} A 12 {\displaystyle A_{12}}
[ e ˙ 2 e ˙ 3 ⋮ e ˙ n ] ⏞ e ˙ 2 = A 2 [ e 2 e 3 ⋮ e n ] ⏞ e 2 + L 2 v ( e 1 ) = A 2 e 2 + L 2 v eq = A 2 e 2 + L 2 A 12 e 2 = ( A 2 + L 2 A 12 ) e 2 . {\displaystyle {\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{2}\\{\dot {e}}_{3}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {e} }}_{2}}}}=A_{2}{\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}e_{2}\\e_{3}\\\vdots \\e_{n}\end{bmatrix}} ^{\mathbf {e} _{2}}}}+L_{2}v(e_{1})=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}v_{\text{eq}}=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}A_{12}\mathbf {e} _{2}=(A_{2}+L_{2}A_{12})\mathbf {e} _{2}.} したがって、未測定状態に対する 推定誤差が確実にゼロに収束するためには、 ベクトルは、 行列が フルヴィッツ 行列となるように（すなわち、各 固有値 の実部が負となるように） 選択されなけれ ばならない。したがって、それが 観測可能 である限り、このシステムは 、出力行列（すなわち「 C 」）として見た場合の典型的な線形 状態オブザーバ と全く同じ方法で安定化することができる 。つまり、 等価制御は、未測定状態に関する測定情報を提供し、それらの推定値を漸近的にそれらに継続的に近づけることができる。一方、不連続制御は、 測定状態の推定値が有限時間においてゼロ誤差となるように強制する。さらに、平均ゼロの白色対称測定ノイズ（例えば、 ガウスノイズ ）は、制御のスイッチング周波数 v にのみ影響を与えるため、等価スライディングモード制御にはほとんど影響を与えない。したがって、スライディングモードオブザーバは カルマンフィルタ のような特性を持つ 。 [12] e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} ( n − 1 ) × 1 {\displaystyle (n-1)\times 1} L 2 {\displaystyle L_{2}} ( n − 1 ) × ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} ( A 2 + L 2 A 12 ) {\displaystyle (A_{2}+L_{2}A_{12})} e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} A 12 {\displaystyle A_{12}} v eq {\displaystyle v_{\text{eq}}} v = M sgn ( x ^ 1 − x ) {\displaystyle v=M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x)} v eq {\displaystyle v_{\text{eq}}}
観察者の最終版はこうなる。
x ^ ˙ = A x ^ + B u + L M sgn ( x ^ 1 − x 1 ) = A x ^ + B u + [ − 1 L 2 ] M sgn ( x ^ 1 − x 1 ) = A x ^ + B u + [ − M L 2 M ] sgn ( x ^ 1 − x 1 ) = A x ^ + [ B [ − M L 2 M ] ] [ u sgn ( x ^ 1 − x 1 ) ] = A obs x ^ + B obs u obs {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +LM\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+{\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}\\&=A_{\text{obs}}{\hat {\mathbf {x} }}+B_{\text{obs}}\mathbf {u} _{\text{obs}}\end{aligned}}} どこ
A obs ≜ A , {\displaystyle A_{\text{obs}}\triangleq A,} B obs ≜ [ B [ − M L 2 M ] ] , {\displaystyle B_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}},} そして u obs ≜ [ u sgn ( x ^ 1 − x 1 ) ] . {\displaystyle u_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}.} つまり、制御 ベクトルにスイッチング関数を追加することで 、スライディングモードオブザーバをLTIシステムとして実装できる。つまり、不連続信号は 2入力LTIシステムへの
制御 入力 として扱われる。 u {\displaystyle \mathbf {u} } sgn ( x ^ 1 − x 1 ) {\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})} sgn ( x ^ 1 − x 1 ) {\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})}
この例では、説明を簡潔にするために、スライディングモードオブザーバーが単一の状態（つまり出力 ）の測定値にアクセスできると仮定しています。しかし、同様の手順を用いて、重み付き状態の組み合わせのベクトル（つまり、出力が 汎用行列 C を使用する場合）のスライディングモードオブザーバーを設計できます。いずれの場合も、スライディングモードは、推定出力が測定出力に ゼロ誤差で追従する多様体（つまり、 となる多様体） となります 。 y = x 1 {\displaystyle y=x_{1}} y = C x {\displaystyle \mathbf {y} =C\mathbf {x} } y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}} y {\displaystyle \mathbf {y} } σ ( x ) ≜ y ^ − y = 0 {\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\triangleq {\hat {\mathbf {y} }}-\mathbf {y} =\mathbf {0} }
参照
注記 ^ 「チャタリング」または「チャタリング」とは、有限の周波数と振幅を持つ 振動 の望ましくない現象です。チャタリングは、制御精度の低下、可動機械部品の摩耗の増大、電力回路の熱損失の増大につながるため、有害な現象です。詳細については、Utkin, Vadim; Lee, Jason Hoon (2006年7月)、「 スライディングモード制御システムにおけるチャタリング問題」 、vol. 10.1109/VSS.2006.1644542.、pp. 346–350を参照してください。 ^ その他のパルス型変調技術には デルタシグマ変調 がある。
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さらに読む Drakunov SV, Utkin VI. (1992). 「動的システムにおけるスライディングモード制御」. International Journal of Control . 55 (4): 1029– 1037. doi :10.1080/00207179208934270. hdl : 10338.dmlcz/135339 . 
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