小角近似

Simplification of the basic trigonometric functions

いくつかの（三角）関数のx → 0に対するほぼ等しい挙動

小さな角度の場合、三角関数の正弦、余弦、正接は次の簡単な近似によって妥当な精度で計算できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \tan \theta \approx \theta ,\\[5mu]\cos \theta &\approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}\approx 1,\end{aligned}}}$$

ただし、角度はラジアンで測定されます。度で測定された角度は、まず⁠ ⁠ ${\displaystyle \pi /180}$を掛けてラジアンに変換する必要があります。

これらの近似は、力学、電磁気学、光学、地図作成、天文学、コンピュータサイエンスなど、物理学や工学の分野で幅広く使用されています。^{[1] [2]}その理由の1つは、絶対的な精度で答える必要のない微分方程式を大幅に簡素化できることです。

小角近似の妥当性を証明する方法はいくつかある。最も直接的な方法は、それぞれの三角関数のマクローリン級数を切断することである。近似の次数に応じて、はまたは と近似される。^[3] ${\displaystyle \textstyle \cos \theta }$ ${\displaystyle 1}$ ${\textstyle 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$

正当化

幾何学的

小さな角度では、HとAはほぼ同じ長さなので、cos θはほぼ1になります。線分d（右側の赤い部分）は、斜辺Hと隣接する辺Aの長さの差で、長さは で、小さな角度では とほぼ等しくなります。2次近似として、 ${\displaystyle \textstyle H-{\sqrt {H^{2}-O^{2}}}}$ ${\displaystyle \textstyle O^{2}\!/2H\approx {\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}H}$ $${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}.}$$

反対側の辺Oは、青い弧sの長さとほぼ等しい。弧s の長さはθAであり、定義によりsin θ = ⁠お/H⁠そしてtan θ = ⁠お/あ⁠、小さな角度では、 O ≈ sおよびH ≈ Aとなり、次のようになります。 $${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$

あるいは、もっと簡潔に言えば、 $${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

微積分

スクイーズ定理^[4]を用いると、θの値が小さい場合の近似を正式に言い換えたものであることが証明できる。 $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$$ ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$

スクイーズ定理をより注意深く適用すると、次のことが証明され、そこからθの値が小さい場合に次のことが結論付けられます。 $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$$ ${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }$

最後に、ロピタルの定理によれば、θが小さい値の場合、は に変形されます。あるいは、二倍角の公式 を使うこともできます。 とすると、 となります。 $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$ ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}$ ${\displaystyle \theta =2A}$ ${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

代数的

正弦関数の小角近似。

ゼロ付近の三角関数の正弦、余弦、正接のテイラー展開は次の通りである。[ ^5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}+{\frac {1}{120}}\theta ^{5}-\cdots ,\\[6mu]\cos \theta &=1-{\frac {1}{2}}{\theta ^{2}}+{\frac {1}{24}}\theta ^{4}-\cdots ,\\[6mu]\tan \theta &=\theta +{\frac {1}{3}}\theta ^{3}+{\frac {2}{15}}\theta ^{5}+\cdots .\end{aligned}}}$$

ここで、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \theta }$はラジアン単位の角度です。非常に小さな角度では、⁠ ⁠ ${\displaystyle \theta }$の高次の累乗は非常に小さくなります。例えば、⁠ ⁠なら ${\displaystyle \theta =0.01}$⁠ ⁠は ${\displaystyle \theta ^{3}=0.000\,001}$⁠ ⁠ ${\displaystyle \theta }$の1万分の1になります。したがって、多くの目的では、3次項以上の項を省き、小さな角度の正弦と正接を角度のラジアン単位⁠ ⁠ ${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta }$で近似し、2次項を省き、余弦を⁠ ⁠ ${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$で近似すれば十分です。

追加の精度が必要な場合は、2次項と3次項も含めることができます（ ⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta -{\tfrac {1}{6}}\theta ^{3}}$、 ⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$、 ⁠ ⁠ ） ${\displaystyle \tan \theta \approx \theta +{\tfrac {1}{3}}\theta ^{3}}$。

近似値の誤差

小角近似の相対誤差のグラフ（ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \tan \theta \approx \theta }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$）

ゼロ付近では、近似値⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠の相対誤差は⁠ ⁠の2次式です。つまり、角度が1桁小さくなるごとに、これらの近似値の相対誤差は2桁ずつ縮小します。近似値の相対誤差は ⁠ ⁠ の4次式です。つまり、角度が1桁小さくなるごとに、相対誤差は4桁ずつ縮小します。 ${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$ ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$ ${\displaystyle \tan \theta \approx \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

図3は微小角度近似値の相対誤差を示しています。相対誤差が1%を超える角度は次のとおりです。

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$約0.14ラジアン（8.1°）
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \tan \theta \approx \theta }$約0.17ラジアン（9.9°）
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$約0.24ラジアン（14.0°）
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$約0.66ラジアン（37.9°）

計算尺による近似値

Keuffel & Esserデシロン計算尺の左端。S、T、SRT スケールの値が 0.1 と 0.01 の正弦と正接に対応するため、細い青い線が追加されています。S スケールはアークサイン (0.1) = 5.74 度、T スケールはアークタンジェント (0.1) = 5.71 度、SRT スケールはアークサイン (0.01) = アークタンジェント (0.01) = 0.01*180/π = 0.573 度 (「計算尺の精度」の範囲内) を示しています。

K&E デシロン スライド ルールの右端。5.73 度の SRT スケールの目盛りを示す線が付いています。

多くの計算尺、特に「三角法」以上のモデルには、スライドの前面または背面に「ST」（正弦と正接）または「SRT」（正弦、ラジアン、正接）の目盛りがあり、約0.1ラジアン未満の角度の正弦と正接を計算することができます。^[6]

ST または SRT スケールの右端は、アークサイン (0.1) = 5.74 度とアークタンジェント (0.1) = 5.71 度の両方において、小数点以下 3 桁の精度を実現できないため、5 度付近の角度のサインとタンジェントは、通常の「計算尺の精度」よりもやや劣ります。写真の K&E デシロンなど、一部の計算尺では、ラジアン変換の精度として 0.1 を 5.73 度に設定しています（5 度付近の角度では、タンジェントで約 0.4%、サインで約 0.2% の誤差が生じます）。また、サインとタンジェントの誤差を 0.3% 未満に抑えるために、5.725 度に設定されているものもあります。

角度の和と差

角度の加法定理と減法定理は、角度の 1 つが小さい場合 ( β ≈ 0)、次のように簡約されます。

cos( α + β )	≈ cos( α ) − β sin( α )、
cos( α − β )	≈ cos( α ) + β sin( α )、
sin( α + β )	≈ sin( α ) + β cos( α )、
sin( α − β )	≈ sin( α ) − β cos( α )。

具体的な用途

天文学

天文学では、遠くの物体の像がなす角度や大きさは、ほんの数秒角（記号「」で示される）であることが多いため、小角近似に適しています。^[7]線の大きさ（D）は、角度の大きさ（X）と観測者からの距離（d）とに、次の簡単な式で関係しています。

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265{''}}}}$

ここで、Xは秒角単位で測定されます。

数量206 265 ″は、1ラジアンの弧秒数にほぼ等しく、これは円の弧秒数です（1 296 000 ″）を2πで割ります。

正確な式は

${\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000{''}}}\right)}$

そして、 tan XをXに置き換えた場合にも、上記の近似式が成り立ちます。

たとえば、パーセクは、 D =1 AU、X =1 秒角のときの d の値によって定義されますが、使用される定義は小角近似 (上記の最初の式) です。

振り子の運動

2次余弦近似は、振り子の位置エネルギーを計算する際に特に有用であり、ラグランジアンを用いて間接（エネルギー）運動方程式を求めることができる。単振り子の周期を計算する際には、正弦の小角近似を用いることで、得られた微分方程式を単振動運動を記述する微分方程式と比較することで容易に解くことができる。^[8]

光学

光学においては、小角近似が近軸近似の基礎を形成します。

波の干渉

正弦および正接の小角近似は、二重スリット実験や回折格子に関連して、次のような簡略化された方程式を作成するために使用されます。ここで、yは最大光強度の中心からの縞模様の距離、mは縞模様の次数、Dはスリットと投影スクリーン間の距離、dはスリット間の距離です。^[9] $${\displaystyle y\approx {\frac {m\lambda D}{d}}}$$

構造力学

小角近似は構造力学、特に安定性解析や分岐解析（主に軸方向荷重を受け、座屈の恐れがある柱の解析）にも用いられます。これにより解析は大幅に簡略化されますが、精度と真の挙動に関する洞察は低下します。

操縦

航空航法で使用される1対 60 のルールは、小角度の近似と、1 ラジアンが約 60 度であるという事実に基づいています。

補間

小さな角度を含む加算と減算の公式は、三角関数の表の値間の補間に使用できます。

例: sin(0.755)。ここで、sin(0.75)とcos(0.75)の値は三角関数表から得られます。結果は指定された4桁の精度で計算されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}}$$

参照

• 細い三角形
• ヴェルシーヌ
• エクセカント

参考文献

1. ホルブロー、チャールズ・H.; 他 (2010)、現代入門物理学（第2版）、シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア、pp.  30– 32、ISBN 978-0387790794。
2. Plesha, Michael; et al. (2012), 工学力学：静力学と動力学（第2版）、McGraw-Hill Higher Education、p. 12、ISBN 978-0077570613。
3. 「小角近似 | Brilliant Math & Science Wiki」brilliant.org . 2020年7月22日閲覧。
4. ラーソン、ロン他 (2006)、『一変数微積分学：超越関数入門』（第4版）、Cengage Learning、p. 85、ISBN 0618606254。
5. ボアス、メアリー・L. (2006).物理科学における数学的手法. ワイリー. p. 26. ISBN 978-0-471-19826-0。
6. Communications Technician M 3 & 2. Bureau of Naval Personnel. 1965. p. 481 . 2025年3月7日閲覧。
7. グリーン、ロビン・M.（1985）、球状天文学、ケンブリッジ大学出版局、p.19、ISBN 0521317797。
8. ベイカー、グレゴリー・L.、ブラックバーン、ジェームズ・A. (2005). 「振り子はいくぶん単純」 . 『振り子：物理学のケーススタディ』 . オックスフォード. 第2章, pp. 8–26. doi :10.1093/oso/9780198567547.003.0002. ISBN 0-19-856754-5。
   ビッセル, ジョン・J. (2025). 「単振り子の幾何学と運動を用いた微小角近似 sin ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } ⁠ の証明」.国際数学教育科学技術誌. 56 (3): 548– 554. doi : 10.1080/0020739X.2023.2258885 .
9. 「スリット干渉」。

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