Type of matrix
無限 小回転行列 または 微分回転行列は、 無限に 小さい 回転 を表す 行列 です 。
回転行列は ( 特殊直交群 )の元を表す 直交行列 です が 、 回転の 微分は 接空間 ( 特殊直交リー代数 )内の 歪対称行列 であり、それ自体は回転行列ではありません。 R T = R − 1 {\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}} S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} A T = − A {\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A} s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}
無限小回転行列は次の形式をとる。
I + d θ A , {\displaystyle I+d\theta \,A,} ここで 、 は 単位行列 、 は無視できるほど小さく、 です。 I {\displaystyle I} d θ {\displaystyle d\theta } A ∈ s o ( n ) {\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n)}
例えば、 が A = L x {\displaystyle A=L_{x}} x 軸の周りの微小な3次元回転を表す場合、 s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} の基底要素は 、
L x = [ 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 ] , {\displaystyle L_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},} そして
I + d θ L x = [ 1 0 0 0 1 − d θ 0 d θ 1 ] . {\displaystyle I+d\theta L_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.} 無限小回転行列の計算規則は、2次の無限小が省略されることを除いて、通常の規則と同じです。これらの規則を用いると、これらの行列は、通常の無限小の扱いのもとでは、通常の有限回転行列と同じ性質を全て満たすわけではありません。 [1] 無限小回転を適用する順序は無関係であることが わかります 。
議論 無限 小回転行列は、次の 条件を満たす歪対称行列 です 。
マトリックスの形状は次のとおりです。 A = ( 1 − d ϕ z ( t ) d ϕ y ( t ) d ϕ z ( t ) 1 − d ϕ x ( t ) − d ϕ y ( t ) d ϕ x ( t ) 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}}
関連量 無限小回転行列には 無限小回転テンソル が関連付けられています 。 A {\displaystyle A} d Φ ( t ) = A − I {\displaystyle d\Phi (t)=A-I} d Φ ( t ) = ( 0 − d ϕ z ( t ) d ϕ y ( t ) d ϕ z ( t ) 0 − d ϕ x ( t ) − d ϕ y ( t ) d ϕ x ( t ) 0 ) {\displaystyle d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}
これを時間差で割ると 角速度テンソル が得られます。
Ω = d Φ ( t ) d t = ( 0 − ω z ( t ) ω y ( t ) ω z ( t ) 0 − ω x ( t ) − ω y ( t ) ω x ( t ) 0 ) {\displaystyle \Omega ={\frac {d\Phi (t)}{dt}}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}(t)&\omega _{y}(t)\\\omega _{z}(t)&0&-\omega _{x}(t)\\-\omega _{y}(t)&\omega _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}}
回転の順序 これらの行列は、通常の無限小数の扱いの下では、通常の有限回転行列と同じ性質を全て満たすわけではない。 [2] これが何を意味するのかを理解するために、
d A x = [ 1 0 0 0 1 − d θ 0 d θ 1 ] . {\displaystyle dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.} まず、直交条件 Q T Q = I をテストします。積は
d A x T d A x = [ 1 0 0 0 1 + d θ 2 0 0 0 1 + d θ 2 ] , {\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{\textsf {T}}\,dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1+d\theta ^{2}&0\\0&0&1+d\theta ^{2}\end{bmatrix}},} 単位行列とは2次の微小な部分で異なりますが、ここでは無視します。したがって、1次の微小回転行列は直交行列です。
次に、行列の2乗を調べます。
d A x 2 = [ 1 0 0 0 1 − d θ 2 − 2 d θ 0 2 d θ 1 − d θ 2 ] . {\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1-d\theta ^{2}&-2d\theta \\0&2\,d\theta &1-d\theta ^{2}\end{bmatrix}}.} 二次効果を再び無視すると、角度は単純に2倍になることに注意してください。これは、2つ目の微小回転の助けを借りて示すことができる、最も本質的な挙動の違いを示唆しています。
d A y = [ 1 0 d ϕ 0 1 0 − d ϕ 0 1 ] . {\displaystyle dA_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\0&1&0\\-d\phi &0&1\end{bmatrix}}.} 積 dA x dA y と dA y dA x を比較します。
d A x d A y = [ 1 0 d ϕ d θ d ϕ 1 − d θ − d ϕ d θ 1 ] d A y d A x = [ 1 d θ d ϕ d ϕ 0 1 − d θ − d ϕ d θ 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }&={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\d\theta \,d\phi &1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}\\dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} }&={\begin{bmatrix}1&d\theta \,d\phi &d\phi \\0&1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}} は2階な ので、これを捨てる。したがって、1階までは、無限小回転行列の乗算は 可換で ある。実際、 d θ d ϕ {\displaystyle d\theta \,d\phi }
d A x d A y = d A y d A x , {\displaystyle dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }=dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} },} 再び一次回転に戻ります。言い換えれば、 微小回転を適用する順序は無関係です 。
この有用な事実により、例えば剛体の回転の導出は比較的容易になります。しかし、これらの無限小回転行列（の一次処理）を有限回転行列およびリー代数要素と常に区別する必要があります。上記の ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ公式 における有限回転行列の挙動と、すべての交換項が二次無限小となる無限小回転行列の挙動を比較すると、真のベクトル空間が見られます。技術的には、この二次項の排除は 群の縮約 に相当します。
回転のジェネレータ 回転軸を 単位ベクトル [ x , y , z ] で指定し、そのベクトルを中心に 角度 Δ θの 無限小回転 があるとします。回転行列を無限加算として展開し、一次アプローチをとると、回転行列 Δ R は次のように表されます。
Δ R = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] + [ 0 z − y − z 0 x y − x 0 ] Δ θ = I + A Δ θ . {\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =I+A\,\Delta \theta .} この軸を中心とした角度θ の有限回転は、 同じ軸を中心とした小さな回転の連続として捉えることができます。Δ θ を θ / N （ N は大きな数）で近似すると、 軸を中心とした θ の回転は次のように表すことができます。
R = lim N → ∞ ( I + A θ N ) N = exp ( A θ ) . {\displaystyle R=\lim _{N\to \infty }\left(I+{\frac {A\theta }{N}}\right)^{N}=\exp(A\theta ).} オイラーの定理は、本質的に すべての 回転がこの形式で表現できることを述べていることがわかります。積 Aθ は特定の回転の「生成元」であり、行列 A に関連付けられたベクトル ( x , y , z ) です。これは、回転行列と 軸-角度 形式が指数関数によって関連していることを示しています。
生成元G の簡単な式を導くことができる。まず、直交する単位ベクトル a と b の組で定義される 任意の平面 [3] を考える。この平面において、直交する y を持つ任意のベクトル x を とる。次に、 yを x について解き 、平面における回転を表す式に代入すると回転行列 R が得られる。この行列には生成元 G = ba T − ab T が含まれる。
x = a cos ( α ) + b sin ( α ) y = − a sin ( α ) + b cos ( α ) cos ( α ) = a T x sin ( α ) = b T x y = − a b T x + b a T x = ( b a T − a b T ) x x ′ = x cos ( β ) + y sin ( β ) = [ I cos ( β ) + ( b a T − a b T ) sin ( β ) ] x R = I cos ( β ) + ( b a T − a b T ) sin ( β ) = I cos ( β ) + G sin ( β ) G = b a T − a b T {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{\mathsf {T}}x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{\mathsf {T}}x\\y&=-ab^{\mathsf {T}}x+ba^{\mathsf {T}}x=\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\\\end{aligned}}} 回転に平面外のベクトルを含めるには、空間を分割する2つの 射影演算子 を追加して、 Rの上記の式を修正する必要があります。この修正された回転行列は 指数関数 として書き直すことができます 。
P a b = − G 2 R = I − P a b + [ I cos ( β ) + G sin ( β ) ] P a b = exp ( G β ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=\exp(G\beta )\\\end{aligned}}} 解析は、回転行列全体よりも、これらの生成元を用いた方が容易になることが多い。生成元を用いた解析は、 回転群の リー代数として知られている。
指数マップ リー代数をリー群に結びつけるのが 指数写像であり、これは exp( A ) の標準 行列指数 級数を使って定義される [4]任意 の歪対称行列 A に対して 、 exp( A ) は常に回転行列である。 [a]
重要な実例として 3×3の場合が挙げられます。 回転群SO(3) において、任意の A∈so (3)を オイラー ベクトル ω = θ u と同一 視できることが示されます 。ここで u = ( x , y , z ) は単位大きさのベクトルです。
同一視の性質 su (2) ≅ R 3 により、 u はA の零空間に含まれる 。したがって、 u はexp( A ) によって不変であり 、回転軸となる。
θ = の行列形式で ロドリゲスの回転公式 を使用する θ / 2 + θ / 2 、標準的な二倍角の公式 と組み合わせると 、
exp ( A ) = exp ( θ ( u ⋅ L ) ) = exp ( [ 0 − z θ y θ z θ 0 − x θ − y θ x θ 0 ] ) = I + 2 cos θ 2 sin θ 2 u ⋅ L + 2 sin 2 θ 2 ( u ⋅ L ) 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})^{2},\end{aligned}}} これは、 u 軸を 中心とした角度 θ の回転行列 （半角形式）です。詳細については、 指数写像SO(3) を参照してください。
無限小角度の場合、2次の項は無視でき、 exp( A ) = I + Aのままとなることに注意する。
歪対称行列との関係 実数体上の歪対称行列は、 単位行列における 実 直交群の 接空間を形成します。正式には、 特殊直交リー代数と呼ばれます。この意味で、歪対称行列は 無限小回転 と考えることができます 。 O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)}
これを別の言い方で言うと、歪対称行列の空間は リー群 の リー代数 を形成する。この空間上のリー括弧は 交換子 によって与えられる。 o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)} O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)}
[ A , B ] = A B − B A . {\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,} 2つの歪対称行列の交換子が再び歪対称であることは簡単に確認できます。
[ A , B ] T = B T A T − A T B T = ( − B ) ( − A ) − ( − A ) ( − B ) = B A − A B = − [ A , B ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}} 歪対称行列の 指数行列 は 直交行列 となる 。 A {\displaystyle A} R {\displaystyle R}
R = exp ( A ) = ∑ n = 0 ∞ A n n ! . {\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.} リー代数の 指数写像 の像は、常に 単位元を 含むリー群の 連結成分に存在します。リー群 の場合 、この連結成分は 特殊直交群 であり、行列式が1であるすべての直交行列から構成されます。したがって 、 は行列式が+1になります。さらに、連結コンパクトリー群の指数写像は常に射影的であるため、単位行列式を持つ すべての 直交行列は、何らかの歪対称行列の指数写像として表すことができます。 O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)} S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} R = exp ( A ) {\displaystyle R=\exp(A)}
特に重要な次元の場合、 直交行列の指数表現は、 単位係数の複素数のよく知られた 極形式に簡約される。実際、 の場合には、特別な直交行列は次の形をとる。 n = 2 , {\displaystyle n=2,} n = 2 {\displaystyle n=2}
[ a − b b a ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},} a 2 + b 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=1} と を合わせる と 、 a = cos θ {\displaystyle a=\cos \theta } b = sin θ {\displaystyle b=\sin \theta }
[ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] = exp ( θ [ 0 − 1 1 0 ] ) , {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),} これは単位係数の複素数の 極形式に正確に対応します。 cos θ + i sin θ = exp ( i θ ) {\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =\exp(i\theta )}
3 次元では、行列指数は 行列表記のロドリゲス回転式 であり、 オイラー・ロドリゲス式 で表現すると、その 4 つのパラメータの代数から 四元数が生成されます 。
次元の直交行列の指数表現は、任意の 特殊直交行列が と表記できる という事実から始めて得ることもできます。 ここで、 は直交行列であり、S は2 次ブロック と 、 が奇数の場合は 1 次ブロックを 1 つ持つ ブロック対角行列 です。2 次ブロックの各単一ブロックも直交行列であるため、指数形式を許容します。対応して、行列 S は上記の形式の 歪対称ブロック行列の指数として表記される ため、 は 歪対称行列 の指数と なり ます。逆に、指数写像の射影性と、前述の歪対称行列のブロック対角化を合わせると、直交行列のブロック対角化が意味を持ちます。 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} R {\displaystyle R} R = Q S Q T {\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}}} Q {\displaystyle Q} ⌊ n / 2 ⌋ {\textstyle \lfloor n/2\rfloor } n {\displaystyle n} Σ {\displaystyle \Sigma } S = exp ( Σ ) {\displaystyle S=\exp(\Sigma )} R = Q exp ( Σ ) Q T = exp ( Q Σ Q T ) {\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}})} Q Σ Q T {\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}
参照
注記 ^ この歪対称行列から回転行列への指数写像は、前述のケイリー変換とはまったく異なり、3 次まで異なります。 逆に、 ケイリー写像を通じて回転行列を指定する 歪対称行列 A は、写像 exp(2 artanh A )を通じて 同じ 回転行列を指定します 。 e 2 A − I + A I − A = − 2 3 A 3 + O ( A 4 ) . {\displaystyle e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.}
参考文献 ^ (ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、§4.8) ^ (ゴールドスタイン、プール、サフコ 2002、§4.8) ^ ユークリッド空間において ^ (ウェダーバーン 1934, §8.02)
出典 
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{\mathsf {T}}x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{\mathsf {T}}x\\y&=-ab^{\mathsf {T}}x+ba^{\mathsf {T}}x=\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7539cffa428b3b3688191735d8285b5fa68cfb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=\exp(G\beta )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/820bad22fe6510b27473686961e47abfe3d0c0ec)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbdbcf7385baed9993f2843dd88d807485f34b6)
![{\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6e46435ae66281b6bbe69ed8e3677f418f5f7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb4030319ce976ab62e704bac346e9f205f4a42)
