ソリッドトーラス

数学において、立体トーラスは円の周囲を円板で囲むことで形成される位相空間である。^[1]立体トーラスは円板と円の直積に同相であり、 ^[2]積位相を持つ。 $S^{1}\times D^{2}$

立体トーラスを視覚化する標準的な方法は、3次元空間に埋め込まれたトーロイドとして表現することです。しかし、視覚的に同じ外観を持つトーラスとは区別する必要があります。トーラスはトーロイドの境界上の2次元空間であるのに対し、立体トーラスはトーラスに囲まれたコンパクトな内部空間も含みます。

立体トーラスとは、トーラスとその内部の体積を合わせたものです。現実世界で立体トーラスに近い物体としては、Oリング、非膨張式救命浮輪、リングドーナツ、ベーグルなどがあります。

位相的性質

立体トーラスは、境界を持つ連結でコンパクトな向き付け可能な3次元多様体である。境界は、通常のトーラスであると同相である。 $S^{1}\times S^{1}$

円板は収縮可能であるため、立体トーラスは円のホモトピー型を持つ。^[3]従って、基本群とホモロジー群は円のそれらと同型である。 $D^{2}$ $S^{1}$ ${\begin{aligned}\pi _{1}\left(S^{1}\times D^{2}\right)&\cong \pi _{1}\left(S^{1}\right)\cong \mathbb {Z} ,\\H_{k}\left(S^{1}\times D^{2}\right)&\cong H_{k}\left(S^{1}\right)\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0,1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}$

参照

参考文献

^ ファルコナー、ケネス（2004）、フラクタル幾何学：数学的基礎と応用（第2版）、ジョン・ワイリー＆サンズ、p.198、ISBN 9780470871355。
^ 松本幸雄（2002）『モース理論入門』、アメリカ数学会誌第208巻、188頁、ISBN 9780821810224。
^ Ravenel, Douglas C. (1992), 「安定ホモトピー理論における冪零性と周期性」 Annals of math studies, vol. 128, Princeton University Press , p. 2, ISBN 9780691025728。

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[1] ファルコナー、ケネス（2004）、フラクタル幾何学：数学的基礎と応用（第2版）、ジョン・ワイリー＆サンズ、p.198、ISBN 9780470871355。

[2] 松本幸雄（2002）『モース理論入門』、アメリカ数学会誌第208巻、188頁、ISBN 9780821810224。

[3] Ravenel, Douglas C. (1992), 「安定ホモトピー理論における冪零性と周期性」 Annals of math studies, vol. 128, Princeton University Press , p. 2, ISBN 9780691025728。