解集合

数学において、連立方程式または連立不等式の解集合とは、そのすべての解、つまりすべての方程式と不等式を満たす値の集合です。[ ^1]また、文または述語の解集合または真理集合とは、それを満たすすべての値の集合です。

解がない場合、解集合は空集合です。^[2]

例

単一の方程式の解集合は、単集合です $x=0$ $\{0\}$
2つの方程式を同時に真とする数は存在しないので、この系の解集合は空集合です。 $x$ $y$ ${\begin{cases}x+2y=3,&\\x+2y=-3\end{cases}}$ $\emptyset$
制約付き最適化問題の解集合は、その実行可能領域です。
述語の真理集合はです。 $P(n):n\mathrm {\ is\ even}$ $\{2,4,6,8,\ldots \}$

備考

代数幾何学では、不等式がない場合、解集合は代数集合と呼ばれます。実数上、および不等式がある場合、解集合は半代数集合と呼ばれます。

その他の意味

より一般的には、関係( E _i )（iは何らかの添え字集合Iで変化する）の任意の集合Eに対する、それぞれの空間で値を取ると想定される未知数の集合に対する解集合は、関係Eのすべての解の集合Sである。ここで、解とは、集合Eにを代入するとすべての関係が「真」になるような値の族である。 ${(x_{j})}_{j\in J}$ ${(X_{j})}_{j\in J}$ $x^{(k)}$ ${\textstyle {\left(x_{j}^{(k)}\right)}_{j\in J}\in \prod _{j\in J}X_{j}}$ ${\left(x_{j}\right)}_{j\in J}$ $x^{(k)}$

（未知数に依存する関係ではなく、より正確には述語について語るべきであり、集合Eはそれらの論理積であり、解集合は関連するブール値関数によって真となるブール値の逆像である。）

上記の意味は、多項式集合f _iが方程式集合f _i ( x )=0として解釈される場合の、この意味の特別な場合である。

例

に関して、E = {x + y = 0 }の解集合は、S = { ( a , −a )：a∈R }である $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$
について、E = { x + y = 0 }の解集合はS = { − y }です。（ここで、yは未知数として「宣言」されていないため、方程式、ひいては解集合が依存するパラメータとして見なされます。） $x\in \mathbb {R}$
について、の解集合は区間S = [0,16] です（xが負の値の場合、は定義されていないため）。 $E=\{{\sqrt {x}}\leq 4\}$ $x\in \mathbb {R}$ ${\sqrt {x}}$
について、の解集合はS = 2π Zです（オイラーの恒等式を参照）。 $E=\{e^{ix}=1\}$ $x\in \mathbb {C}$

参照

参考文献

^ 「解集合の定義」www.merriam-webster.com 。2024年8月14日閲覧。
^ 「線形方程式系」textbooks.math.gatech.edu 。2024年8月14日閲覧。

[1] 「解集合の定義」www.merriam-webster.com 。2024年8月14日閲覧。

[2] 「線形方程式系」textbooks.math.gatech.edu 。2024年8月14日閲覧。