比角運動量

Vector quantity in celestial mechanics

天体力学では、物体の特定の相対角運動量（またはと表記されることが多い）は、その物体の角運動量をその質量で割ったものである。^{[1] 2つの}軌道を回る物体の場合は、相対位置と相対線運動量のベクトル積を、その物体の質量で割ったものである。 ${\displaystyle {\vec {h}}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

比相対角運動量は、理想的な条件下では与えられた軌道に対して一定であるため、二体問題の解析において重要な役割を果たします。ここでの「比」とは、単位質量あたりの角運動量を指します。比相対角運動量のSI単位系は平方メートル毎秒です。

意味

特定の相対角運動量は、相対位置ベクトルと相対速度ベクトルの外積として定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {L} }{m}}}$$

ここで、 は角運動量ベクトルであり、 と定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} \times m\mathbf {v} }$

ベクトルは常に瞬間的な接触軌道面 に垂直であり、これは瞬間的な摂動軌道と一致する。時間経過に伴う平均軌道面 に必ずしも垂直であるわけではない。 ${\displaystyle \mathbf {h} }$

二体問題における不変性の証明

周回軌道における距離ベクトル、速度ベクトル、真近点角、および の飛行経路角。楕円の最も重要な測定値も示されています（このうち、真近点角は と表示されています）。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \nu }$

特定の条件下では、比角運動量が一定であることが証明できます。この証明の条件は以下のとおりです。

• 一方の物体の質量はもう一方の物体の質量よりもはるかに大きい。（） ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$
• 座標系は慣性座標系です。
• 各物体は球対称の質点として扱うことができます。
• 2 つの物体を結び付ける重力以外の力はシステムには作用しません。

証拠

証明は、ニュートンの万有引力の法則から導かれる二体運動方程式から始まります。

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}+{\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

どこ：

• ${\displaystyle \mathbf {r} }$は、スカラー大きさ を持つからまでの位置ベクトルです。 ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}}$は の2次時間微分です。（加速度） ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle G}$は重力定数です。

位置ベクトルと運動方程式の外積は次のようになります。

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0}$$

2番目の項が消えるので、 ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {r} =0}$

$${\displaystyle \mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0}$$

また、次のこともわかります。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}}$$

これら 2 つの方程式を組み合わせると次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)=0}$$

時間微分はゼロなので、この量は定数です。位置の変化率の代わりに速度ベクトルを用い、特定の角運動量については、定数となります。 ${\displaystyle \mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$ $${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$$

これは、問題の物体の質量が含まれていないため、運動量の通常の構築とは異なります。 ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

ケプラーの惑星運動の法則

ケプラーの惑星運動の法則は、上記の関係によってほぼ直接的に証明できます。

第一法則

証明は再び二体問題の方程式から始まります。今回は外積に特定の相対角運動量を掛けます。 $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\times \mathbf {h} }$$

角運動量は一定なので、左側は導関数と等しくなります。 ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)}$

いくつかの手順（ベクトルの三重積の使用や、ベクトル のノルムではなく、スカラーを視線速度として定義することなど）を実行すると、右側の辺は次のようになります。 ${\displaystyle {\dot {r}}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$ $${\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {h} \right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {v} \right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}\mathbf {r} -{\frac {\mu }{r}}\mathbf {v} \right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}$$

これら2つの式を等しくし、時間について積分すると次の式が得られる（積分定数は） ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} }$$

この式を（ドット積で）掛けて整理すると 、 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \cdot \left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)&=\mathbf {r} \cdot \left(\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} \right)\\\Rightarrow \left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {h} &=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}}$$

最終的に軌道方程式が得られる^[1] $${\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}}$$

これは、半緯度直角と離心率を持つ極座標での円錐曲線の方程式です。 ${\textstyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$ ${\textstyle e={\frac {C}{\mu }}}$

第二法則

第二法則は、特定の相対角運動量の絶対値を計算するための3つの方程式の2番目から直ちに導かれる。^[1]

この式を、微小角度を持つ扇形（非常に小さな一辺を持つ三角形） の面積の関係と結び付けると、次の式が得られます。 ${\textstyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\,\mathrm {d} \theta }$ ${\textstyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\,\mathrm {d} \theta }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ $${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\,\mathrm {d} A}$$

第三法則

ケプラーの第三法則は第二法則から直接導かれる。一回転にわたって積分すると、軌道周期が得られる^[1]。 $${\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}$$

楕円の面積を求める。短半径を に、特定の相対角運動量を に置き換えると、 ${\displaystyle \pi ab}$ ${\displaystyle b={\sqrt {ap}}}$ ${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}$ $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$$

したがって、衛星の軌道長半径と軌道周期の間には関係があり、これは中心天体の定数にまで減少させることができます。

参照

• 比軌道エネルギー、二体問題におけるもう一つの保存量。
• 古典的な中心力問題 § 比角運動量

参考文献

1. Vallado, David A. (2001). 『天体力学の基礎とその応用（第2版）』 ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers. pp.  20– 30. ISBN 0-7923-6903-3。

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