リングのスペクトル

Set of a ring's prime ideals

可換代数学において、可換環の素スペクトル（または単にスペクトル）は、のすべての素イデアルの集合であり、通常は と表記されます。^[1]代数幾何学においては、それは同時に環の層を備えた位相空間でもあります。^[2] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} {R}}$

ザリスキー位相

の任意のイデアル に対して、を含む素イデアル全体の集合を と定義します。閉集合の集合をと定義することで、に位相を置くことができます ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V_{I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

${\displaystyle {\big \{}V_{I}\colon I{\text{ is an ideal of }}R{\big \}}.}$

このトポロジはザリスキー トポロジと呼ばれます。

ザリスキー位相の基底は次のように構築できる： に対して、を含まないの素イデアル全体の集合を と定義する。すると、それぞれ の開部分集合となり、 はザリスキー位相の基底となる。 ${\displaystyle f\in R}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle {\big \{}D_{f}:f\in R{\big \}}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$はコンパクト空間であるが、ハウスドルフ空間となることはほとんどない。実際、における極大イデアルは、まさにこの位相における閉点である。同様の理由により、は一般にT ₁空間ではない。^[3]しかし、は常にコルモゴロフ空間（T _{0公理を満たす）であり、}スペクトル空間でもある。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

層とスキーム

ザリスキー位相を持つ空間が与えられたとき、構造層は、区別された開部分集合上に、の局所化をのべき乗で設定することによって定義されます。これはB層を定義し、したがって層を定義することが示されます。より詳細には、区別された開部分集合はザリスキー位相の基底であるため、任意の開集合（ の和集合として表記）に対して、が設定されます。ここで、 は自然な環準同型に関する逆極限を表します。この前層が層であること、したがって環空間も層であることを確認できます。この形式の 1 つに同型な環空間は、アフィンスキームと呼ばれます。一般的なスキームは、アフィンスキームを接着することによって得られます ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle \Gamma (D_{f},{\mathcal {O}}_{X})=R_{f},}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\textstyle U=\bigcup _{i\in I}D_{f_{i}}}$ ${\textstyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\varprojlim _{i\in I}R_{f_{i}},}$ ${\displaystyle \varprojlim }$ ${\displaystyle R_{f}\to R_{fg}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

同様に、環 上の加群 に対して、上に層 を定義できます。 の区別された開部分集合 上に、加群 の局所化を用いて層が定義されます。上記のように、この構成は のすべての開部分集合 上の前層 に拡張され、接着公理を満たします。この形式の層は準コヒーレント層と呼ばれます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \Gamma (D_{f},{\widetilde {M}})=M_{f},}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

が の点、すなわち素イデアルである場合、における構造層の茎は、一般に と表記されるイデアル におけるの局所化に等しく、これは局所環である。したがって、は局所環空間である。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

が整域で分数体である場合、環は次のようにより具体的に記述できます。の元が の点で正則であるとは、それが の分数として表せることを意味します。これは代数幾何学における正則関数の概念と一致することに注意してください。この定義を用いると、 の任意の点で正則となる の元の集合を と正確に記述できます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} {R}}$ ${\displaystyle f=a/b}$ ${\displaystyle b\notin {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle U}$

関数的視点

圏論の言語を用いて、が関数であることを観察することは有用である。すべての環準同型写像は連続写像を誘導する（任意の素イデアルの逆像はの素イデアルであるため）。このように、は可換環の圏から位相空間の圏への反変関数と見ることができる。さらに、すべての素数に対して、準同型写像は準同型写像へと降下する ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (f):\operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}({\mathfrak {p}})}\to {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}}$

局所環の。したがって、 は可換環の圏から局所環空間の圏への反変関手を定義する。実際、これはそのような普遍関手であり、したがって自然同型を除いてを定義するために用いることができる。^[要出典] ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

関数は、可換環のカテゴリとアフィンスキームのカテゴリの間に反変同値をもたらします。これらのカテゴリはそれぞれ、他方のカテゴリの反対であると考えられることがよくあります。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$

代数幾何学からの動機

この例に続き、代数幾何学では代数集合、すなわち（代数的に閉体）の部分集合を研究します。これは変数の多項式集合の共通零点として定義されます。がそのような代数集合である場合、すべての多項式関数の可換環を検討します。の最大イデアルは（代数的に閉体であるため）の点に対応し、の素イデアルは（代数的に閉体であるため）の既約部分多様体に対応します（代数集合は、2つの適切な代数的部分集合の和として表すことができないとき、既約であるという）。 ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\to K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$

したがって、のスペクトルは、のすべての既約部分多様体の元とともに、の点から構成される。 の点はスペクトルにおいて閉じているが、部分多様体に対応する元は、そのすべての点と部分多様体からなる閉包を持つ。 の点、すなわち における極大イデアルのみを考えれば、上で定義したザリスキ位相は、代数集合（代数部分集合を閉集合として持つ）上で定義されたザリスキ位相と一致する。具体的には、 における極大イデアル、すなわち は、ザリスキ位相とともに、 に同相であり、またザリスキ位相とも同相である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (R)}$ ${\displaystyle A}$

したがって、位相空間は（ザリスキー位相を用いた）位相空間の「拡張」と見ることができる。つまり、 の既約部分多様体ごとに、1つの追加の非閉点が導入され、この点は対応する既約部分多様体の「軌跡」をたどる。この点は、既約部分多様体のジェネリック点と考えられる。さらに、 上の構造層と 上の多項式関数の層は本質的に同一である。ザリスキー位相を用いて、代数集合ではなく多項式環のスペクトルを研究することで、代数幾何学の概念を非代数的に閉体やそれを超えた領域に一般化し、最終的にはスキームの言語に到達する。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle A}$

例

• 整数のスペクトル：アフィンスキームは、可換環のカテゴリにおける最初のオブジェクトであるため、アフィンスキームのカテゴリにおける最後のオブジェクトです ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• のスキーム理論的類似物：アフィンスキーム。点の関数の観点から見ると、点は評価射と同一視できる。この基本的な観察により、他のアフィンスキームに意味を与えることができる。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow[{ev_{(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}}]{}}\mathbb {C} }$
• 十字: は、位相的には 1 点での 2 つの複素平面の交差のように見えますが (特に、この方式は既約ではありません)、への明確に定義された射影は点 に関連付けられた評価射影だけであるため、通常は として表されます。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}}$
• ブール環（例えば冪集合環）の素スペクトルはコンパクトな全不連結ハウスドルフ空間（つまりストーン空間）である。^[4]
• （M.ホッホスター）位相空間が可換環（すなわちスペクトル空間）の素スペクトルに同相であるための必要十分条件は、それがコンパクトで、準分離的で、かつ非対称である場合である。^[5]

非アフィン例

以下は、アフィンスキームではないスキームの例です。これらは、アフィンスキームを貼り合わせることで構築されます

• 体 上の射影-空間 ${\displaystyle n}$ 。これは任意の基底環に容易に一般化できます。Projの構築を参照してください（実際、任意の基底スキームに対して射影空間を定義できます）。 の射影 -空間は、の大域切断環が であるため、アフィンではありません。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle k}$
• 原点を除いたアフィン平面。^[6]内部には、区別された開アフィン部分スキーム が存在する。それらの和集合は、原点を除いたアフィン平面である。 の大域切断は、上の多項式のペアであり、上の同じ多項式に制限され、 が であることが示され、 の大域切断である。は のようにアフィンではない。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} k[x,y]}$ ${\displaystyle D_{x},D_{y}}$ ${\displaystyle D_{x}\cup D_{y}=U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D_{x},D_{y}}$ ${\displaystyle D_{xy}}$ ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing }$ ${\displaystyle U}$

プライムスペクトル上の非ザリスキトポロジー

一部の著者（特に M. Hochster）は、ザリスキー位相以外の素スペクトル上の位相を考慮しています。

まず、構成可能位相の概念がある。環Aが与えられたとき、形のの部分集合は位相空間における閉集合の公理を満たす。この位相は構成可能位相と呼ばれる。^{[7] [8]} ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$

ホッホスター（1969）では、ホッホスターは素スペクトル上のパッチ位相と呼ぶものを考察している。^{[9] [10] [11]}定義により、パッチ位相は、フォームとフォームの集合が閉じている最小の位相である。 ${\displaystyle V(I)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}$

グローバルまたは相対的な仕様

関数の相対バージョンは、大域的または相対的と呼ばれます。がスキームである場合、相対的 はまたは で表されます。 が文脈から明らかな場合、相対 Spec はまたはで表すことができます。スキームと-代数の準コヒーレントな層に対して、スキームと射が存在し、すべての開アフィン に対して同型 が存在し、開アフィン に対して、制限写像 によって包含が誘導されます。つまり、環準同型がスペクトルの反対写像を誘導するように、代数の層の制限写像は、層のSpecを構成するスペクトルの包含写像を誘導します。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}$ ${\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {Spec} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}$ ${\displaystyle U\subseteq S}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}$

大域Specは、通常のSpecの普遍的性質と同様の普遍的性質を持つ。より正確には、Specと大域切断関数が可換環とスキームの圏の間の反変右随伴であるのと同様に、大域Specと構造写像の直接像関数は、可換-代数の圏と 上のスキームの間の反変右随伴である。^{[疑わしい–議論する]} 式において、 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}$

ここで、はスキームの射影です。 ${\displaystyle \pi \colon X\to S}$

相対的な仕様の例

相対的仕様は、 の原点を通る直線族をパラメータ化するための正しいツールです。代数の層を考え、のイデアルの層を とします。すると、相対的仕様は目的の族をパラメータ化します。実際、 のファイバーは、 の原点を通る直線であり、の点を含みます。ファイバーは、プルバック図の合成を見ることで計算できると仮定します。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}}$ ${\displaystyle [\alpha :\beta ]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ).}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}}$

下の矢印の構成

${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}}$

は点と原点を含む直線を与える。この例は、と とすることで、の原点を通る直線族をパラメータ化するように一般化できる。 ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).}$

表現論の観点

表現論の観点から見ると、素イデアルI は加群R / Iに対応し、環のスペクトルはRの既約巡回表現に対応し、より一般的な部分多様体は巡回である必要のない、おそらく既約な表現に対応します。抽象的に、群の表現論とは、 その群代数上の加群の研究であることを思い出してください

表現論との関連は、多項式環 、あるいは基底のない を考えることでより明確になります。後者の定式化から明らかなように、多項式環はベクトル空間上のモノイド代数であり、 を用いて書くことはベクトル空間の基底を選ぶことに対応します。すると、イデアルI、あるいは同義の加群はRの巡回表現となります（巡回とは、 1つの元をR -加群として生成するという意味であり、これは1次元表現を一般化します）。 ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R=K[V].}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle R/I,}$

体 が代数的に閉じている場合（例えば複素数）、すべての極大イデアルは、零点定理（Nullstellensatz ）によってn空間の点に対応する（ によって生成される極大イデアルは点 に対応する）。 のこれらの表現は、双対空間によって媒介変数化され、各 を対応する に送ることで共ベクトルが与えられる。したがって、 （K線型写像）の表現は、n個の数の集合、あるいはそれと同値な共ベクトルによって与えられる。 ${\displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle K[V]}$ ${\displaystyle V^{*},}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K}$ ${\displaystyle K^{n}\to K.}$

したがって、n空間上の点はRの最大の仕様として考えられ、まさに 1 次元表現に対応する。一方、有限点集合は有限次元表現に対応する（これは縮約可能であり、幾何学的には和集合であることに対応し、代数的には素イデアルではないことに対応する）。そして、非最大イデアルは無限次元表現に対応する。 ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],}$

関数解析の観点

「スペクトル」という用語は、作用素論における用法に由来する。有限次元ベクトル空間V上の線型作用素 Tが与えられたとき、主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理と同様に、作用素 T を一変数多項式環R = K [ T ]上の加群として考えることができる。すると、 K [ T ]のスペクトル（環として）は、Tのスペクトル（作用素として）に等しくなる。

さらに、環のスペクトルの幾何学的構造（つまり、加群の代数的構造）は、代数的重複度や幾何学的重複度といった作用素のスペクトルの挙動を捉える。例えば、2×2単位行列には対応する加群が存在する。

${\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}$

2×2のゼロ行列はモジュール

${\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}$

零固有値に対しては幾何学的重複度2を示し、一方、非自明な2×2冪零行列はモジュール

${\displaystyle K[T]/T^{2},}$

代数的重複度は 2 ですが、幾何学的重複度は 1 です。

より詳細には：

• 作用素の（幾何学的重複度を持つ）固有値は、重複度を持つ多様体の（被約）点に対応する
• モジュールの一次分解は多様体の未約点に対応する。
• 対角化可能な（半単純な）演算子は、縮小された多様体に対応する。
• 巡回モジュール（1つの生成元）は巡回ベクトル（ Tの下での軌道が空間に広がるベクトル）を持つ演算子に対応します。
• モジュールの最後の不変因子は演算子の最小多項式に等しく、不変因子の積は特性多項式に等しくなります。

一般化

スペクトルは、作用素論において環からC*-代数へと一般化することができ、 C*-代数のスペクトルの概念が得られます。特に、ハウスドルフ空間の場合、スカラー代数（空間上の有界連続関数であり、正則関数に類似）は可換C*-代数であり、空間はスカラー代数の位相空間として復元されます。これは関数的にも当てはまります。これはバナッハ＝ストーン定理の内容です。実際、任意の可換C*-代数はこのようにハウスドルフ空間のスカラー代数として実現でき、環とそのスペクトルの間と同じ対応が得られます。非可換C*-代数に一般化すると、非可換位相が得られます ${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} }$

関連項目

• スキーム（数学）
• 射影スキーム
• 行列のスペクトル
• アフィン性に関するセールの定理
• エタールスペクトル
• チーグラースペクトル
• 原始スペクトル
• ストーン双対性^[12]

引用

1. Sharp (2001)、p. 44、定義3.26
2. Hartshorne (1977)、p. 70、定義
3. Arkhangel'skii & Pontryagin (1990)、例 21、セクション 2.6
4. アティヤ＆マクドナルド（1969）、第1章演習23（iv）
5. ホッホスター（1969）
6. Vakil (nd)、第4章、例4.4.1
7. アティヤ＆マクドナルド（1969）、第5章、演習27
8. タリザデ（2019）
9. コック（2007）
10. フォンタナ＆ローパー（2008）
11. ブランダル（1979）
12. https://www.math.ias.edu/~lurie/261ynotes/lecture14.pdf を参照

参考文献

• アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、IG (1969). 『可換代数入門』ウェストビュー・プレス. ISBN 978-0-201-40751-8。
• アルハンゲリスキイ, AV ;ポンチャギン, LS編 (1990).一般位相幾何学 I.数学科学百科事典. 第17巻. doi :10.1007/978-3-642-61265-7. ISBN 978-3-642-64767-3。
• ブランダル、ウィリー (1979).有限生成加群が分解する可換環. 数学講義ノート. 第723巻. doi :10.1007/BFb0069021. ISBN 978-3-540-09507-1。
• コックス、デイビッド、オシェア、ドナル、リトル、ジョン（1997年）『理想、多様体、そしてアルゴリズム』ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94680-1
• アイゼンバッド、デイビッド、ハリス、ジョー（2000）「スキームの幾何学」、Graduate Texts in Mathematics、第197巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98637-1、MR  1730819
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• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
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• コック、ヨアヒム (2007). 「スペクトル、サポート、およびホッホスター双対性に関する考察」(PDF) . S2CID  54501563.
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• タリザデ、アボルファズル (2019). 「平坦位相とその二重の側面」. Communications in Algebra . 47 : 195–205 . arXiv : 1503.04299 . doi :10.1080/00927872.2018.1469637. S2CID  119574163
• ヴァキル、ラヴィ（nd）.「代数幾何学の基礎」. math.stanford.edu .

さらに詳しい情報

• https://mathoverflow.net/questions/441029/intrinsic-topology-on-the-zariski-spectrum

外部リンク

• ケビン・R・クームズ：リングのスペクトル
• スタックス・プロジェクトの著者。「27.3 接着による相対スペクトル」

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