Class of methods used in numerical analysis and scientific computing to solve ODE/PDE
スペクトル法は、 応用数学 や 科学計算において、特定の 微分方程式を 数値的に解くために 用いられる手法の一種です。その考え方は、微分方程式の解を特定の「 基底関数 」の和 （例えば、正弦波の和で あるフーリエ級数 ） として表し 、その和の係数を微分方程式を可能な限り満たすように選択するというものです。
スペクトル法と 有限要素法は 密接に関連しており、同じ考え方に基づいています。両者の主な違いは、スペクトル法では領域全体で一般に非ゼロとなる基底関数を使用するのに対し、有限要素法では小さなサブドメイン（ コンパクトサポート ）上でのみ非ゼロとなる基底関数を使用する点です。したがって、スペクトル法では変数を 大域的に 結合しますが、有限要素法では変数を局所的に結合します 。この理由もあって、スペクトル法は優れた誤差特性を持ち、解が 滑らか な場合、いわゆる「指数収束」が最も速くなります 。ただし、3次元の単一領域におけるスペクトル 衝撃波の捕捉 結果は知られていません（衝撃波は滑らかではありません）。 [1] 有限要素法の分野では、要素の次数が非常に高いか、グリッドパラメータ hの増加に伴って増加する手法を スペクトル要素法 と呼ぶことがあります 。
スペクトル法は、 微分方程式 （PDE、ODE、固有値など） [2] や 最適化問題 を解くために使用できます。スペクトル法を時間依存PDEに適用する場合、解は通常、時間依存係数を持つ基底関数の和として表されます。これをPDEに代入すると、係数に常微分方程式系が生成され、これは任意の常微分方程式の 数値解法 を使用して解くことができます。 [3] 常微分方程式の固有値問題も同様に行列固有値問題に変換されます [ 要出典 ] 。
スペクトル法は、1969年からスティーブン・オルザグ によって一連の論文の中で開発され 、周期幾何学問題に対するフーリエ級数法、有限および非有界幾何学問題に対する多項式スペクトル法、高度に非線形な問題に対する擬スペクトル法、定常問題の高速解法など、多くの手法が提案されています。スペクトル法の実装は、通常、 コロケーション法 、 ガラーキン 法、またはタウ法のいずれかを用いて行われます。非常に小さな問題の場合、スペクトル法は解を記号的に記述できるという点で独特であり、微分方程式の級数解に代わる実用的な手法となります。
スペクトル法は有限要素法よりも計算コストが低く、実装も容易です。スペクトル法は、滑らかな解を持つ単純な領域で高精度が求められる場合に最も威力を発揮します。しかし、スペクトル法は大域的な性質を持つため、ステップ計算に関連する行列は密であり、自由度が多い場合、計算効率が急速に低下します（行列適用を フーリエ変換 として記述できる場合など、いくつかの例外があります）。より大規模な問題や滑らかでない解の場合、疎行列と不連続性や急激な屈曲のより優れたモデリングにより、有限要素法の方が一般的に効果的です。
スペクトル法の例
具体的で直線的な例 ここでは、基本的な多変数微積分 と フーリエ級数 の理解を前提としています 。が 既知の2つの実変数の複素数値関数であり、gがxとyに関して周期的（つまり、 ）である場合、関数 f ( x , y )
を求めることに着目します。 g ( x , y ) {\displaystyle g(x,y)} g ( x , y ) = g ( x + 2 π , y ) = g ( x , y + 2 π ) {\displaystyle g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )}
( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) f ( x , y ) = g ( x , y ) for all x , y {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad {\text{for all }}x,y} ここで、左辺の式はそれぞれ x と y における f の2次偏微分を表します。これは ポアソン方程式 であり、物理的には熱伝導の問題、あるいはポテンシャル理論の問題などとして解釈できます。
f と g をフーリエ級数で 書くと次のようになります。
f =: ∑ a j , k e i ( j x + k y ) , g =: ∑ b j , k e i ( j x + k y ) , {\displaystyle {\begin{aligned}f&=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)},\\[5mu]g&=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)},\end{aligned}}} これを微分方程式に代入すると次の方程式が得られます。
∑ − a j , k ( j 2 + k 2 ) e i ( j x + k y ) = ∑ b j , k e i ( j x + k y ) . {\displaystyle \sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}.} 偏微分を無限和と交換しましたが、これは例えば fが 連続な二階微分を持つと仮定すれば正当です。フーリエ展開の一意性定理により、フーリエ係数は各項ごとに等しくする必要があり、以下のようになります。
a j , k = − b j , k j 2 + k 2 {\displaystyle a_{j,k}=-{\frac {b_{j,k}}{j^{2}+k^{2}}}} *
これはフーリエ係数 a j 、 k の明示的な式です。
周期境界条件の下では、 ポアソン方程式は b 0,0 = 0の場合にのみ解を持ちます。したがって、 分解能の平均に等しい a 0,0 を自由に選択できます。これは積分定数を選択することに対応します。
これをアルゴリズムに変換するには、有限個の周波数についてのみ解く必要があります。これにより誤差が生じますが、これは に比例することが示されます。 ここで 、 は扱われる最高周波数です。 h n {\displaystyle h^{n}} h := 1 / n {\displaystyle h:=1/n} n {\displaystyle n}
アルゴリズム g のフーリエ変換 ( b j,k )を計算します 。 式( * )を使用してf のフーリエ変換( a j,k )を計算します 。 ( a j,k )の逆フーリエ変換を行って f を計算します 。 我々は有限の周波数ウィンドウ（例えばサイズ n ）のみに関心があるので、これは 高速フーリエ変換 アルゴリズムを用いて実行できます 。したがって、このアルゴリズムは全体として O ( n log n ) の時間で実行されます 。
非線形の例 我々は、スペクトルアプローチを使用して 、強制された過渡的非線形 バーガース方程式を解きたいと考えています。
周期領域 が 与えられ 、 次の式が成り立つような値を
求める。 u ( x , 0 ) {\displaystyle u(x,0)} x ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle x\in \left[0,2\pi \right)} u ∈ U {\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}
∂ t u + u ∂ x u = ρ ∂ x x u + f ∀ x ∈ [ 0 , 2 π ) , ∀ t > 0 {\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=\rho \partial _{xx}u+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0} ここでρは 粘性 係数である。弱保存形式では、これは次のようになる。
⟨ ∂ t u , v ⟩ = ⟨ ∂ x ( − 1 2 u 2 + ρ ∂ x u ) , v ⟩ + ⟨ f , v ⟩ ∀ v ∈ V , ∀ t > 0 {\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle ={\Bigl \langle }\partial _{x}\left(-{\tfrac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v{\Bigr \rangle }+\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0} ここで、内積 表記に従う 。 部分積分 と周期性付与を利用すると
⟨ ∂ t u , v ⟩ = ⟨ 1 2 u 2 − ρ ∂ x u , ∂ x v ⟩ + ⟨ f , v ⟩ ∀ v ∈ V , ∀ t > 0. {\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.} フーリエ・ ガラーキン法 を適用するには、両方を選択します。
U N := { u : u ( x , t ) = ∑ k = − N / 2 N / 2 − 1 u ^ k ( t ) e i k x } {\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:={\biggl \{}u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}{\biggr \}}} そして
V N := span { e i k x : k ∈ − 1 2 N , … , 1 2 N − 1 } {\displaystyle {\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\}} ここで、 となる。これは 、 u ^ k ( t ) := 1 2 π ⟨ u ( x , t ) , e i k x ⟩ {\displaystyle {\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle } u ∈ U N {\displaystyle u\in {\mathcal {U}}^{N}}
⟨ ∂ t u , e i k x ⟩ = ⟨ 1 2 u 2 − ρ ∂ x u , ∂ x e i k x ⟩ + ⟨ f , e i k x ⟩ ∀ k ∈ { − 1 2 N , … , 1 2 N − 1 } , ∀ t > 0. {\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.} クロネッカー デルタ である 直交 関係 を用いて、上記の3つの項をそれぞれ について 簡略化すると、 ⟨ e i l x , e i k x ⟩ = 2 π δ l k {\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}} δ l k {\displaystyle \delta _{lk}} k {\displaystyle k}
⟨ ∂ t u , e i k x ⟩ = ⟨ ∂ t ∑ l u ^ l e i l x , e i k x ⟩ = ⟨ ∑ l ∂ t u ^ l e i l x , e i k x ⟩ = 2 π ∂ t u ^ k , ⟨ f , e i k x ⟩ = ⟨ ∑ l f ^ l e i l x , e i k x ⟩ = 2 π f ^ k , and ⟨ 1 2 u 2 − ρ ∂ x u , ∂ x e i k x ⟩ = ⟨ 1 2 ( ∑ p u ^ p e i p x ) ( ∑ q u ^ q e i q x ) − ρ ∂ x ∑ l u ^ l e i l x , ∂ x e i k x ⟩ = ⟨ 1 2 ∑ p ∑ q u ^ p u ^ q e i ( p + q ) x , i k e i k x ⟩ − ⟨ ρ i ∑ l l u ^ l e i l x , i k e i k x ⟩ = − 1 2 i k ⟨ ∑ p ∑ q u ^ p u ^ q e i ( p + q ) x , e i k x ⟩ − ρ k ⟨ ∑ l l u ^ l e i l x , e i k x ⟩ = − i π k ∑ p + q = k u ^ p u ^ q − 2 π ρ k 2 u ^ k . {\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }\partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }={\biggl \langle }\sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},\\\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }\sum _{l}{\hat {f}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi {\hat {f}}_{k},{\text{ and}}\\\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}{\Bigr )}-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}{\biggr \rangle }-{\biggl \langle }\rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-{\tfrac {1}{2}}ik{\biggl \langle }\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}{\biggr \rangle }-\rho k{\biggl \langle }\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}} それぞれの3つの項をまとめる と k {\displaystyle k}
2 π ∂ t u ^ k = − i π k ∑ p + q = k u ^ p u ^ q − 2 π ρ k 2 u ^ k + 2 π f ^ k k ∈ { − 1 2 N , … , 1 2 N − 1 } , ∀ t > 0. {\displaystyle 2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.} を で割ると 、最終的に に達する。 2 π {\displaystyle 2\pi }
∂ t u ^ k = − i k 2 ∑ p + q = k u ^ p u ^ q − ρ k 2 u ^ k + f ^ k k ∈ { − 1 2 N , … , 1 2 N − 1 } , ∀ t > 0. {\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.} フーリエ変換された初期条件 と強制 を用いて 、この連立常微分方程式を時間積分（例えば ルンゲ・クッタ 法を用いて）することで解を求めることができます。非線形項は 畳み込み であり、これを効率的に評価するための変換ベースの手法がいくつかあります。詳細については、BoydおよびCanutoらの参考文献を参照してください。 u ^ k ( 0 ) {\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)} f ^ k ( t ) {\displaystyle {\hat {f}}_{k}(t)}
スペクトル要素法との関係 が無限微分可能であれば 、高速フーリエ変換を用いた数値アルゴリズムは、グリッドサイズhのどの多項式よりも速く収束することが示せます。つまり、任意のn>0に対して、 十分に小さいすべての値に対して 誤差が 未満となるような が存在するということです 。スペクトル法は、任意のn>0に対して 次数 であると言えます 。 g {\displaystyle g} C n < ∞ {\displaystyle C_{n}<\infty } C n h n {\displaystyle C_{n}h^{n}} h {\displaystyle h} n {\displaystyle n}
スペクトル要素法は非常に高次の 有限要素法 である ため 、収束特性において類似点があります。しかし、スペクトル法が特定の境界値問題の固有値分解に基づいているのに対し、有限要素法ではその情報を使用せず、任意の 楕円境界値問題 に適用できます。
参照
参考文献 ^ pp 235、スペクトル法：複雑な形状への進化と流体力学への応用、Canuto、Hussaini、Quarteroni、Zang著、Springer、2007年。 ^ Muradova, Aliki D. (2008). 「座屈後挙動を考慮したフォン・カルマン問題に対するスペクトル法と数値接続アルゴリズム」. Adv Comput Math . 29 (2): 179– 206, 2008. doi :10.1007/s10444-007-9050-7. hdl : 1885/56758 . S2CID 46564029. ^ Muradova, Aliki D. (2015). 「長方形弾性板の非線形動的方程式を解くための時間スペクトル法」. Journal of Engineering Mathematics . 92 : 83–101 , 2015. doi :10.1007/s10665-014-9752-z. ベングト・フォルンベルグ（1996） 『擬似スペクトル法の実践ガイド』 ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、英国 John P. Boyd 著「チェビシェフとフーリエのスペクトル法」 Canuto C., Hussaini MY , Quarteroni A., Zang TA (2006) 『スペクトル法：単一領域における基礎』 Springer-Verlag, Berlin Heidelberg Javier de Frutos, Julia Novo (2000): ナビエ・ストークス方程式のスペクトル要素法による精度向上 微分方程式の多項式近似、ダニエル・フナロ著、物理学講義ノート、第8巻、シュプリンガー・フェアラーク、ハイデルベルク、1992年 D. GottliebとS. Orzag (1977)「スペクトル法の数値解析：理論と応用」、SIAM、フィラデルフィア、ペンシルベニア州 J. Hesthaven、S. Gottlieb、D. Gottlieb (2007)「時間依存問題に対するスペクトル法」、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、英国 スティーブン・A・オルザグ（1969） 乱流シミュレーションのための数値解析法 、Phys. Fluids Supp. II, 12, 250–257 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). 「セクション20.7. スペクトル法」. 数値計算レシピ：科学計算の芸術 （第3版）. ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-88068-8 。 Jie Shen、Tao Tang、Li-Lian Wang (2011)「スペクトル法：アルゴリズム、解析、応用」（Springer Series in Computational Mathematics、V. 41、Springer）、 ISBN 354071040X Lloyd N. Trefethen (2000) MATLABにおけるスペクトル法. SIAM, フィラデルフィア, PA Muradova AD (2008)「座屈後挙動を伴うフォン・カルマン問題に対するスペクトル法と数値接続アルゴリズム」、Advances in Computational Mathematics、29、pp. 179–206、https://doi.org/10.1007/s10444-007-9050-7。 Muradova AD (2015)「長方形弾性板の非線形動的方程式を解くための時間スペクトル法」、Journal of Engineering Mathematics、92、pp. 83–101、https://doi.org/10.1007/s10665-014-9752-z。
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定理 オペレーター 代数 未解決の問題 アプリケーション 高度なトピック
基本概念 主な結果 特殊要素/演算子 スペクトラム 分解 スペクトル定理 特殊代数 有限次元 一般化 その他 例 アプリケーション
![{\displaystyle {\begin{aligned}f&=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)},\\[5mu]g&=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b444d1620666b214445e57dcacc0c855753f3c0e)
