ヒルベルト空間上のコンパクト作用素

Functional analysis concept

関数解析という数学分野において、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素の概念は、有限次元ベクトル空間に作用する行列の概念の拡張である。ヒルベルト空間において、コンパクト作用素は、作用素ノルムによって誘導される位相における有限階数作用素（有限次元行列で表現可能）の閉包そのものである。したがって、行列理論の結果は、同様の議論を用いてコンパクト作用素に拡張できる場合がある。対照的に、無限次元空間上の一般作用素の研究では、しばしば全く異なるアプローチが必要となる。

例えば、バナッハ空間上のコンパクト作用素のスペクトル理論は、行列のジョルダン標準形に非常によく似た形をとります。ヒルベルト空間の文脈では、正方行列がユニタリ対角化可能であることと、それが正規 である場合に限ります。ヒルベルト空間上の正規コンパクト作用素についても同様の結果が得られます。より一般的には、コンパクト性仮定は無視できます。前述のように、非コンパクトの場合のスペクトル定理などの結果を証明するために使用される手法は、通常異なり、スペクトル上の作用素値測度が用いられます。

コンパクト演算子のサブクラスを検討する前に、一般的な特性から始めて、ヒルベルト空間上のコンパクト演算子のいくつかの結果について説明します。

意味

をヒルベルト空間とし、を 上の有界作用素全体の集合とする。このとき、の各有界集合の の像が に対して相対的にコンパクトであるとき、作用素はコンパクト作用素と呼ばれる。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T\in L(H)}$ ${\displaystyle T}$

いくつかの一般的な特性

このセクションでは、コンパクト演算子の一般的な特性をいくつか示します。

XとYが可分なヒルベルト空間である場合（実際には、Xがバナッハ、Y がノルム化されていれば十分です）、T  : X → Yがコンパクトであるための必要十分条件は、弱位相を持つXから（ノルム位相を持つ） Yへの写像として見た場合に、逐次連続となることです。（（Zhu 2007、定理 1.14、p.11）を参照。また、この参考文献では、F ⊆ Xが (ڈψ ∈ Hom( X、K )) sup{ x** (ψ) = ψ( x ) : x } < ∞ を満たす状況で、一様有界性が適用されることに注意します。ここで、Kは基礎体です。一様有界性原理は、ノルム位相を持つ Hom( X、K ) がバナッハ空間となり、写像x**  : Hom( X、K ) → Kがこの位相に関して連続準同型となるため適用されます。）

コンパクト作用素の族は、 L ( H )におけるノルム閉、両側、*-イデアルである。したがって、 Hが無限次元の場合、コンパクト作用素T は有界逆を持つことはできない。ST = TS = Iならば、恒等作用素はコンパクトとなるが、これは矛盾である。

強い作用素位相において有界作用素の列B _n → B、C _n → Cが成立し、Tがコンパクトであるとき、はノルムで収束する。^[1]例えば、標準基底 { e _n } を持つヒルベルト空間を考える。P _{m を}{ e ₁、 ... 、e _m }の線型領域への直交射影とする。列 { P _m } は恒等作用素Iに強く収束するが、一様収束ではない。T を T がコンパクトであることで定義すると、上述のように、一様作用素位相においてP _m T → IT = Tが成立する。すなわち、すべてのxに対して、 ${\displaystyle B_{n}TC_{n}^{*}}$ ${\displaystyle BTC^{*}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbf {N} ),}$ ${\displaystyle Te_{n}={\tfrac {1}{n^{2}}}e_{n}.}$ $${\displaystyle \left\|P_{m}Tx-Tx\right\|\leq \left({\frac {1}{m+1}}\right)^{2}\|x\|.}$$

各P _mは有限階数作用素であることに注意してください。同様の推論から、Tがコンパクトであれば、Tは有限階数作用素の列の一様極限であることが示されます。

コンパクト演算子のイデアルのノルム閉性により、逆もまた真である。

コンパクト演算子を法とするL ( H )の商 C*-代数はカルキン代数と呼ばれ、これを使用すると、演算子の特性をコンパクト摂動まで考慮することができます。

コンパクト自己随伴演算子

ヒルベルト空間H上の有界作用素Tが自己随伴であるとは、T = T*であるとき、あるいは同値であるとき、

$${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,\quad x,y\in H.}$$

したがって、 ⟨ Tx , x ⟩ は任意のx ∈ Hに対して実数であるため、 Tの固有値は、存在する場合は実数です。Hの閉線形部分空間L がTで不変である場合、 TのLへの制限はL上の自己随伴作用素となり、さらに、Lの直交補空間L ^⊥もTで不変です。たとえば、空間Hは、 2つのT不変閉線形部分空間の直交直和、つまりTの核と、核の直交補空間(ker T ) ^⊥ (これは、任意の有界自己随伴作用素について、 Tの値域の閉包に等しい) として分解できます。これらの基本事実は、以下のスペクトル定理の証明で重要な役割を果たします。

エルミートn × n行列の分類結果はスペクトル定理である。M = M *ならば、Mはユニタリ対角化可能であり、Mの対角化は実数成分を持つ。Tをヒルベルト空間H上のコンパクト自己随伴作用素とする。Tに対して同じ命題を証明する。作用素Tは、それぞれが実固有値に対応する固有ベクトルの直交集合によって対角化できる。

スペクトル定理

定理実または複素ヒルベルト空間H上の任意のコンパクト自己随伴作用素Tに対して、 Tの固有ベクトルからなるHの直交基底が存在する。より具体的には、 Tの核の直交補は、Tの固有ベクトルの有限直交基底、または対応する固有値{ λ _n } ⊂ Rを持つTの固有ベクトルの可算無限直交基底 { e _{n } を許容し、} λ _n → 0となる。

言い換えれば、コンパクト自己随伴作用素はユニタリ対角化できる。これがスペクトル定理である。

Hが分離可能な場合、基底 { e _n } をTの核の可算な直交基底と混合して、 Tの固有ベクトルと実固有値 { μ _n } ( μ _n → 0 ) で構成されるHの直交基底 { f n } を得ることができ_ます。

系実または複素分離無限次元ヒルベルト空間H上のすべてのコンパクト自己随伴演算子Tに対して、 Tの固有ベクトルと対応する固有値{ μ _n } ⊂ Rで構成され、 μ _n → 0となるHの可算無限直交基底 { f _n } が存在する。

アイデア

まず有限次元の証明について議論しましょう。エルミートn × n行列Tのスペクトル定理を証明するには、1つの固有ベクトルxの存在を示す必要があります。これを証明すると、エルミート性から、 x （ n − 1次元）の線形スパンと直交補空間の両方がTの不変部分空間であることが示されます。そして、目的の結果は について帰納的に得られます。 ${\displaystyle T_{x^{\perp }}}$

固有ベクトルの存在は、（少なくとも）2つの方法で示すことができます。

1. 代数的に次のように議論することができます: Tの特性多項式には複素根があるため、T には対応する固有ベクトルを持つ固有値が存在します。
2. 固有値は変分的に特徴付けることができます。最大の固有値は、f ( x ) = x*Tx = ⟨ Tx、x ⟩で定義される関数f : R ^{2 n} → Rの閉じた単位球面上の最大値です。

注：有限次元の場合、最初のアプローチの一部はより一般性を持って機能します。つまり、エルミート行列に限らず、任意の正方行列は固有ベクトルを持ちます。これは、ヒルベルト空間上の一般作用素には当てはまりません。無限次元の場合、特性多項式の概念をどのように一般化するかは、直ちには分かりません。

コンパクト自己随伴の場合のスペクトル定理も同様に導出できる。まず、上記の有限次元の2番目の議論を拡張して固有ベクトルを求め、その後に帰納法を適用する。まず行列の場合の議論を概説する。

R ^{2 n}の閉単位球面Sはコンパクトであり、fは連続なので、f ( S ) は実数直線上でコンパクトであり、したがってf はS上のある単位ベクトルyにおいて最大値をとる。ラグランジュの乗数定理により、y はある λ に対して を満たす 。エルミート性により、 Ty = λ yである。 $${\displaystyle \nabla f=\nabla y^{*}Ty=\lambda \cdot \nabla y^{*}y}$$

あるいは、z ∈ C ⁿを任意のベクトルとします。単位ベクトルy が単位球面（または単位球面）上で⟨ Tx , x ⟩ を最大化すると、レイリー商も最大化されることに留意してください。 $${\displaystyle g(x)={\frac {\langle Tx,x\rangle }{\|x\|^{2}}},\qquad 0\neq x\in \mathbf {C} ^{n}.}$$

次の関数を考えてみましょう: $${\displaystyle {\begin{cases}h:\mathbf {R} \to \mathbf {R} \\h(t)=g(y+tz)\end{cases}}}$$

計算により、h ′(0) = 0、すなわち、 $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(0)&=\lim _{t\to 0}{\frac {h(t)-h(0)}{t-0}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {g(y+tz)-g(y)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\|y+tz\|^{2}}}-{\frac {\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\lim _{t\to 0}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{t}}\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\langle y+tz,y+tz\rangle }}\right)(0)\\&=0.\end{aligned}}}$$

定義する： $${\displaystyle m={\frac {\langle Ty,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}}$$

代数処理をすると、上記の式は次のようになる（Reは複素数の実部を表す） $${\displaystyle \operatorname {Re} (\langle Ty-my,z\rangle )=0.}$$

しかし、zは任意なので、Ty − my = 0となる。これが行列の場合のスペクトル定理の証明の核心である。

ラグランジュ乗数は無限次元の場合にも一般化されますが、単位球面のコンパクト性は失われることに注意してください。ここで、作用素Tがコンパクトであるという仮定が有用です。

詳細

主張Tが非ゼロのヒルベルト空間H上のコンパクトな自己随伴作用素であり、 m ( T ) または − m ( T ) がTの固有値である  場合。 $${\displaystyle m(T):=\sup {\bigl \{}|\langle Tx,x\rangle |:x\in H,\,\|x\|\leq 1{\bigr \}},}$$

m ( T ) = 0ならば、偏光恒等式よりT = 0となり、この場合は明らかである。関数 $${\displaystyle {\begin{cases}f:H\to \mathbf {R} \\f(x)=\langle Tx,x\rangle \end{cases}}}$$

必要であればTを − Tに置き換えると、閉単位球B ⊂ H上のfの最大値はm ( T ) > 0に等しいと仮定できる。f がB上のある単位ベクトルyで最大値m ( T )に達する場合、行列の場合と同じ議論により、yはTの固有ベクトルとなり、対応する固有値はλ = ⟨ λy、y ⟩ = ⟨ Ty、y ⟩ = f ( y ) = m ( T )となる。

バナッハ・アラオグルの定理とHの反射性により、閉単位球Bは弱コンパクトである。また、Tのコンパクト性は（上記参照） 、弱位相を持つT  : X →ノルム位相を持つXが連続であることを意味する^{[異論あり–議論]}。これら2つの事実は、fが弱位相を持つB上で連続であることを意味し、したがってf はB上のあるy ∈ Bにおいて最大値mに達する。最大性により、今度はy がレイリー商g ( x ) も最大化することを意味する（上記参照）。これはyがTの固有ベクトルであることを示しており、主張の証明は終了する。 ${\displaystyle \|y\|=1,}$

注意：Tのコンパクト性は重要です。一般に、単位球B上の弱位相に対してfは連続である必要はありません。例えば、T を恒等作用素としますが、 Hが無限次元の場合にはコンパクトではありません。任意の直交系列 { y _n } をとると、y _{n は}0 に弱収束しますが、f ( y _n ) = 1 ≠ 0 = f (0) が成り立ちます。

T をヒルベルト空間H上のコンパクト作用素とする。対応する非ゼロ固有値を持つ、Tの有限（おそらく空）または可算無限の直交固有ベクトル列 { e n _{}は、次のように帰納法によって構成される。H 0} = H、T ₀ = Tとする。m ( T ₀ ) = 0 であれば、T = 0 となり、固有ベクトルe _nを生成せずに構成は停止する。Tの直交固有ベクトルe ₀、...、e _{n − 1}が見つかったとする。すると、E _n  := span( e ₀、...、e _{n − 1} )はTで不変となり、自己随伴性により、E _nの直交補空間H _nはTの不変部分空間となる。T n で T の H n への制限を表すものとする。m ₍ T n ₎ = 0であれば、T _n = 0_となり、構成は停止する。それ以外の場合、 T _nに適用された主張により、 H _nにはTのノルム 1 の固有ベクトルe _nがあり、対応する非ゼロの固有値 λ _n = ± m ( T _n )があります。

F = (span{ e _n }) ^⊥とします。ここで { e _n } は帰納的プロセスによって構成される有限または無限シーケンスです。自己随伴性により、FはTに関して不変です。SはTのFへの制限を表すものとします。プロセスが有限ステップ後に最後のベクトルe _{m −1}で停止した場合、構成によりF = H _mおよびS = T _m = 0 となります。無限の場合、Tのコンパクト性とe _nの 0 への弱収束により、Te _n = λ _n e _n → 0となり、したがってλ _n → 0となります。 F はすべてのnについてH _nに含まれているため、すべてのnについてm ( S ) ≤ m ({ T _n }) = | λ _n |となり、m ( S ) = 0となります。

S = 0であるという事実は、F がTの核に含まれることを意味する。逆に、x ∈ ker( T ) ならば、自己随伴性により、xは非零の固有値を持つすべての固有ベクトル { e _{n } と直交する。したがって、} F = ker( T )であり、 { e _n } はTの核の直交補ベクトルの直交基底となる。核の直交基底を選択することにより、 Tの対角化を完了することができる。これはスペクトル定理を証明する。

より短いですが、より抽象的な証明は次のとおりです。ゾルンの補題により、U を次の3つの特性を持つHの最大部分集合として選択します。 Uのすべての要素はTの固有ベクトルであり、それらの固有ベクトルはノルム 1 を持ち、Uの任意の2つの異なる要素は直交します。FをUの線形スパンの直交補集合とします。F ≠ {0} の場合、それはTの非自明な不変部分空間であり、最初の主張により、 FにはTのノルム 1 の固有ベクトルy が存在する必要があります。しかし、その場合U ∪ { y } はUの最大性と矛盾します。その結果、F = {0} となり、span( U ) はHで稠密になります。これは、UがTの固有ベクトルからなるHの直交基底であることを示しています。

関数微積分

T が無限次元ヒルベルト空間H上でコンパクトである場合、Tは逆行列を持たないため、Tのスペクトルσ( T ) は常に 0 を含む。スペクトル定理によれば、 σ( T ) はTの固有値 { λ _n }と 0 の固有値（0 が既に固有値でない場合）から構成される。集合 σ( T ) は複素数のコンパクト部分集合であり、固有値は σ( T ) において稠密である。

あらゆるスペクトル定理は関数微積分の観点から再定式化することができる。本稿では、以下の関係が成り立つ。

定理。C ( σ ( T )) を σ( T ) 上の連続関数の C*-代数とする。Φ : C ( σ ( T )) → L ( H )という唯一の等長準同型が存在し、Φ(1) = I が成り立ち、fが恒等関数f ( λ ) = λならばΦ( f ) = Tが成り立つ。ここで を定義できる（明らかにこれは が多項式であるときに成り立つ）。すると、 σ( g ( T )) = g (σ( T ))も成り立つ。 ${\displaystyle g(T):=\Phi (g)}$ ${\displaystyle g}$

関数計算写像 Φ は自然な方法で定義される。{ e _n } をHの固有ベクトルの正規直交基底とし、対応する固有値を { λ _{n } とする}。f ∈ C (σ( T ))に対して、正規直交基底 { e _n }に関して対角となる演算子 Φ( f ) は、 任意のnに対してと設定することで定義される。Φ( f ) は正規直交基底に関して対角であるため、そのノルムは対角係数の絶対値の上限に等しい。 $${\displaystyle \Phi (f)(e_{n})=f(\lambda _{n})e_{n}}$$ $${\displaystyle \|\Phi (f)\|=\sup _{\lambda _{n}\in \sigma (T)}|f(\lambda _{n})|=\|f\|_{C(\sigma (T))}.}$$

Φ の他の性質は容易に検証できる。逆に、定理の要件を満たす任意の準同型 Ψ は、fが多項式であるとき、 Φ と必ず一致する。ワイエルシュトラスの近似定理によれば、多項式関数はC (σ( T ))に稠密であり、 Ψ = Φとなる。これは Φ が一意であることを示す。

より一般的な連続関数計算は、ヒルベルト空間上の任意の自己随伴（複素数の場合は正規）有界線型作用素に対して定義できます。ここで説明するコンパクトなケースは、この関数計算の特に単純な例です。

同時対角化

ヒルベルト空間H（例えば有限次元C ⁿ）と自己随伴作用素の可換集合を考える。適切な条件下では、これは同時に（ユニタリに）対角化できる。すなわち、作用素の共通固有ベクトルからなる 直交基底Qが存在する。すなわち、 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)}$ $${\displaystyle (\forall {q\in Q,T\in {\mathcal {F}}})(\exists {\sigma \in \mathbf {C} })(T-\sigma )q=0}$$

補題—におけるすべての作用素がコンパクトであると仮定する。すると、すべての閉非零 -不変部分空間はに対する共通固有ベクトルを持つ。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle S\subseteq H}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

証拠

ケースI：すべての演算子はそれぞれ に1つの固有値を持ちます。単位長さの を任意の値とします。これは共通の固有ベクトルです。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$

ケースII：上に少なくとも2つの固有値を持つ演算子が存在し、 とします。Tはコンパクトで α は非ゼロなので、 は有限次元（したがって閉じた）非ゼロ -不変部分空間となります（演算子はすべてTと可換であるため、およびに対して が成り立ち、 となります）。特に、 α は上の の固有値の1つにすぎないため、 は確実に成り立ちます。したがって、原理的には 次元上の帰納法によって がに対して共通固有ベクトルを持つことが証明されます。 ${\displaystyle T\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\neq \alpha \in \sigma (T\upharpoonright S)}$ ${\displaystyle S':=\ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle T'\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in \ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$ ${\displaystyle (T-\alpha )(T'x)=(T'(T~x)-\alpha T'x)=0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \dim S'<\dim S}$ ${\displaystyle S'\subseteq S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

定理 1 —内のすべての演算子がコンパクトである場合、演算子は同時に (ユニタリに) 対角化できます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

証拠

次の集合は包含によって部分的に順序付けられている。これは明らかにゾルン性を持つ。したがって、Q を最大元とし、Q がヒルベルト空間H全体の基底であれば、これで完了である。そうでない場合、 とすると、これは -不変の非自明な閉部分空間になることは容易に分かる。したがって、上記の補題により、そこには演算子の共通固有ベクトル（必然的にQに直交する）が存在する。しかし、そうするとQ はP内に適切に拡張され、その最大性と矛盾する。 $${\displaystyle \mathbf {P} =\{A\subseteq H:A{\text{ is an orthonormal set of common eigenvectors for }}{\mathcal {F}}\},}$$ ${\displaystyle S=\langle Q\rangle ^{\bot }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

定理 2 —に入射コンパクト演算子がある場合、演算子は同時に（ユニタリに）対角化できます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

証拠

コンパクト単射を固定する。すると、ヒルベルト空間上のコンパクト対称作用素のスペクトル理論により、次式が得られる。ここで、は離散的で可算な正の実数の部分集合であり、すべての固有空間は有限次元である。可換集合であるため、すべての固有空間は不変である。有限次元である固有空間に制限された作用素はすべて自動的にコンパクトとなるため、定理1をこれらのそれぞれに適用し、 の直交基底Q σ_{を求めることができる。T} 0_は対称であるため、 は（可算な）直交集合である。また、最初に述べた分解により、これはHの基底でもある。 ${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle H={\overline {\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T_{0})}\ker(T_{0}-\sigma )}},}$$ ${\displaystyle \sigma (T_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ker(T_{0}-\sigma )}$ $${\displaystyle Q:=\bigcup _{\sigma \in \sigma (T_{0})}Q_{\sigma }}$$

定理 3 — H が有限次元ヒルベルト空間であり、演算子の可換集合で、それぞれが対角化可能である場合、演算子は同時に対角化できます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)}$

証拠

ケースI：すべての演算子はちょうど1つの固有値を持ちます。この場合、Hの基底はどれでも構いません。

ケースII：少なくとも2つの固有値を持つ演算子を固定し、が対称演算子となるようにする。ここで、 α を の固有値とする。すると、どちらも非自明な -不変部分空間であることが容易に分かる 。次元に関する帰納法により、部分空間には線型独立な基底Q ₁、Q ₂が存在することが分かる。これは、 の演算子が部分空間上で同時に対角化可能であることを示す。したがって、 は明らかにの演算子が同時に対角化可能であることを示す。 ${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P\in \operatorname {Hom} (H,H)^{\times }}$ ${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$ ${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$ $${\displaystyle \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right),\quad \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right)^{\bot }}$$ ${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$ ${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$ ${\displaystyle P(Q_{1}\cup Q_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

この証明では行列の仕組みを直接使う必要がなかったことに注意してください。行列を使うバージョンもあります。

上記の式を、すべての作用素が単にその随伴作用素と交換する場合にまで拡張することができる。この場合、対角化から「直交」という用語を削除する。ワイル＝ペーターによる表現から生じる作用素については、より弱い結果が存在する。G を固定された局所コンパクト・ハウスドルフ群とし、 ( G上のスケールに即した一意のハール測度に関する正方可積分可測関数の空間) とする。連続シフト作用素を考える。 ${\displaystyle H=L^{2}(G)}$ $${\displaystyle {\begin{cases}G\times H\to H\\(gf)(x)=f(g^{-1}x)\end{cases}}}$$

そして、Gがコンパクトであれば、 Hを有限次元既約不変部分空間の可算直和に一意に分解できる（これは本質的に作用素族の対角化である）。Gがコンパクトではなくアーベルであれば、対角化は達成されないが、Hを1 次元不変部分空間に連続的に分解できることは一意にわかる。 ${\displaystyle G\subseteq U(H)}$

コンパクト正規演算子

エルミート行列の族は、ユニタリ対角化可能な行列の真部分集合である。行列Mがユニタリ対角化可能であることと、それが正規行列であること、すなわちM*M = MM*であることは、同値である。コンパクト正規作用素についても同様のことが成り立つ。

Tをコンパクトとし、T*T = TT*とする。Tに直交座標分解を適用し、定義する。 $${\displaystyle R={\frac {T+T^{*}}{2}},\quad J={\frac {T-T^{*}}{2i}}.}$$

自己随伴コンパクト作用素RとJは、それぞれTの実部と虚部と呼ばれる。Tがコンパクトであることは、T*がコンパクトであることを意味し、したがってRとJもコンパクトであることを意味する。さらに、 Tの正規性は、RとJが可換であることを意味する。したがって、それらは同時に対角化可能であり、そこから主張が導かれる。

低正規コンパクト演算子(特に、非正規演算子) は正規です。

ユニタリ演算子

ユニタリ演算子 Uのスペクトルは複素平面上の単位円上に存在します。単位円全体になることもあります。しかし、Uが単位作用素とコンパクト摂動を組み合わせたものである場合、U は単位円上に 1 と、場合によっては有限集合または 1 に近づく数列を含む可算スペクトルのみを持ちます。より正確には、U = I + C（Cはコンパクト）と仮定します。方程式UU* = U*U = IおよびC = U − Iは、 Cが正規分布であることを示しています。C のスペクトルには0が含まれ、場合によっては有限集合または 0 に近づく数列が含まれます。U = I + C であるため、 UのスペクトルはCのスペクトルを1 シフトすることによって得られます。

例

• H = L ² ([0, 1])とします。によって定義される乗算演算子M は、 H上の有界自己随伴演算子であり、固有ベクトルを持たないため、スペクトル定理によりコンパクトにはなれません。 $${\displaystyle (Mf)(x)=xf(x),\quad f\in H,\,\,x\in [0,1]}$$
• 自己随伴でないヒルベルト空間上のコンパクト演算子の例としては、関数と値に対してと定義されるボルテラ演算子があります。これは、ボルテラ積分方程式に対応する演算子です。 ${\displaystyle f\in L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ $${\displaystyle V(f)(t)=\int _{0}^{t}f(s)\,ds.}$$
• 上のヒルベルト・シュミット核とそれに関連するヒルベルト・シュミット積分演算子をと定義すると、はコンパクト演算子となり、ヒルベルト・シュミットノルム を持つヒルベルト・シュミット演算子となります。 ${\displaystyle K:\Omega \times \Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$ ${\displaystyle T_{K}:L^{2}(\Omega )\to L^{2}(\Omega )}$ $${\displaystyle (T_{K}f)(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y.}$$ ${\displaystyle T_{K}}$ ${\displaystyle \|T_{k}\|_{\mathrm {HS} }=\|K\|_{L^{2}}}$
• ${\displaystyle T_{K}}$がコンパクト自己随伴演算子である場合、かつその場合に限り、はエルミート核であり、マーサーの定理によれば、 は の固有ベクトルの直交基底であり、固有値を持ち、その和は 上で絶対かつ一様収束します。 ${\displaystyle K(x,y)}$ $${\displaystyle K(x,y)=\sum \lambda _{n}\varphi _{n}(x){\overline {\varphi _{n}(y)}},}$$ ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$ ${\displaystyle T_{K}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

参照

• カルキン代数
• コンパクト演算子 – 連続線形演算子の一種
• スペクトルの分解（関数解析）  - 関数解析における構成、微分方程式を解くのに役立ちます − コンパクト性の仮定が取り除かれると、一般に演算子は可算なスペクトルを持つ必要はありません。
• フレドホルム演算子 – 積分方程式におけるフレドホルム理論の一部
• 特異値分解#ヒルベルト空間上の有界演算子 - 行列分解 − 特異値の概念は、行列からコンパクト演算子に拡張できます。
• コンパクト作用素のスペクトル理論
• 厳密に特異な演算子

参考文献

1. Widom, H. (1976). 「ブロック・テプリッツ行列と行列式の漸近的挙動 II」.数学の進歩. 21 (1): 1– 29. doi : 10.1016/0001-8708(76)90113-4 .

• J. Blank、P. Exner、M. Havlicek、「量子物理学におけるヒルベルト空間演算子」、アメリカ物理学会、1994 年。
• M. リード、B. サイモン、「現代数理物理学の方法 I: 関数解析」、アカデミック プレス、1972 年。
• Zhu, Kehe (2007)、「関数空間における作用素理論」、数学概説およびモノグラフ、第138巻、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3965-2

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