スペクトル（機能解析）

Set of eigenvalues of a matrix

数学、特に関数解析において、有界線型作用素（あるいはより一般的には非有界線型作用素）のスペクトルとは、行列の固有値の集合の一般化である。具体的には、複素数が有界線型作用素のスペクトルに含まれるとは、次の場合を言う。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

• どちらにも集合論的な逆元はありません。
• あるいは集合論的逆は有界ではないか、非稠密な部分集合上で定義されている。^[1]

ここで、は恒等演算子です。 ${\displaystyle I}$

閉グラフ定理により、がスペクトル内にあることと、有界演算子が上で非一対一であることに限ります。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda I:V\to V}$ ${\displaystyle V}$

スペクトルとそれに関連する特性の研究はスペクトル理論として知られており、数多くの応用があるが、最も顕著なのは量子力学の数学的定式化である。

有限次元 ベクトル空間上の作用素のスペクトルは、まさに固有値の集合である。しかし、無限次元空間上の作用素は、スペクトル内に追加の要素を持つ場合があり、また固有値を持たない場合もある。例えば、ヒルベルト空間ℓ ²上の右シフト作用素Rを考える。

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots ).}$

この式には固有値がありません。なぜなら、Rx = λxとすれば、この式を展開するとx ₁ =0、x ₂ =0 などとなるからです。一方、0 はスペクトル内にあります。なぜなら、演算子R  − 0 （つまりR自体）は逆であるものの、その逆はℓ ²に稠密でない集合上で定義されているからです。実際、複素バナッハ空間上のすべての有界線型演算子は、空でないスペクトルを持つ必要があります。

スペクトルの概念は、非有界（つまり、必ずしも有界とは限らない）作用素にも拡張されます。複素数 λが、定義域上で定義された非有界作用素のスペクトル内にあるとは、その全体にわたって定義された有界逆作用素が存在しないことを意味します。T が閉じている 場合（ Tが有界である場合も含む）、T の存在から、λ の有界性は自動的に導かれます。 ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$

バナッハ空間X上の有界線型作用素空間B ( X ) は、単位バナッハ代数の一例である。スペクトルの定義では、そのような代数が持つ性質以外にはB ( X ) の性質は何も言及されていないため、スペクトルの概念は、同じ定義をそのまま用いることで、この文脈に一般化することができる。

有界演算子のスペクトル

意味

を複素スカラー体 上のバナッハ空間に作用する有界線型作用素とし、を上の恒等作用素とする。のスペクトルは、 の逆作用素が有界線型作用素を持たないような 作用素全体の集合である。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

は線型作用素なので、逆作用素は存在するならば線型である。そして、有界逆定理により、それは有界である。したがって、スペクトルは、 が単射でないスカラーのみから構成される。 ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

与えられた演算子のスペクトルは と表記されることが多く、その補集合であるレゾルベントセットはと表記されます。 （は のスペクトル半径を表すために使用されることもあります。） ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle T}$

固有値との関係

が の固有値である場合、演算子は1対1対応ではないため、その逆演算子は定義されません。しかし、逆の記述は真ではありません。つまり、 が固有値でなくても、演算子に逆演算子がない可能性があります。したがって、演算子のスペクトルには常にそのすべての固有値が含まれますが、それだけに限定されるわけではありません。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda }$

例えば、実数の双無限列全体から成るヒルベルト空間を考える。 ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

は有限の平方和を持ちます。両側シフト演算子は、シーケンスのすべての要素を 1 つずつシフトするだけです。つまり、の場合、すべての整数 に対して が成り立ちます。固有値方程式はこの空間に非ゼロの解を持ちません。これは、すべての値が同じ絶対値を持つ ( の場合)、または等比数列である ( の場合) ことを意味するためであり、いずれにしても、それらの平方和は有限ではありません。ただし、 の場合、演算子は逆ではありません。たとえば、となるシーケンスはに含まれますが、となるシーケンスは に含まれません(つまり、すべての に対して)。 ${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u=T(v)}$ ${\displaystyle u_{i}=v_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T(v)=\lambda v}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$ ${\displaystyle \vert \lambda \vert \neq 1}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle |\lambda |=1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{i}=1/(|i|+1)}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (T-I)v=u}$ ${\displaystyle v_{i-1}=u_{i}+v_{i}}$ ${\displaystyle i}$

基本的なプロパティ

有界演算子Tのスペクトルは、常に複素平面の閉じた有界部分集合です。

スペクトルが空の場合、レゾルベント関数は

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,}$

複素平面上のあらゆる場所で定義され、有界となる。しかし、レゾルベント関数Rはその定義域上で正則であることが示される。リウヴィルの定理のベクトル値版によれば、この関数は定数であり、したがって、無限大でゼロとなるのと同様に、あらゆる場所でゼロとなる。これは矛盾である。

スペクトルの有界性は、 λにおけるノイマン級数展開から導かれる。スペクトルσ ( T )は|| T ||によって有界となる。同様の結果から、スペクトルの閉性も示される。

スペクトルの境界 || T || はいくらか精密化できる。T のスペクトル半径r ( T ) は、複素平面上で原点を中心とし、スペクトルσ ( T ) を内部に含む最小の円の半径である。すなわち、

${\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.}$

スペクトル半径の公式^[2]によれば、バナッハ代数の任意の元に対して、 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\right\|^{1/n}.}$

非有界演算子のスペクトル

スペクトルの定義をバナッハ空間X上の非有界作用素に拡張することができる。これらの作用素はもはやバナッハ代数B ( X ) の要素ではない。

意味

Xをバナッハ空間とし、を定義域 で定義された線型作用素とする。複素数λが のレゾルベント集合（または正則集合とも呼ばれる）に含まれるとは、作用素 ${\displaystyle T:\,D(T)\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

は、有界などこでも定義される逆演算子を持つ。つまり、有界演算子が存在する場合

${\displaystyle S:\,X\rightarrow D(T)}$

そういう

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.}$

複素数λがレゾルベント セット内にない場合、複素数λはスペクトル内に存在します。

λがレゾルベントに含まれる（つまりスペクトルに含まれない）ためには、有界の場合と同様に、両側逆元が存在するため、単射でなければなりません。前述と同様に、逆元が存在する場合、その線形性は直ちに証明されますが、一般には有界ではない可能性があるため、この条件は別途確認する必要があります。 ${\displaystyle T-\lambda I}$

閉グラフ定理によれば、Tが閉じている場合、その有界性は T の存在から直接導かれる。そして、有界の場合と同様に、複素数λ が閉作用素Tのスペクトルに含まれることと、Tが全単射でないこととは同値である。閉作用素のクラスには、すべての有界作用素が含まれることに注意されたい。 ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

基本的なプロパティ

非有界作用素のスペクトルは一般に、複素平面の閉じた、場合によっては空の部分集合である。作用素Tが閉じていない場合、 となる。 ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} }$

次の例は、閉じていない作用素が空スペクトルを持つ場合があることを示しています。上の微分作用素を表すとします。この定義域は、 -ソボレフ空間ノルムに関する の閉包として定義されます。この空間は、 におけるすべての関数が で零であるものとして特徴付けることができます。すると、はこの定義域で自明な核を持ちます。なぜなら、その核内の任意の - 関数は の定数倍であり、 が で零となるのは、 が恒等的に零となる場合のみだからです。したがって、スペクトルの補集合は のすべてです。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }((0,1])}$ ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{1}([0,1])}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle T-z}$ ${\displaystyle H^{1}([0,1])}$ ${\displaystyle e^{zt}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

スペクトル内の点の分類

バナッハ空間上の有界作用素Tは可逆、すなわち有界逆を持つため、かつTが下方に有界であること、すなわちあるに対して有界であり、かつ稠密な値域を持つことが条件となる。したがって、 Tのスペクトルは以下の部分に分割できる。 ${\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|,}$ ${\displaystyle c>0,}$

1. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$が下方に有界でない場合。特に、が単射でない場合、つまりλが固有値である場合に当てはまります。固有値の集合はTの点スペクトルと呼ばれ、 σ _p ( T )と表記されます。あるいは、は1対1であっても下方に有界でない可能性があります。このようなλは固有値ではありませんが、Tの近似固有値です（固有値自体も近似固有値です）。近似固有値の集合（点スペクトルを含む）はTの近似点スペクトルと呼ばれ、σ _ap ( T ) と表記されます。 ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$
2. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$が稠密な範囲を持たない場合、 λはTの圧縮スペクトルに含まれると言われ、 と表記される。が稠密な範囲を持たないが単射である場合、 λはTの残差スペクトルに含まれると言われ、 と表記される。 ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$

近似点スペクトルと残差スペクトルは必ずしも分離していないことに注意する必要がある^[3]（ただし、点スペクトルと残差スペクトルは分離している）。

以下のサブセクションでは、上で概説したσ ( T )の3つの部分についてさらに詳しく説明します。

点スペクトル

演算子が単射でない場合（つまり、T(x)=0となる非零のxが存在する場合）、その演算子は明らかに逆行列を持たない。したがって、λがTの固有値であれば、必然的にλ∈σ ( T )となる。Tの固有値の集合はTの点スペクトルとも呼ばれ、σp  (  T )と表記される。点スペクトルの閉包を純粋点スペクトルと呼ぶ著者もいれば、単に^{[4] [5]}と考える著者もいる_。 ${\displaystyle \sigma _{pp}(T)={\overline {\sigma _{p}(T)}}}$ ${\displaystyle \sigma _{pp}(T):=\sigma _{p}(T).}$

近似点スペクトル

より一般的には、有界逆定理により、Tは下方に有界でない場合、つまりすべてのx∈Xに対して|| Tx || ≥  c || x ||となるようなc  > 0が存在しない場合には逆関数ではない。したがって、スペクトルには近似固有値の集合、すなわちT - λIが下方に有界でないλの集合が含まれる。つまり、 λの集合において、単位ベクトルの列x ₁ , x ₂ , ...が存在する場合、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}$。

近似固有値の集合は近似点スペクトルと呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$

固有値が近似点スペクトル内にあることは容易にわかります。

例えば、次のように定義される 左右シフトWを考える。 ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle W:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,}$

ここで、はにおける標準直交基底である。直接計算により、Wには固有値は存在しないが、λが近似固有値となることがわかる。x n_をベクトルとする 。 ${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle |\lambda |=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )}$

すべてのnに対して|| x _n || = 1であることがわかりますが、

${\displaystyle \|Wx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.}$

Wはユニタリ演算子であるため、そのスペクトルは単位円上に存在します。したがって、Wの近似点スペクトルはそのスペクトル全体となります。

この結論は、より一般的な演算子のクラスにも当てはまります。ユニタリ演算子は正規演算子です。スペクトル定理によれば、ヒルベルト空間 H 上の有界演算子が正規演算子であるための必要十分条件は、（Hをある空間と同一視した後）乗法演算子と同値となることです。有界乗法演算子の近似点スペクトルは、そのスペクトルと等しいことが示されます。 ${\displaystyle L^{2}}$

離散スペクトル

離散スペクトルは、正規固有値の集合として定義される。あるいは、それと同義で、対応するリース射影が有限階数となるようなスペクトルの孤立点の集合として定義される。したがって、離散スペクトルは点スペクトルの厳密な部分集合、すなわち、 ${\displaystyle \sigma _{d}(T)\subset \sigma _{p}(T).}$

連続スペクトル

λが単射かつ稠密な値域を持ち、かつ射影的でないようなすべてのλの集合は、 Tの連続スペクトルと呼ばれ、 と表記される 。したがって、連続スペクトルは、固有値ではなく残差スペクトルに含まれない近似固有値から構成される。つまり、 ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$。

例えば、、、は単射で稠密な値域を持ちますが、 です。実際、となるような の場合、 が必ずしも になるわけではなく、 となります。 ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\right|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$

圧縮スペクトル

が稠密範囲を持たないの集合はT の圧縮スペクトルとして知られており、 と表記されます 。 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$

残差スペクトル

に対して単射だが稠密な範囲を持たないの集合はTの残差スペクトルとして知られ、 と表記される 。 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).}$

演算子は単射で、下界があっても逆ではない場合があります。 、 、 の右シフトはその一例です。このシフト演算子は等長変換であるため、下界は1です。しかし、これは射影的（ ）ではなく、さらに（ ）において稠密ではないため、逆ではありません。 ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}}$

周辺スペクトル

演算子の周辺スペクトルは、そのスペクトル半径に等しい係数を持つスペクトル内の点の集合として定義されます。^[6]

必須スペクトル

閉じた稠密定義線形作用素の本質スペクトルには、次の5つの類似の定義がある。 ${\displaystyle A:\,X\to X}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

これらすべてのスペクトルは、自己随伴演算子の場合には一致します。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5}$

1. 本質的なスペクトルは、 が半フレドホルムではないようなスペクトルの点の集合として定義されます。(演算子 が半フレドホルムであるのは、その値域が閉じており、その核または余核のいずれか (あるいは両方) が有限次元である場合です。)例 1:演算子 の場合、(この演算子の値域は閉じていないため。値域には のすべては含まれませんが、その閉包には が含まれます)。例 2:の場合、任意の の場合、(この演算子の核と余核は両方とも無限次元であるため)。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$ ${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$ ${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$
2. 本質スペクトルは、演算子が無限次元核を持つか、値域が閉じていないスペクトルの点の集合として定義されます。これは、ワイルの基準によって特徴付けることもできます。つまり、空間Xに、かつ収束部分列を含まないような列が存在するということです。このような列は特異列（または特異ワイル列）と呼ばれます。例：演算子 について、jが偶数でj が奇数のとき（核は無限次元、余核は0次元）。 に注意してください。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$ ${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$ ${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)}$
3. 本質スペクトルは、スペクトルの点の集合であって、フレドホルムではないものとして定義されます。(演算子 がフレドホルムとなるのは、その値域が閉じており、核と余核が有限次元である場合です。)例:演算子 の場合、(核は0次元、余核は無限次元)。 であることに注意してください。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$ ${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)}$
4. 本質スペクトルは、指数0のフレドホルムではないスペクトルの点の集合として定義されます。これは、 Aのスペクトルのうち、コンパクト摂動によって保存される最大の部分として特徴付けられることもあります。言い換えると、; ここで はX上のすべてのコンパクト作用素の集合を表します。例：は右シフト作用素、であり、のとき（核は0、余核は1次元）。 であることに注意してください。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$ ${\displaystyle B_{0}(X)}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)}$
5. 本質的スペクトルは、の成分のうち、レゾルベントセット と交わらないものすべてと の和集合である。これは と特徴付けることもできる。例: 、について、演算子 を考えてみよう。であるため、 が成り立つ。 となる任意の について、の値域は稠密だが閉じていないので、単位円の境界は本質的スペクトルの最初のタイプ、 内に収まる。 となる任意の について、は閉値域、1 次元核、および 次元余核を持つため、についてはとなるが、 となる。したがってについては となる。 には、およびの 2 つの成分がある。成分はレゾルベントセットと交わらない。定義により となる。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$
   ${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$ ${\displaystyle j\neq 0}$ ${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$ ${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$ ${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle T-zI}$ ${\displaystyle \partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle T-zI}$ ${\displaystyle z\in \sigma (T)}$ ${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|>1\}}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}}$ ${\displaystyle \{|z|<1\}}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C} :\,|z|\leq 1\}}$

例: 水素原子

水素原子は、スペクトルの様々な種類の例である。定義域を持つ水素原子ハミルトニアン演算子 は 、離散的な固有値集合（離散スペクトル。この場合、連続スペクトルに固有値が埋め込まれていないため、点スペクトルと一致する）を持ち、リュードベリの公式によって計算できる。対応する固有関数は、固有状態または束縛状態と呼ばれる。イオン化過程の結果は、スペクトルの連続部分（衝突／イオン化のエネルギーは「量子化」されていない）によって記述され、 で表される（これは本質的なスペクトル とも一致する）。^{[要出典] [要説明]} ${\displaystyle H=-\Delta -{\frac {Z}{|x|}}}$ ${\displaystyle Z>0}$ ${\displaystyle D(H)=H^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(H)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(H)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cont} }(H)=[0,+\infty )}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(H)=[0,+\infty )}$

随伴演算子のスペクトル

X をバナッハ空間とし、稠密な領域 を持つ閉線型作用素とする。X *をXの双対空間とし、 をTのエルミート随伴空間とすると、 ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subset X}$ ${\displaystyle T^{*}:\,X^{*}\to X^{*}}$

${\displaystyle \sigma (T^{*})={\overline {\sigma (T)}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \sigma (T)\}.}$

定理—有界（またはより一般的には閉じて稠密に定義された）演算子Tに対して、

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)={\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$。

特に、。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

証拠

がXにおいて稠密でないと仮定する。ハーン・バナッハの定理により、で消滅する非零元が存在する。任意のx ∈ Xに対して、 ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$

${\displaystyle \langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =0.}$

したがって、はT*の固有値です。 ${\displaystyle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0\in X^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

逆に、 がT*の固有値であるとする。すると、となる非零の値が存在する。すなわち、 ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$ ${\displaystyle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0}$

${\displaystyle \forall x\in X,\;\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =\langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =0.}$

がXに稠密ならば、φは零汎関数でなければならないが、これは矛盾である。主張は証明された。 ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$

また、次の議論からも、X はX**に等長的に埋め込まれることがわかる 。したがって、 の核の非零元ごとに、X**に で消滅する非零元が存在する。したがって、は稠密ではない。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$

さらに、Xが反射的である場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

特定のクラスの演算子のスペクトル

コンパクト演算子

Tがコンパクト演算子、またはより一般的には非本質的演算子である場合、スペクトルは可算であり、ゼロが唯一の可能な累積点、スペクトル内の任意の非ゼロλが固有値であることが示されます。

準潜在的演算子

有界作用素が準有界作用素であるとは、（言い換えれば、Aのスペクトル半径が0であるとき）である。このような作用素は、以下の条件によって特徴付けられる。 ${\displaystyle A:\,X\to X}$ ${\displaystyle \lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \sigma (A)=\{0\}.}$

このような演算子の例としては、の があります。 ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

自己随伴演算子

Xがヒルベルト空間で、T が自己随伴演算子(または、より一般的には、正規演算子)である場合、スペクトル定理として知られる注目すべき結果により、正規の有限次元演算子 (たとえば、エルミート行列) に対する対角化定理の類似が得られます。

自己随伴演算子の場合、スペクトル測度を使用して、スペクトルを絶対連続部分、純点部分、および特異部分に 分解することを定義できます。

実演算子のスペクトル

レゾルベントとスペクトルの定義は、複素体 ではなく実体 上のバナッハ空間に作用する任意の連続線型作用素に、その複素化を介して拡張できる。この場合、レゾルベント集合を、複素化空間 に作用する作用素として可逆であるようなすべての の集合として定義し、 を定義する。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }-\lambda I}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} \setminus \rho (T)}$

実スペクトル

実バナッハ空間 に作用する連続線型作用素 の実スペクトルは、に作用する有界線型作用素の実代数において逆変換不可能となる の集合として定義される。この場合、 となる。実スペクトルは複素スペクトルと一致する場合と一致しない場合がある点に注意する必要がある。特に、実スペクトルは空である可能性がある。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$

単位バナッハ代数のスペクトル

B を単位eを含む複素バナッハ代数とする。Bの元xのスペクトルσ ( x )（より具体的にはσ _B ( x )）を、 Bにおいてλe  −  xが逆でない 複素数λの集合と定義する。これは、B ( X ) が単位バナッハ代数であるため、バナッハ空間X上の有界線型作用素B ( X )の定義を拡張する。

参照

• 必須スペクトル
• 離散スペクトル（数学）
• 自己随伴演算子
• 擬似スペクトル
• 解決セット

注記

1. Kreyszig, Erwin.応用を伴う関数解析入門.
2. Kadison & Ringrose (1983) の定理 3.3.3、「作用素代数理論の基礎、第 1 巻: 初等理論」、ニューヨーク: Academic Press、Inc.
3. 「近似点スペクトルと残差スペクトル間の空でない交差」。
4. テシュル 2014、115ページ。
5. サイモン 2005、44ページ。
6. ザーネン、アドリアン C. (2012)。 Riesz 空間における作用素理論の紹介。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。 p. 304.ISBN​ 9783642606373. 2017年9月8日閲覧。

参考文献

• Dales他著『バナッハ代数、作用素、調和解析入門』ISBN 0-521-53584-0
• 「演算子のスペクトル」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• サイモン、バリー(2005).単位円上の直交多項式 第1部 古典理論. アメリカ数学会コロキウム出版. 第54巻. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-3446-6. MR  2105088。
• テシュル, G. (2014). 『量子力学における数学的手法』 プロビデンス (RI): アメリカ数学協会ISBN 978-1-4704-1704-8。

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