球面調和関数

数学および物理科学において、球面調和関数は球面上で定義される特殊関数です。多くの科学分野において、偏微分方程式を解く際にしばしば用いられます。球面調和関数の表には、一般的な球面調和関数の一覧が記載されています。

球面調和関数は完全な直交関数の集合を形成し、したがって正規直交基底を形成するため、球面上で定義された特定の関数はこれらの球面調和関数の和として表すことができます。これは、フーリエ級数を介して円関数(正弦関数と余弦関数)の和として表すことができる円上で定義された周期関数に似ています。フーリエ級数の正弦関数と余弦関数のように、球面調和関数は、右の図の関数の行に見られるように、 (空間)角周波数によって整理できます。さらに、球面調和関数は、 3次元の回転群である SO(3)の既約表現の基底関数であるため、 SO(3) の群論的議論で中心的な役割を果たします。

球面調和関数は、球面領域でラプラス方程式を解くことから生じる。ラプラス方程式の解である関数は調和関数と呼ばれる。その名前にもかかわらず、球面調和関数は直交座標で最も単純な形を取り、そこではラプラス方程式に従う次数の同次多項式として定義できる。同次性を利用して前述の次数の多項式から径方向の依存性の因子を抽出すれば、球面座標との関連は直ちに生じる。残りの因子は、球面角座標とのみの関数と見なすことができる。あるいは、それと同等に、これらの角度で指定される方向単位ベクトルの関数と見なすことができる。この設定では、それらは3次元におけるラプラス方程式の解の集合の角度部分と見なすことができ、この観点はしばしば代替定義として採用される。ただし、球面調和関数は、球面上の標準的な円形計量に対するラプラス・ベルトラミ作用素に関して調和的な球面関数ではないことに注意する必要がある。この意味で球面上の唯一の調和関数は定数であり、これは調和関数が最大原理を満たすためである。球面調和関数は、球面上の関数として、ラプラス・ベルトラミ作用素の固有関数である（高次元を参照）。 $\ell$ $(x,y,z)$ $r^{\ell}$ $\ell$ $\theta$ $\varphi$ $\mathbf {r}$

またはで示される特定の球面調和関数のセットは、 1782年にピエール・シモン・ド・ラプラスによって初めて導入されたため、ラプラスの球面調和関数として知られています。 ^[1]これらの関数は直交系を形成し、したがって、上で言及した球面上の一般関数の展開の基礎となります。 $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ $Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })$

球面調和関数は、多極静電場および電磁場、電子配置、重力場、ジオイド、惑星や恒星の磁場、宇宙マイクロ波背景放射など、多くの理論的および実用的な応用において重要です。3D コンピュータグラフィックスでは、球面調和関数は間接照明（アンビエントオクルージョン、グローバルイルミネーション、事前計算による放射伝達など）や3D形状のモデリングなど、幅広い分野で重要な役割を果たします。

歴史

球面調和関数は、ニュートンの万有引力の法則のニュートン力学ポテンシャルと関連して、初めて三次元で研究されました。1782年、ピエール＝シモン・ド・ラプラスは著書『天球の力学』の中で、点 $x$ $i$ に位置する質点 $m$ $i$ の集合に関連する点 $x$ における重力ポテンシャルが次式で与えられることを明らかにしました。 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$

$V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.$

上記の総和の各項は、質点の個々のニュートンポテンシャルである。その直前、アドリアン＝マリー・ルジャンドルは、ニュートンポテンシャルの $r = | x |$ および $r 1 = | x 1 |$ のべき乗展開を研究していた。彼は、 $r \leq r 1$ のとき、

${\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots$

ここで、 $γはベクトル$ $x$ と $x 1$ の間の角度である。これらの関数はルジャンドル多項式であり、球面調和関数の特殊なケースとして導出できる。その後、ラプラスは1782年の回想録の中で、球面座標を用いてこれらの係数を解析し、 $x$ $1$ と $x$ の間の角度 $γ$ を表した。（詳細はルジャンドル多項式 § 応用を参照。） $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$

1867年、ウィリアム・トムソン（ケルビン卿）とピーター・ガスリー・テイトは、著書『自然哲学論』の中で、固体球面調和関数を導入し、これらの関数に「球面調和関数」という名称を初めて導入した。固体調和関数は、ラプラス方程式の同次多項式解であった。トムソンとテイトは、球座標系におけるラプラス方程式を調べることで、ラプラスの球面調和関数を復元した（「調和多項式表現」を参照）。「ラプラス係数」という用語は、ウィリアム・ヒューウェルが、この考え方に沿って導入された特定の解の体系を説明するために用いたが、他の人々は、この用語を、ラプラスとルジャンドルによって適切に導入された帯状球面調和関数にのみ用いた。 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.$

19 世紀におけるフーリエ級数の発展により、熱方程式や波動方程式などのさまざまな物理的問題を長方形領域で解くことが可能になりました。これは、関数を三角関数の級数に展開することで実現できます。フーリエ級数における三角関数は弦の基本振動モードを表しますが、球面調和関数はほぼ同じように球の基本振動モードを表します。フーリエ級数の理論の多くの側面は、三角関数ではなく球面調和関数で展開することで一般化できます。さらに、三角関数を複素指数関数として同等に表すことができるのと同様に、球面調和関数も複素数値関数として同等の形を持っていました。これは、もともとラプラスとルジャンドルが研究した天体力学などの球対称性を持つ問題にとって恩恵でした。

球面調和関数は物理学において既に広く普及しており、20世紀に量子力学が誕生した際にその重要性が増す基盤となりました。（複素数値の）球面調和関数は軌道角運動量演算子の2乗の固有関数であり、したがって原子軌道の様々な量子化された配置を表します。 $S^{2}\to \mathbb {C}$ $-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,$

ラプラスの球面調和関数

ラプラス方程式は、スカラー場 $f$ のラプラシアンがゼロであることを規定する。（ここで、スカラー場は複素数、すなわち（滑らかな）関数に対応するものと理解される。）球座標では、これは次のようになる。^[2] $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$

$\nabla^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$

$f (r, θ, φ) = R (r) Y (θ, φ)$ という形式の解を求める問題を考えてみましょう。変数分離により、ラプラス方程式を適用することで2つの微分方程式が得られます。2 番目の方程式は、 $Yが$ $Y$ $($ $θ$ $,$ $φ$ $) = Θ($ $θ$ $) Φ($ $φ$ $)$ という形式であると仮定して簡略化できます。2番目の方程式に再び変数分離を適用すると、次の2つの微分方程式が得られます。 ${\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .$

${\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}$ $\lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}$

となる。演繹的には $m$ $は$ 複素定数であるが、 $Φ は周期が$ $2$ $π を$ 均等に割り切る周期関数でなければならないため、 $m は$ 必然的に整数となり、 $Φ$ は複素指数関数 $e$ $\pm$ $imφ$ の線形結合となる。解関数 $Y$ $($ $θ$ $,$ $φ$ $) は$ 球面の極、つまり $θ$ $= 0,$ $π$ で正則となる。この正則性を領域の境界点で第 2 方程式の解 $Θに課すことは、$ $ℓ$ $\geq |$ $m$ $|$ を満たすある非負整数に対してパラメータ $λが$ $λ$ $=$ $ℓ$ $($ $ℓ$ $+ 1)$ の形になることを強制するSturm–Liouville 問題である。これはまた、以下で軌道角運動量の観点からも説明される。さらに、変数変換 $t$ $= cos$ $θ$ により、この方程式はルジャンドル方程式に変換され、その解はルジャンドル随伴多項式 $P$ $m ℓ (cos θ) 。最後に、$ $R$ の方程式は、 $R (r) = A r ℓ + B r - ℓ - 1$ の形の解を持ちます。この解は $R 3$ 全体にわたって正則であることが要求され、 $B = 0 が$ 強制されます。^[3]

ここで、解は特別な形式 $Y (θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ)を持つと仮定した。$ $ℓ$ の値が与えられた場合、この形式の独立解は $2 ℓ + 1 個$ 存在し、 $-$ $ℓ$ $\leq$ $m$ $\leq$ $ℓ$ を満たす整数 $m$ ごとに1つ存在する。これらの角度解は、ここでは複素指数関数として表される三角関数と、ルジャンドル陪多項式の積である。 $Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb{C}$

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })$

満たす $r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$

ここでは次 $ℓ$ 、次数 $m$ の球面調和関数と呼ばれ、は準ルジャンドル多項式、 $N$ は正規化定数、^[4]、 $θ$ と $φ は$ それぞれ余緯度と経度を表します。特に、余緯度 $θ$ 、つまり極角は、北極の $0$ から赤道の $π$ $/2$ 、南極の $π$ までの範囲にあり、経度 $φ$ 、つまり方位角は、 $0 \leq$ $φ$ $< 2$ $π$ のすべての値を取ることができます。固定の整数 $ℓ$ に対して、固有値問題のすべての解 $Y$ $($ $θ$ $,$ $φ$ $)$ 、はの線形結合です。実際、このような解のいずれについても、 $r$ $ℓ$ $Y$ $($ $θ$ $,$ $φ$ $)は、調和である$ 同次多項式(以下を参照)の球座標での表現であるため、次元を数えると、このような多項式が $2$ $ℓ$ $+ 1$ 線形独立であることがわかります。 $Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb{C}$ $P_{\ell}^{m}:[-1,1]\to \mathbb{R}$ $Y:S^{2}\to \mathbb {C}$ $r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y$ $Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb{C}$ $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$

原点を中心とする球面上のラプラス方程式の一般解は、球面調和関数の線形結合に適切なスケール係数 $r$ $ℓ$ を乗じたものである。 $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ $\Delta f=0$

$f(r,\theta,\varphi)=\sum _{\ell =0}^{\infty}\sum _{m=-\ell}^{\ell}f_{\ell}^{m}r^{\ell}Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi),$

ここで、は定数であり、因子 $r$ $ℓ$ $Y ℓ$ $m$ $は$ （正則）固体調和関数として知られている。このような展開は球面体において有効である。 $f_{\ell}^{m}\in \mathbb{C}$ $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$

$r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}$

の場合、代わりにの負のべきを持つ立体調和関数（不規則立体調和関数）が選択されます。その場合、項を一致させて級数展開係数を求めるには、上で使用したテイラー級数（について）ではなく、既知の領域の解をローラン級数（について）で展開する必要があります。 $r>R$ $r$ $\mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C}$ $r=\infty$ $r=0$ $f_{\ell}^{m}\in \mathbb{C}$

軌道角運動量

量子力学において、ラプラスの球面調和関数は軌道角運動量^{[5]の観点から理解される} $。ħ$ は量子力学において慣例的な単位であり、 $ħ$ $= 1$ となる単位で作業するのが便利である。球面調和関数は軌道角運動量の2乗の固有関数である。ラプラスの球面調和関数は、軌道角運動量の2乗と方位軸周りの回転の生成子の結合固有関数である。 $\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } )=L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .$ ${\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}$

これらの演算子は可換であり、R ³上の重み関数として正規分布に関して二乗積分可能な関数fの重み付きヒルベルト空間上の稠密に定義された自己随伴演算子です。さらに、L ^2は正の演算子です。 ${\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .$

$Y が$ $L 2$ と $L z$ の結合固有関数である場合、定義により、ある実数mとλに対して成立する。ここでm は整数でなければならない。なぜなら、Y は座標φにおいて周期的であり、周期は 2 πを割り切る数でなければならないからである。さらに、 L _x、L _y、L _zはそれぞれ自己随伴であるため、 $λ$ $\geq$ $m$ $2$ が成立する。 ${\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}$ $\mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}$

この結合固有空間を $E λ, m$ で表し、上昇演算子と下降演算子を次のように定義する。すると、L $+$ $と$ L $-$ $は$ $L$ $2$ と可換となり、 $L$ $+$ , $L$ $-$ , $L$ $z$ によって生成されるリー代数は、交換関係を持つ2 次特殊線型リー代数となる。したがって、 $L$ $+$ $:$ $E$ $λ$ $,$ $m$ $\to$ $E$ $λ$ $,$ $m$ $+1$ （これは「上昇演算子」である）、 $L$ $-$ $:$ $E$ $λ$ $,$ $m$ $\to$ $E$ $λ$ $,$ $m$ $-1$ （これは「下降演算子」である）。特に、 $L$ ${\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}$ ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ $[L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.$ $k + : E λ, m \to E λ, m + k は$ 、 kが十分に大きい場合、ゼロでなければなりません。 $これ$ は、不等式 $λ \geq m 2 が$ 各非自明な結合固有空間で成立する必要があるためです。Y $\in$ $E$ $λ$ $,$ $m を$ 非ゼロの結合固有関数とし、 $k を$ 次の式を満たす最小の整数とします。すると、次の式が成り立つため、 $λ$ $=$ $ℓ$ $($ $ℓ$ $+ 1 )$ が成り立ち、正の整数 $ℓ$ $=$ $m$ $+$ $k$ に対して成り立ちます。 $L_{+}^{k}Y=0.$ $L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}$ $0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.$

これまで述べてきたことは球面座標表現で説明してきましたが、より抽象的に完全な直交球面ケット基底で表現することもできます。 $\langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$

調和多項式表現

球面調和関数は、特定の多項式関数の単位球面への制限として表現できます。具体的には、（複素数値）多項式関数が次数の同次であるとは、すべての実数とすべてのに対してであることを意味します。が調和関数であるとは、がラプラシアンであることを意味します。そして、各に対して、次のように定義します。 $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ $p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ $\ell$ $p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} )$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$ $p$ $\Delta p=0,$ $\Delta$ $\ell$ $\mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{調和多項式 }}\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} {\text{次数同次 }}\ell \right\}。$

例えば、のとき、はすべての線形関数の3次元空間に相当します。なぜなら、そのような関数は自動的に調和関数となるからです。一方、のときは、5次元空間となります。 $\ell =1$ $\mathbf {A} _{1}$ $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ $\ell =2$ $\mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_{2}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,2x_{3}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}).$

任意のに対して、次数の球面調和関数の空間は、の元の球面への制限の空間に他なりません。^{[6]序論で示唆したように、この観点はおそらく「球面調和関数」（すなわち、}調和関数の球面への制限）という用語の起源です。 $\ell$ $\mathbf {H} _{\ell}$ $\ell$ $S^{2}$ $\mathbf {A} _{\ell}$

例えば、任意のに対して、の式は定義域と余定義域を持つ次数の斉次多項式を定義します。この多項式はとは独立です。この多項式は調和関数であることが容易にわかります。球座標で書き、に制限すると、が得られます。これはと書き直すことができます。ルジャンドル従属多項式の式を用いた後、これを球面調和関数の式として認識できます^[7] (「特殊な場合」を参照)。 $c\in \mathbb {C}$ $p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell}$ $\ell$ $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ $x_{3}$ $p$ $(r,\theta ,\varphi )$ $r=1$ $p(\theta ,\varphi )=c\sin(\theta )^{\ell }(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{\ell },$ $p(\theta ,\varphi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}\right)^{\ell }e^{i\ell \varphi }.$ $P_{\ell}^{\ell}$ $Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).$

コンベンション

直交性と正規化

ラプラス球面調和関数には、いくつかの異なる正規化が一般的に用いられています。本節では、（ルジャンドル随伴多項式を参照）に対してという標準的な慣例を用います。これはロドリゲスの公式によって与えられる自然な正規化です。 $S^{2}\to \mathbb {C}$ $m>0$ $P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}$

音響学では[ ^8]、ラプラス球面調和関数は一般的に次のように定義されます（これはこの記事で使用される慣例です）。一方、量子力学では^[9]^[10] $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$ $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$

ここで、コンドン・ショートリー位相を除いたルジャンドル多項式（位相を2回カウントするのを避けるため）です。 $P_{\ell}^{m}$

どちらの定義においても、球面調和関数は直交行列であり、 $δ$ $ij$ はクロネッカーのデルタ、 $d$ $Ω = sin($ $θ$ $)$ $dφ$ $dθ$ である。この正規化は量子力学において、確率が正規化されることを保証するため用いられる。すなわち、 $\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},$ $\int {|Y_{\ell}^{m}|^{2}d\Omega }=1.$

測地学^[11]とスペクトル解析の分野では、

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$

ユニットパワーを持つ

${\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}。$

対照的に、磁気学^[11]の分野では、シュミットの半正規化調和関数が用いられる。

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$

正規化されている

$\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}。$

量子力学でもこの正規化が時々使用され、ジュリオ・ラカーにちなんでラカーの正規化と名付けられています。

上記のすべての正規化された球面調和関数は、

$Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{-m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),$

ここで、上付き文字 $*は$ 複素共役を表します。あるいは、この式は球面調和関数とウィグナーD行列の関係から導かれます。

コンドン・ショートリー相

球面調和関数の定義に関する混乱の原因の 1 つは、量子力学の文献で一般にコンドン・ショートレー位相と呼ばれるの位相係数に関するものです。量子力学のコミュニティでは、この位相係数をルジャンドル随伴多項式の定義に含めるか、球面調和関数の定義に追加するのが一般的な方法です。球面調和関数の定義でコンドン・ショートレー位相を使用する必要はありませんが、これを含めると、特に昇順演算子と降順演算子の適用など、一部の量子力学演算が簡素化されます。測地学^[12]と磁気学のコミュニティでは、球面調和関数の定義にもルジャンドル随伴多項式の定義にもコンドン・ショートレー位相係数を含めることはありません。^[13] $(-1)^{m}$

実在の形

球面調和関数の実基底は、その複素類似物を用いて次のように定義できる。ここでは一貫性を保つためにコンドン・ショートリー位相規約を用いる。実球面調和関数を用いて複素球面調和関数を定義する対応する逆方程式は、 $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ $Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb{C}$ ${\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}$ $Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb{C}$ $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ $Y_{\ell}^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}$

実球面調和関数は、テッセラル球面調和関数とも呼ばれる。^[14]これらの関数は、上記の複素関数と同じ直交性を持つ。m $> 0$ の実球面調和関数はコサイン型、 $m$ $< 0$ の実球面調和関数はサイン型と呼ばれる。その理由は $、$ これらの関数をルジャンドル多項式で次のように書くことでわかる。 $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ $Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb{C}$ $Y_{\ell m}$ $Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}$

同じ正弦係数と余弦係数は、次の直交座標表現を扱うサブセクションでも見られます。

までの実球面調和関数のリストについては、ここを参照してください。これは、上記の方程式の出力と一致していることがわかります。 $\ell =4$

量子化学における利用

水素原子の解析解から分かるように、波動関数の角度部分の固有関数は球面調和関数です。しかし、磁気項を含まない非相対論的シュレーディンガー方程式の解は実数にすることができます。これが、量子化学の基底関数において実数形が広く用いられる理由です。実数形を用いると、プログラムで複素代数を用いる必要がなくなるからです。この場合、実関数は複素関数と同じ空間を張ります。

たとえば、球面調和関数の表からわかるように、通常の $p$ 関数 ( ) は複素数で軸方向が混在しますが、実数バージョンは基本的に $x$ 、 $y$ 、 $z$ だけです。 $\ell =1$

直交座標形式の球面調和関数

複素球面調和関数は、からの全域にの同次関数として拡張することにより、すなわちと設定することで、の立体調和関数を生じます。は、の調和多項式空間と同次多項式空間の基底であることが分かります。より具体的には、これは回転群のこの表現の（正規化を除いて一意の）ゲルファント・ツェトリン基底であり、この事実から直交座標におけるの明示的な式を導くことができます。 $Y_{\ell}^{m}$ $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\ell$ $R_{\ell}^{m}(v):=\|v\|^{\ell}Y_{\ell}^{m}\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)$ $R_{\ell}^{m}$ $\ell$ $SO(3)$ $R_{\ell}^{m}$

ヘルグロッツ生成関数

に量子力学の慣例を採用すると、が成り立ちます。ここで、は、、を成分とするベクトルであり、は複素座標を持つベクトルです。 $Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb{C}$ $e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).$ $\mathbf {r}$ $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ $r=|\mathbf {r} |$ ${\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i{\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat {y}} }\right).$ $\mathbf {a}$

$\mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({\frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].$

の本質的な性質は、それが null であることです。 $\mathbf {a}$ $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.$

とを実パラメータとして取れば十分である。この生成関数をヘルグロッツにちなんで命名したのは、Courant & Hilbert 1962, §VII.7に従う。彼らは、ヘルグロッツの未発表の論文をその発見の根拠としている。 $v$ $\lambda$

球面調和関数の本質的にすべての特性は、この生成関数から導くことができる。^[15]この定義の直接的な利点は、ベクトルを量子力学スピンベクトル演算子に置き換えれば、は固体調和関数の演算子アナログとなり、^[16]球面テンソル演算子の標準化されたセットの生成関数が得られることである。 $\mathbf {r}$ $\mathbf {J}$ ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$

$e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).$

2つの定義の平行性により、はと同様に回転（下記参照）によって変換されることが保証され、これにより、はおよびを有する球面テンソル演算子であることが保証され、クレプシュ・ゴルダン合成定理やウィグナー・エッカート定理といった演算子のすべての特性が満たされる。さらに、は固定されたスケールまたは正規化を持つ標準化された集合である。 ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}$ $Y_{\ell}^{m}$ $T_{q}^{(k)}$ $k={\ell}$ $q=m$

分離直交座標形式

ヘルグロッツの定義は、さらに次の式（コンドン・ショートリー位相）のように、の多項式との多項式に因数分解できる多項式を生成する。および $m$ $= 0$ の場合：ここでおよびの場合、これは次のように帰納される。 $z$ $x$ $y$ $r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\left(-1\right)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}},\qquad m>0.$ $r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.$ $A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\cos \left((mp){\frac {\pi }{2}}\right),$ $B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\sin \left((mp){\frac {\pi }{2}}\right),$ ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$ $m=0$ ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.$

因数は本質的にルジャンドル従属多項式であり、因数は本質的にです。 ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ $P_{\ell}^{m}(\cos \theta )$ $(A_{m}\pm iB_{m})$ $e^{\pm im\varphi }$

例

上記に明示的に記載した、、およびの式を使用すると、次のようになります。 ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ $A_{m}(x,y)$ $B_{m}(x,y)$ $Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \theta e^{i\varphi }\right)$

$Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos^{2}\theta -1\right)\left(\sin^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)$ これは、こことここに記載されている関数と一致することが確認できます。

実在する形態

上記の式を使用して実球面調和関数を形成すると、項（コサイン）のみが含まれ、項（サイン）のみが含まれることがわかります。 $m>0$ $A_{m}$ $m<0$ $B_{m}$

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.$ m = 0の場合: $r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.$

特殊なケースと値

のとき、球面調和関数は通常のルジャンドル多項式に簡約される。 $m=0$ $Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb{C}$ $Y_{\ell }^{0}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta ).$
のとき、あるいはもっと簡単に直交座標系で言えば、 $m=\pm \ell$ $Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta ,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}\sin ^{\ell }\theta \,e^{\pm i\ell \varphi },$ $r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r} })={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}(x\pm iy)^{\ell }.$
北極では、、が定義されていない場合、を除くすべての球面調和関数は消えます。 $\theta =0$ $\varphi$ $m=0$ $Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\delta _{m0}.$

対称性特性

球面調和関数は、空間反転（パリティ）と回転の操作において、深く重要な特性を持ちます。

パリティ

球面調和関数は明確な偶奇性を持つ。つまり、原点を中心とする反転に関して偶奇となる。反転は演算子で表される。すると、様々な方法（おそらく最も単純なのはヘルグロッツ生成関数）からわかるように、は単位ベクトルである。 $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ $\mathbf {r}$ $Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).$

球面角に関して、パリティは座標を持つ点をに変換します。球面調和関数のパリティは次のように表されます。（これは次のように表すことができます。ルジャンドルの多項式は $（-1）$ $ℓ$ $+$ $m$ を与え、指数関数から $（-1）$ $m$ を与え、これらを合わせると球面調和関数のパリティは $（-1）$ $ℓ$ になります。） $\{\theta ,\varphi \}$ $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$

パリティは実球面調和関数および高次元の球面調和関数に対しても維持されます。つまり、 $ℓ$ 次球面調和関数に点反射を適用すると、符号が $(-1)$ $ℓ$ 倍に変化します。

回転

単位ベクトルをに送る原点周りの回転を考えてみましょう。この操作により、次数との球面調和関数は、同じ次数の球面調和関数の線形結合に変換されます。つまり、は回転に依存するの行列です。しかし、これはこの性質を表現する標準的な方法ではありません。標準的な方法では、次のように書きます。 ${\mathcal {R}}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} '$ $\ell$ $m$ $Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),$ $A_{mm'}$ $(2\ell +1)$ ${\mathcal {R}}$

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),$ ここで、はウィグナーD行列の要素の複素共役である。特に、が方位角の回転であるとき、次の恒等式が得られる。 $D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}$ $\mathbf {r} '$ $\phi _{0}$

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0}}.$

球面調和関数の回転挙動は、群論の観点から見れば、おそらくその本質的な特徴と言えるでしょう。次数のは、次元の群 SO(3) の既約表現のための関数の基底集合を提供します。解析学の手法を用いて苦労して証明された球面調和関数に関する多くの事実（加法定理など）は、対称性の手法を用いることで、より簡潔な証明とより深い意義を獲得します。 $Y_{\ell}^{m}$ $\ell$ $(2\ell +1)$

球面調和関数展開

ラプラス球面調和関数は完全な正規直交関数の集合を形成し、したがって二乗可積分関数のヒルベルト空間の正規直交基底を形成する。したがって、単位球面上では、任意の二乗可積分関数はこれらの線形結合として展開できる。 $Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb{C}$ $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ $S^{2}$ $f:S^{2}\to \mathbb {C}$

$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$

この展開は平均二乗収束、つまり球面のL ²における収束という意味で成り立ち、つまり

$\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.$

展開係数はフーリエ係数に類似しており、上式に球面調和関数の複素共役を乗じ、立体角Ωにわたって積分し、上記の直交関係を利用することで得られる。これは基本的なヒルベルト空間理論によって厳密に正当化される。直交調和関数の場合、これは以下のようになる。

$f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).$

ℓの係数が十分に急速に（たとえば指数関数的に）減少する場合、級数もfに均一に収束します。

二乗可積分関数は、上記の実調和関数を用いて、次のように展開することもできる。 $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$

$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ).$

級数の収束は同じ意味で成立し、すなわち実球面調和関数は正規直交関数の完全な集合を形成し、したがって二乗可積分関数のヒルベルト空間の正規直交基底を形成する。実調和関数による展開の利点は、実関数の場合、展開係数が実数であることが保証されるのに対し、（関数として考えると）による展開における係数は実数の性質を持たないことである。 $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ $Y_{\ell m}$ $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ $f_{\ell m}$ $f_{\ell}^{m}$ $Y_{\ell}^{m}$ $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$

スペクトル分析

信号処理におけるパワースペクトル

信号処理の文献では、関数fの全パワーは、関数の積分の平方をその定義域の面積で割ったものとして定義されています。実数単位パワー球面調和関数の直交性を利用すると、単位球面上で定義された関数の全パワーがそのスペクトル係数と関係していることを、パーセバルの定理の一般化によって簡単に検証できます（ここでの定理はシュミット半正規化調和関数について述べられており、直交調和関数の場合は関係が若干異なります）。

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),$ どこ $S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m}|^{2}$

は、シュミットの半正規化高調波の角度パワースペクトルとして定義されます。同様に、2つの関数のクロスパワーは次のように定義できます。 ${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),$ $S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }$

はクロスパワースペクトルとして定義される。関数 $f$ と $g$ の平均がゼロ（すなわち、スペクトル係数 $f 00$ と $g 00$ がゼロ）の場合、 $S ff (ℓ)$ と $S fg (ℓ)はそれぞれ次数$ $ℓ$ における関数の分散と共分散への寄与を表す。（クロス）パワースペクトルは、一般的に次の式のべき乗則でよく近似される。

$S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.$

$β = 0$ の場合、各次数のパワーが等しいため、スペクトルは「白」になります。β < 0 の場合 $、低$ 次数で長波長のパワーが高次数よりも大きいため、スペクトルは「赤」になります。最後に、 $β > 0の場合、スペクトルは「青」になります。S$ $ff (ℓ)$ の成長度に関する条件は、次のセクションで説明 $する$ $f$ の微分可能度と関連しています。

微分可能性

元の関数 $f$ の微分可能性は、 $S$ $ff$ $($ $ℓ$ $)$ の漸近挙動からも理解できます。特に、 $S$ $ff$ $($ $ℓ$ $) が$ $ℓ$ $\to \infty$ のときに $ℓ$ の任意の有理関数よりも速く減衰する場合、 $f$ は無限微分可能です。さらに、 $S$ $ff$ $($ $ℓ$ $)$ が指数関数的に減衰する場合、 $f$ は球面上で実解析的になります。

一般的な手法は、ソボレフ空間の理論を用いることです。S $ff (ℓ)$ の増加と微分可能性の関係は、フーリエ級数の係数の増加に関する同様の結果と同様です。具体的には、の場合、 $f$ はソボレフ空間 $H$ $s$ $($ $S$ $2$ $)$ に含まれます。特に、ソボレフの埋め込み定理は $、$ $任意のs$ に対してが成り立つという条件で、 $f$ が無限微分可能であることを意味します。 $\sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,$ $S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}$

代数的性質

加法定理

球面調和関数の加法定理は、非常に興味深く、実用性も高い数学的成果です。球座標がそれぞれとである2つのベクトル $r$ と $r'$ が与えられたとき、それらの間の角度は、右辺に現れる三角関数の役割は球面調和関数によって、左辺の役割はルジャンドル多項式によって担われる関係式で与えられます。 $(r,\theta ,\varphi )$ $(r,\theta ',\varphi ')$ $\gamma$ $\cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')$

加法定理によれば^[17]

P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {y} )\,Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\mathbf {x} )\quad \forall \,\ell \in \mathbb {N} _{0}\;\forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}\colon \;\|\mathbf {x} \|_{2}=\|\mathbf {y} \|_{2}=1\,,

1

ここで、 $P ℓ$ $はℓ$ 次ルジャンドル多項式である。この式は実高調波と複素高調波の両方に有効である。^{[18]この結果は、単位球における}ポアソン核の性質を用いて解析的に証明することも、ベクトルyをz軸に沿うように回転させて右辺を直接計算することで幾何学的に証明することもできる。^[19]

特に、 $x = yの$ とき、Unsöldの定理^{[20]が得られ、これは} $cos$ $2$ $θ$ $+ sin$ $2$ $θ$ $= 1$ の恒等式を2次元に一般化します。 $\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell }^{m}(\mathbf {x} )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}$

展開式（1）において、左辺は $ℓ次$ ゾーン球面調和関数の定数倍である。この観点から、高次元への一般化が次のように成り立つ。Y $j を$ $n$ $球面上の$ $ℓ$ 次球面調和関数の空間 $H$ $ℓ$ の任意の直交基底とする。すると、単位ベクトル $xに対応する$ $ℓ次ゾーン調和関数は$ ^[21]のように分解される。 $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$

Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}{\overline {Y_{j}({\mathbf {x} })}}\,Y_{j}({\mathbf {y} })

2

さらに、ゾーン調和関数は適切なゲーゲンバウアー多項式の定数倍として与えられます。 $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$

Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=C_{\ell }^{((n-2)/2)}({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })

3

( 2 )と( 3 )を組み合わせると、 $x$ と $yが$ 球座標で表されている場合、 $n$ $= 2$ 次元における( 1 )が得られる。最後に、 $x$ $=$ $y$ において評価すると、関数恒等式が得られる。ここで $、ω$ $n$ $-1$ は( n −1)球の体積である。 ${\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}$

縮約規則

もう一つの有用な恒等式は、2つの球面調和関数の積を球面調和関数の和として表すものである^[22]。この和の項の多くは自明にゼロである。この和の項がゼロでない値をもたらすとの値は、3j-記号の選択規則によって決定される。 $Y_{a}^{\alpha }\left(\theta ,\varphi \right)Y_{b}^{\beta }\left(\theta ,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c}^{\gamma }\left(\theta ,\varphi \right).$ $c$ $\gamma$

クレプシュ・ゴルダン係数

クレプシュ・ゴルダン係数は、2つの球面調和関数の積を球面調和関数自身で展開した際に現れる係数です。本質的に同じ計算を行うための様々な手法が利用可能であり、ウィグナーの3-jm記号、ラカー係数、スレーター積分などが挙げられます。抽象的には、クレプシュ・ゴルダン係数は、回転群の2つの既約表現のテンソル積を、既約表現の和として表します。適切に正規化すれば、係数は重複度となります。

球面調和関数の可視化

ラプラス球面調和関数は、その「節線」、つまり、またはとなる球面上の点の集合を考えることで視覚化できます。の節線はℓ円で構成されます。つまり、経度に沿って $|$ $m$ $|円、緯度に沿って$ ℓ −| m | 円があります。の零点の数をと方向でそれぞれ数えることで、各タイプの節線の数を決定できます。をの関数として考えると、ルジャンドル陪多項式の実数部と虚数部はそれぞれℓ −| m | の零点を持ち、それぞれが ℓ −| m | の節点「緯度線」を生み出します。一方、をの関数として考えると、三角関数の sin 関数と cos 関数は 2| m | の零点を持ち、それぞれが ℓ −| m | の節点「経度線」を生み出します。^[23] $Y_{\ell}^{m}$ $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ $Y_{\ell}^{m}$ $Y_{\ell}^{m}$ $\theta$ $\varphi$ $Y_{\ell}^{m}$ $\theta$ $Y_{\ell}^{m}$ $\varphi$

球面調和関数の次数mがゼロ（図の左上）のとき、球面調和関数は経度に依存せず、帯状（zonal ）と呼ばれます。このような球面調和関数は、帯状球面関数の特殊なケースです。ℓ = | m | のとき $（図の右下$ ）、緯度に零交差はなく、関数は扇形（sectoral）と呼ばれます。それ以外の場合、関数は球面を格子状に交差するため、テッセラル（tesseral）と呼ばれます。

より一般的な $ℓ$ 次の球面調和関数は必ずしもラプラス基底の球面調和関数とは限らず、その節点集合はかなり一般的な種類のものになり得る。^[24] $Y_{\ell}^{m}$

球面調和関数のリスト

コンドン・ショートリー位相規則を用いた最初のいくつかの直交ラプラス球面調和関数の解析的表現： $Y_{\ell}^{m}:S^{2}\to \mathbb{C}$ $Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}$

${\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{aligned}}$

高次元

古典的な球面調和関数は、 3次元ユークリッド空間内の単位球面上の複素数値関数として定義されます。球面調和関数は、次のように高次元ユークリッド空間に一般化することができ、関数につながります。^[25]P _{ℓ を} $、 n$ 個の実変数を含む次数 $ℓ$ の複素数値同次多項式の空間とします。ここでは関数として考えます。つまり、任意の実数に対して、次の式が成り立つことを条件として、多項式 $pは$ $P$ $ℓ$ に属します。 $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ $\lambda \in \mathbb {R}$

$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} ).$

P _ℓの部分空間をA _ℓで表し、調和多項式すべてから成るものとする。これらは（正則）立体球面調和関数である。H _{ℓ を}A $ℓ$ $から$ 制限して得られる単位球面上の関数の空間とする。 $\mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.$ $S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}$ $\mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{、ある }}p\in \mathbf {A} _{\ell }、\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{、すべての }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\} に対して。$

次の特性が当てはまります:

ストーン＝ワイエルシュトラスの定理により、空間 $H ℓ$ の和は、一様位相に関する連続関数の集合において稠密である。結果として、これらの空間の和は、球面上の二乗可積分関数の空間 $L$ $2$ $($ $S$ $n$ $-1$ $)$ においても稠密である。したがって、球面上のすべての二乗可積分関数は、球面調和関数の級数に一意に分解され、その級数は $L$ $2 の$ 意味で収束する。 $C(S^{n-1})$ $S^{n-1}$
任意の $f \in H ℓ$ に対して、 $Δ$ $S$ $n$ $-1$ は $S$ $n$ $-1$ 上のラプラス・ベルトラミ作用素である。この作用素は3次元におけるラプラス演算子の角度部分の類似物である。すなわち、 $n$ 次元におけるラプラス演算子は次のように分解される。 $\Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.$ $\nabla^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}$
ストークスの定理と前述の性質から、空間 $H ℓ$ $はL 2 (S n -1)$ の内積に関して直交することがわかる。つまり、 $f$ $\in$ $H$ $ℓ$ かつ $k$ ≠ $ℓ$ に対して $g$ $\in$ $H$ $k$ $と$ なる。 $\int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \オメガ =0$
逆に、空間 $H ℓ は$ $Δ S n -1$ の固有空間そのものである。特に、スペクトル定理をリースポテンシャルに適用すると、空間 $H$ $ℓ$ $がL$ $2$ $($ $S$ $n$ $-1$ $)$ において対直交かつ完備であることがさらに証明される。 $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$
$任意の$ 同次多項式 $p\inPℓ は、$ $pj\inAj$ $の$ 形 $で$ 一意に表される $[$ ^26] $。$ 特に、 $p(x)=p_{\ell }(x)+|x|^{2}p_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\even}}\\|x|^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}$ $\dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}={\binom {n+\ell -2}{n-2}}+{\binom {n+\ell -3}{n-2}}.$

高次元球面調和関数の直交基底は、変数分離法、すなわち球面ラプラシアンに対するシュトゥルム・リウヴィル問題を解くことによって帰納的に構成できる。ここで、φはS ⁿ⁻¹上の球面座標系における軸座標である。この手順の最終結果は^[27]であり、添字は $|$ $ℓ$ $1$ $| \leq$ $ℓ$ $2$ $\leq \dots \leq$ $ℓ$ $n$ $-1$ を満たし、固有値は $-$ $ℓ$ $n$ $-1$ $($ $ℓ$ $n$ $-1$ $+$ $n$ $-2)である。積の関数は$ ルジャンドル関数によって定義される。 $\Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}$ $Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})$ ${}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.$

表現理論との関連

$ℓ$ 次球面調和関数の空間 $H ℓ$ は、点( SO(3) )の周りの回転の対称群とその二重被覆SU(2)の表現である。実際、回転は2次元球面上に作用し、 $ψを$ 球面調和関数、 $ρ$ を回転とする関数合成によってH $ℓ$ $に$ も作用する。表現 $H$ $ℓ$ はSO(3)の既約表現である。 ^[28] $\psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}$

$H ℓ$ の元は、 $A ℓ$ の元の球面への制約、すなわち3次元ユークリッド空間 $R$ $3$ $上のℓ$ 次同次調和多項式への制約として生じる。 $ψ$ $\in$ $A$ $ℓ$ の分極により、添字対称な係数が存在し、これは $ψ$ が調和であるという条件によって一意に決定される。 ψ が調和であるという条件は、テンソルがすべての添字ペアにおいてトレースフリーでなければならないという主張と同値である。したがって、 $SO(3)$ の既約表現として、 $H$ $ℓ$ $はℓ次トレース$ レス対称テンソルの空間と同型である。 $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ $\psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell}}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell}}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell}}.$ $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$

より一般的には、高次元においても同様のことが成り立つ。すなわち、 $n$ 球面上の球面調和関数の空間 $H ℓ$ は、トレースレス対称 $ℓテンソルに対応する$ $SO($ $n$ $+1)$ の既約表現である。しかし、 $SO(2)$ と $SO(3)$ の既約テンソル表現はすべてこの種のものであるのに対し、高次元の特殊直交群には、この方法では生じない追加の既約表現が存在する。

特殊直交群には、テンソル表現ではない追加のスピン表現があり、通常は球面調和関数ではない。例外としてSO(3)のスピン表現がある。厳密に言えば、これらはSO(3)の二重被覆SU(2)の表現である。また、SU(2)は単位四元数群と同一視され、したがって三次元球面と一致する。三次元球面上の球面調和関数の空間は、四元数乗法の作用に関して、SO(3)の特定のスピン表現である。

半球調和関数との関連

球面調和関数は2つの関数群に分けられます。^[29] 1つは半球面調和関数（HSH）で、半球面上で直交かつ完全です。もう1つは相補半球面調和関数（CHSH）です。

一般化

二次元球面の角度保存対称性は、メビウス変換群PSL(2, C ) によって記述される。この群に関して、球面は通常のリーマン球面と等価である。群 PSL(2, C ) は（適切な）ローレンツ群と同型であり、二次元球面へのその作用は、ミンコフスキー空間における天球へのローレンツ群の作用と一致する。ローレンツ群に対する球面調和関数の類似は、超幾何級数によって与えられる。さらに、球面調和関数は超幾何級数で再表現することができ、 $SO(3) = PSU(2)は$ $PSL(2,$ $C$ $)$ の部分群である。

より一般的には、超幾何級数は任意の対称空間の対称性を記述するように一般化することができ、特に、超幾何級数は任意のリー群に対して展開することができる。^[30]^[31]^[32]^[33]

参照

注記

^ 3次元における球面調和関数への様々なアプローチの歴史的説明は、MacRobert 1967の第4章に記載されています。「ラプラス球面調和関数」という用語は一般的に使用されています。Courant & Hilbert 1962およびMeijer & Bauer 2004を参照してください。
^ ここで採用されている球面調和関数へのアプローチは、(Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5) に述べられている。
^ 物理的な応用では、無限遠で零となる解、つまり $A = 0$ をとることが多い。これは球面調和関数の角度部分には影響を与えない。
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^ $これはℓ$ 次球面調和関数の任意の直交基底に対して有効である $。単位べき調和関数の場合は4$ $π$ の係数を除去する必要がある。
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参考文献

引用文献

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一般的な参考文献

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Maddock, John, Boost.Math における球面調和関数

外部リンク

MathWorldにおける球面調和関数
球面調和関数の3D表現

[1] 3次元における球面調和関数への様々なアプローチの歴史的説明は、MacRobert 1967の第4章に記載されています。「ラプラス球面調和関数」という用語は一般的に使用されています。Courant & Hilbert 1962およびMeijer & Bauer 2004を参照してください。

[2] ここで採用されている球面調和関数へのアプローチは、(Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5) に述べられている。

[3] 物理的な応用では、無限遠で零となる解、つまり $A = 0$ をとることが多い。これは球面調和関数の角度部分には影響を与えない。

[4] Weisstein, Eric W. 「球面調和関数」. mathworld.wolfram.com . 2023年5月10日閲覧。

[5] エドモンズ 1957, §2.5

[6] ホール 2013 セクション 17.6

[7] ホール 2013 補題 17.16

[8] ウィリアムズ、アール・G. (1999).フーリエ音響：音の放射と近傍場音響ホログラフィー. サンディエゴ、カリフォルニア州: アカデミック・プレス. ISBN 0-08-050690-9. OCLC 181010993.

[9] メサイア、アルバート (1999).量子力学：2巻を1冊にまとめた本（2巻を1冊にまとめた完全版復刻版）ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー。pp. 520– 523. ISBN 0-486-40924-4。

[10] クロード・コーエン＝タンヌージ;バーナード・ディウ;フランク・ラロエ (1996)。量子力学。スーザン・リード・ヘムリー訳。他。ワイリー・インターサイエンス: ワイリー。ISBN 978-0-471-56952-7。

[Blakely_1995_113-11] ブレイクリー、リチャード (1995).重力と磁気応用におけるポテンシャル理論ケンブリッジ、イングランド、ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. p. 113. ISBN 978-0-521-41508-8。

[12] HeiskanenとMoritz、「物理測地学」、1967年、式1-62

[13] Weisstein, Eric W. 「コンドン・ショートリー位相」. mathworld.wolfram.com . 2022年11月2日閲覧。

[14] ウィテカー＆ワトソン 1927年、392ページ。

[15] 例えば、Garg, A.著『Classical Electrodynamics in a Nutshell』（Princeton University Press、2012年）の付録Aを参照。

[16] Li, Feifei; Braun, Carol; Garg, Anupam (2013)、「スピンに対するWeyl-Wigner-Moyal形式論」、Europhysics Letters、102 (6) 60006、arXiv : 1210.4075、Bibcode :2013EL....10260006L、doi :10.1209/0295-5075/102/60006、S2CID 119610178

[17] Edmonds, AR (1996).量子力学における角運動量. プリンストン大学出版局. p. 63.

[18] $これはℓ$ 次球面調和関数の任意の直交基底に対して有効である $。単位べき調和関数の場合は4$ $π$ の係数を除去する必要がある。

[19] ウィテカー＆ワトソン 1927年、395ページ

[20] 1927年未発表

[21] スタイン＆ワイス 1971、§IV.2

[22] ブリンク, DM; サッチラー, GR 「角運動量」オックスフォード大学出版局、146ページ。

[23] 「球面振動 - 球面調和関数」。

[24] エレメンコ、ヤコブソン、ナディラシビリ 2007

[25] Solomentsev 2001; Stein & Weiss 1971, §Iv.2

[26] Axler, Sheldon; Ramey, Wade (1995) 『調和多項式とディリクレ型問題』の系1.8を参照

[27] 樋口篤志 (1987). 「N球面上の対称テンソル球面調和関数とド・ジッター群SO(N,1)への応用」 .数理物理学ジャーナル. 28 (7): 1553– 1566. Bibcode :1987JMP....28.1553H. doi :10.1063/1.527513.

[28] ホール 2013 系 17.17

[29] Zheng Y, Wei K, Liang B, Li Y, Chu X (2019-12-23). 「球面キャップ上のゼルニケ類似関数：原理と光学面フィッティングおよびグラフィックスレンダリングへの応用」. Optics Express . 27 (26): 37180– 37195. Bibcode :2019OExpr..2737180Z. doi : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN 1094-4087. PMID 31878503.

[30] N. Vilenkin,特殊関数と群表現の理論, Am. Math. Soc. Transl., vol. 22, (1968).

[31] JD Talman、「特殊関数、群論的アプローチ」（EP Wignerの講義に基づく）、WA Benjamin、ニューヨーク（1968年）。

[32] W.ミラー、「対称性と変数の分離」、アディソン・ウェスレー、リーディング（1977年）。

[33] A. Wawrzyńczyk, Group Representations and Special Functions , Polish Scientific Publishers. Warszawa (1984).