球面3次元多様体

多様体のサブクラス

数学において、球面3次元多様体 Mは、次の形の3次元多様体である。

${\displaystyle M=S^{3}/\Gamma }$

ここで、 3次元球面上の回転によって自由に作用するO(4)の有限部分群である。このような多様体はすべて素数であり、向き付け可能であり、閉じている。球面3次元多様体は楕円3次元多様体と呼ばれることもある。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S^{3}}$

プロパティ

ボネ・マイヤーズの定理の特殊なケースでは、測地完備かつ定正曲率の滑らかなリーマン計量を持つすべての滑らかな多様体は閉じており、有限基本群を持つ必要があるとされています。ウィリアム・サーストンの楕円化予想は、リチャード・ハミルトンのリッチフローを用いてグリゴリー・ペレルマンによって証明され、逆を述べています。つまり、有限基本群を持つすべての閉じた3次元多様体は、定正曲率の滑らかなリーマン計量を持つということです。(この逆は3次元に特有のものです。) そのため、球面3次元多様体は、まさに有限基本群を持つ閉じた3次元多様体です。

シンジの定理によれば、すべての球面3次元多様体は向き付け可能であり、特にSO(4)に必ず含まれる。基本群は巡回群、あるいは二面体群、四面体群、八面体群、または二十面体群を偶数位数の巡回群で中心拡張したものである。これにより、このような多様体の集合は、以下の節で説明する5つのクラスに分類される。 ${\displaystyle \Gamma }$

球面多様体は、サーストンの幾何学化予想の 8 つの幾何学のうちの 1 つである球面幾何学を持つ多様体です。

循環的なケース（レンズスペース）

Γ巡回多様体はまさに3次元レンズ空間である。レンズ空間はその基本群によって決定されない（同型基本群を持つ非同相レンズ空間も存在する）が、他の球面多様体は基本群によって決定される。 ${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$

3次元レンズ空間は、形の要素によって生成される群の作用によって の商として生じる。 ${\displaystyle S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega &0\\0&\omega ^{q}\end{pmatrix}}.}$

ここで である。このようなレンズ空間はすべての に対して基本群を持つため、 が異なる を持つ空間はホモトピー同値ではない。さらに、同相写像とホモトピー同値に至るまでの分類は以下のように知られている。3次元空間とは： ${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/p}}$ ${\displaystyle L(p;q)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L(p;q_{1})}$ ${\displaystyle L(p;q_{2})}$

1. ホモトピー同値であることは、ある ${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ;}$
2. 同相であることは、 ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.}$

特に、レンズ空間L (7,1)とL (7,2)は、ホモトピー同値だが同相ではない2つの3次元多様体の例を与える。

レンズ空間L (1,0)は3次元球面であり、レンズ空間L (2,1)は3次元実射影空間である。

レンズ空間は、さまざまな方法でザイフェルトのファイバー空間として表現できますが、通常は最大で 2 つの例外ファイバーを持つ 2 次元球面上のファイバー空間として表現されます。ただし、基本群の順序が 4 のレンズ空間は、例外ファイバーを持たない射影平面上のザイフェルトのファイバー空間としても表現されます。

二面体の場合（プリズム多様体）

プリズム多様体は、その基本群が二面体群の中心拡張である閉じた3 次元多様体 Mです。

Mの基本群π ₁ ( M )は、位数mの巡回群と、表現

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2^{k}}=y^{n}\rangle }$

整数k、m、nについて、k ≥ 1、m ≥ 1、n ≥ 2、mは2 nと互いに素である。

あるいは、基本グループにはプレゼンテーションがある

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2m}=y^{n}\rangle }$

互いに素な整数m、nで、 m ≥ 1、n ≥ 2 です。(ここでのnは前のnに等しく、ここでのmは前のm の2 ^{k -1}倍です。)

後者の提示を続ける。この群は位数 4 mnのメタ巡回群であり、位数 4 mのアーベル化を持つ（したがって、mとnはどちらもこの群によって決定される）。元yは位数 2 nの巡回正規部分群を生成し、元x は位数 4 mである。中心は位数 2 mの巡回群であり、 x ²によって生成され、中心による商は位数 2 nの二面体群である。

m = 1 のとき、この群は二元二面体群または二環群である。最も単純な例はm = 1、n = 2 で、π ₁ ( M ) が位数 8 の四元数群である場合である。

プリズム多様体は、その基本群によって一意に決定されます。つまり、閉じた 3 次元多様体がプリズム多様体Mと同じ基本群を持つ場合、それはMと同相です。

プリズム多様体は、2 つの方法でザイフェルト ファイバー空間として表現できます。

四面体の場合

基本群は、位数mの巡回群と、表現を持つ群 との積である。

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3^{k}}=1\rangle }$

整数k、mについて、k ≥ 1、m ≥ 1、mは6 と互いに素である。

あるいは、基本グループにはプレゼンテーションがある

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3m}=1\rangle }$

奇数の整数m ≥ 1 の場合。（ここでのmは前のmの3 ^{k -1}倍です。）

後者の提示を続ける。この群の位数は 24 mである。元xとy は、位数 8 の四元数群と同型な正規部分群を生成する。中心は位数 2 mの巡回群である。これは元z ³とx ² = y ²によって生成され、中心による商は四面体群、すなわち交代群 A ₄となる。

m = 1 のとき、この群は二元四面体群です。

これらの多様体は、その基本群によって一意に決定されます。これらはすべて、本質的に一意にザイフェルトファイバー空間として表現できます。商多様体は球面であり、2、3、3の位数の3つの例外ファイバーが存在します。

八面体の場合

基本群は、6と互いに素な位数mの巡回群と位数48の二元八面体群の積であり、その表現は次のようになる。

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{4}\rangle .}$

これらの多様体は、その基本群によって一意に決定されます。これらはすべて、本質的に一意にザイフェルトファイバー空間として表現できます。商多様体は球面であり、2、3、4の位数の例外的なファイバーが3つあります。

正二十面体の場合

基本群は、30と互いに素な位数mの巡回群と、表現が 120の2元20面体群（位数120）の積である。

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{5}\rangle .}$

mが 1 のとき、多様体はポアンカレホモロジー球面です。

これらの多様体は、その基本群によって一意に決定されます。これらはすべて、本質的に一意なザイフェルトファイバー空間として表現できます。商多様体は球面であり、2、3、5の位数の3つの例外ファイバーが存在します。

参考文献

• Peter Orlik , Seifert manifolds , Lecture Notes in Mathematics, vol. 291, Springer-Verlag (1972). ISBN 0-387-06014-6
• ウィリアム・ジャコ『3次元多様体位相幾何学の講義 』ISBN 0-8218-1693-4
• ウィリアム・サーストン著『三次元幾何学と位相幾何学』第1巻、シルヴィオ・レヴィ編、プリンストン数学シリーズ、35、プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、1997年、 ISBN 0-691-08304-5

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