スピンテンソル

数学、数理物理学、理論物理学において、スピンテンソルは時空における粒子の回転運動を記述するために使用される量です。 スピンテンソルは、一般相対性理論、特殊相対性理論、量子力学、相対論的量子力学、場の量子論に応用されています

直等長写像の特殊ユークリッド群SE( d ) は、並進と回転によって生成される。そのリー代数は と表記される。 ${\displaystyle {\mathfrak {se}}(d)}$

この記事では、直交座標とテンソル指数表記法を使用します。

ノイマン電流の背景

空間における並進運動のノイザーカレントは運動量であり、時間における増分に対するノイザーカレントはエネルギーである。これら2つの命題は時空において一つにまとめられる。すなわち、時空における並進運動、すなわち2つの事象間の変位は、4元運動量Pによって生成される。4元運動量の保存則は連続の式で与えられる。

$${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0\,,}$$

ここでは応力エネルギーテンソル、∂ は4次元勾配を構成する偏微分です（非直交座標系では、共変微分に置き換える必要があります）。空間上で積分すると、次のようになります。 ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$

$${\displaystyle \int d^{3}xT^{\mu 0}\left({\vec {x}},t\right)=P^{\mu }}$$

時刻tにおける4 元運動量ベクトルを与えます。

点yの周りの回転に対するノイザーカレントは3次のテンソルで与えられ、 と表記される。リー代数関係 式により、 ${\displaystyle M_{y}^{\alpha \beta \mu }}$

$${\displaystyle M_{y}^{\alpha \beta \mu }(x)=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(x)+y^{\alpha }T^{\beta \mu }(x)-y^{\beta }T^{\alpha \mu }(x)\,,}$$

ここで、添え字の 0 は原点を示します(運動量とは異なり、角運動量は原点に依存します)。積分は次のようになります。

$${\displaystyle \int d^{3}xM_{0}^{\mu \nu }({\vec {x}},t)}$$

時刻tにおける角運動量テンソル を与えます。 ${\displaystyle M^{\mu \nu }\,}$

定義

スピンテンソルは、点xにおいて、 xを中心とした回転におけるxにおけるノイザーカレントの値として定義されます

$${\displaystyle S^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} M_{x}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )+x^{\alpha }T^{\beta \mu }(\mathbf {x} )-x^{\beta }T^{\alpha \mu }(\mathbf {x} )}$$

連続の方程式

$${\displaystyle \partial _{\mu }M_{0}^{\alpha \beta \mu }=0\,,}$$

は次を意味します。

$${\displaystyle \partial _{\mu }S^{\alpha \beta \mu }=T^{\beta \alpha }-T^{\alpha \beta }\neq 0}$$

したがって、応力-エネルギーテンソルは対称テンソルではありません

Sはスピン角運動量密度（この場合のスピンは点状粒子だけでなく、拡張された物体にも適用されます）、Mは軌道角運動量密度です。全角運動量は常にスピンと軌道の寄与の合計です。

関係式：

$${\displaystyle T_{ij}-T_{ji}}$$

は、軌道角運動量とスピン間の変換率を示す トルク密度を与えます

例

スピン密度がゼロでない物質の例としては、分子流体、電磁場、乱流流体が挙げられます。分子流体の場合、個々の分子が回転している場合があります。電磁場は円偏光を持つことがあります。乱流流体の場合、長波長現象と短波長現象を任意に区別することができます。長波長の渦度は乱流によってより小さな渦に変換され、角運動量をより短い波長へと輸送すると同時に渦度を減少させます。 これは渦粘性によって近似できます

参照

• ベリンファンテ・ローゼンフェルド応力エネルギーテンソル
• ポアンカレ群
• ローレンツ群
• 相対論的角運動量
• マティソン・パパペトルー・ディクソン方程式
• パウリ・ルバンスキー擬ベクトル

参考文献

• AK Raychaudhuri、S. Banerji、A. Banerjee (2003).一般相対論、天体物理学、宇宙論。天文学・天体物理学ライブラリ。Springer。66  ～ 67ページ。ISBN 978-038-740-628-2。
• JAウィーラー、C.ミスナー、KSソーン（1973年）。重力。WHフリーマン社、pp.  156-159、§5.11。ISBN 978-0-7167-0344-0。
• LM Butcher、A. Lasenby、M. Hobson (2012). 「線形重力の角運動量の局在化」. Phys . Rev. D. 86 ( 8) 084012. arXiv : 1210.0831 . Bibcode : 2012PhRvD..86h4012B . doi : 10.1103/PhysRevD.86.084012 . S2CID  119220791
• T.バンクス（2008年） 『現代量子場理論：簡潔な入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-113-947-389-7。

• S. Kopeikin、M. Efroimsky、G. Kaplan (2011). 『太陽系の相対論的天体力学』 John Wiley & Sons . ISBN 978-352-763-457-6。{{cite news}}：CS1 maint：複数の名前：著者リスト（リンク）
• WF Maher; JD Zund (1968). 「ランチョススピンテンソルへのスピノルアプローチ」. Il Nuovo Cimento A. 10. 57 (4). Springer: 638– 648. Bibcode : 1968NCimA..57..638M . doi : 10.1007/BF02751371 . S2CID  124665829 .

外部リンク

• ヤン・シュタインホフ著。「一般相対性理論におけるスピンの正準定式化（論文）」（PDF）。2013年10月27日閲覧

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=スピンテンソル&oldid=1337177558 」より引用