Spinc構造

Special tangential structure

スピン幾何学において、スピン^c構造（または複素スピン構造）は、向き付け可能な多様体に対して存在できる特別な分類マップです。このような多様体はスピン^c多様体と呼ばれます。C は複素数を表し、基礎となるスピン^c群の定義で示され、出現します。4 次元では、スピン^c構造は 2 つの複素平面束を定義します。これは、例えば相対論的量子場の理論のディラック方程式で、スピノルの負と正のカイラリティを記述するために使用できます。もう 1 つの中心的な応用は、 4 次元多様体を研究するために使用するザイバーグ–ウィッテン理論です。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

意味

次元の向き付け可能な多様体とする。その接束は、特殊直交群の分類空間への分類写像によって記述される。これは、分類空間への正準射影によって誘導される写像を因数分解できる。この場合、分類写像はスピン^c群の分類空間への連続写像へと持ち上げられ、これはスピン^c構造と呼ばれる。^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)}$ ${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)}$

ホモトピーまでのスピン^c構造の集合をと表記する。第一ユニタリ群はスピン^c群の第二因子であり、その分類空間（無限複素射影空間であり、アイレンバーグ・マクレーン空間のモデル）を用いると、一対一の関係が成り立つ。^[2] ${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle \operatorname {BU} (1)\cong \operatorname {BSO} (2)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(M)\cong [M,\operatorname {BU} (1)]\cong [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\cong [M,K(\mathbb {Z} ,2)]\cong H^{2}(M,\mathbb {Z} ).}$

標準射影により、すべてのスピン^c構造は主- 束、またはそれと同等の複素線束を誘導します。 ${\displaystyle \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(n)\rightarrow \operatorname {U} (1)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$

プロパティ

• あらゆるスピン構造は標準的なスピン^c構造を誘導する。^{[3] [4]}複素射影平面 が示すように、逆の含意は成り立たない。 ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$
• あらゆるスピン^c構造は、標準的なスピン^{h構造を誘導する。}ウー多様体 が示すように、逆の帰結は成り立たない。^[要出典] ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)}$
• 有向多様体は、その第3整スティフェル・ホイットニー類が消滅する場合に限り、スピン^c構造を持つ。したがって、正準写像による第2通常スティフェル・ホイットニー類の像は である。^[5] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle W_{3}(M)\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle w_{2}(M)\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} _{2})\rightarrow H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$
• 4次元以下のすべての有向滑らかな多様体はスピン^c構造を持つ。^[4]
• ほぼ複素多様体はすべてスピン^c構造を持つ。^{[6] [4]}

リー群上の揚力に対しては、より一般的には次の性質が成り立ち、特殊な場合には次のようになる。 ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle k=2}$

• がスピン^c多様体であれば、と はスピン^c多様体である。^[7] ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
• がスピン多様体ならば、 はスピン^c多様体であり、かつ がスピン^c多様体である。^[7] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle N}$
• とが同じ次元のスピン^c多様体である場合、それらの連結された和はスピン^c多様体である。^[8] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\#N}$
• 以下の条件は同等である: ^[9]
  • ${\displaystyle M}$スピン^c多様体です。
  • 実平面バンドル が存在するため、 はスピン構造 、またはそれと同等の を持ちます。 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$ ${\displaystyle TM\oplus E}$ ${\displaystyle w_{2}(TM\oplus E)=0}$
  • ${\displaystyle M}$2次元以上のスピン多様体に浸すことができます。
  • ${\displaystyle M}$2次元以上のスピン多様体に埋め込むことができます。

参照

• スピン^h構造

文学

• Blake Mellor (1995-09-18). 「Spince多様体」(PDF) .
• 「安定な複合体と Spinc 構造」(PDF)。
• Liviu I. Nicolaescu. Seiberg-Witten理論に関する注釈(PDF) .
• Michael Albanese と Aleksandar Milivojević (2021). 「スピン^hとスピンの更なる一般化」. Journal of Geometry and Physics . 164 : 104– 174. arXiv : 2008.04934 . doi :10.1016/j.geomphys.2022.104709.

参考文献

1. 安定な錯体とスピン^c構造、定義 D.28
2. メラー 1995、定理5
3. メラー 1995、定理2
4. ニコラエスク、例 1.3.16
5. 安定な錯体とスピン^c構造、命題 D.31
6. メラー 1995、定理3
7. アルバニーズ & ミリヴォイェヴィッチ 2021、提案 3.6。
8. アルバニーズ & ミリヴォジェヴィッチ 2021、提案 3.7。
9. アルバニーズ & ミリヴォイェヴィッチ 2021、提案 3.2。

外部リンク

• nラボのスピン構造

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