分割複素数

Reals with an extra square root of +1 adjoined

代数学において、分割複素数（または双曲数、複素数、倍精度数）は、 （式）を満たす双曲単位 jに基づきます。分割複素数は、2 つの実数要素xとyを持ち、 と書きます。zの共役は です。数zとその共役の積は、等方性の二次形式であるためです。 ${\displaystyle j^{2}=1}$ ${\displaystyle j\neq \pm 1}$ ${\displaystyle z=x+yj.}$ ${\displaystyle z^{*}=x-yj.}$ ${\displaystyle j^{2}=1,}$ ${\displaystyle N(z):=zz^{*}=x^{2}-y^{2},}$

⁠ ⁠のすべての分割複素数の集合Dは、実数体 上の代数を形成します。2つの分割複素数wとzには、 を満たす積wz があります。 この代数積上のNの合成により、 ( D , +, ×, *)は合成代数になります。 ${\displaystyle z=x+yj}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$と、成分ごとの加法と乗法に基づく同様の代数（ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},+,\times ,xy),}$xyは⁠ ⁠上の二次形式）も二次空間を形成します。環同型は二次空間の等長変換です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}D&\to \mathbb {R} ^{2}\\x+yj&\mapsto (x-y,x+y)\end{aligned}}}$$

分離複素数には他にも多くの名前があります。以下の§ 同義語を参照してください。分離複素数の関数については、モーター変数の記事を参照してください。

意味

分割複素数は、実数の順序付きペアであり、次の形式で表されます。

$${\displaystyle z=x+jy}$$

ここでxとyは実数であり、双曲単位^[1] jは実数ではなく独立量であり、

$${\displaystyle j^{2}=+1}$$

複素数体では、 虚数単位i は次の式を満たします。符号の変化により、分割複素数は通常の複素数と区別されます。 ${\displaystyle i^{2}=-1.}$

このようなzの集合は分割複素平面と呼ばれる。分割複素数の加法と乗法は次のように定義される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+jy)+(u+jv)&=(x+u)+j(y+v)\\(x+jy)(u+jv)&=(xu+yv)+j(xv+yu).\end{aligned}}}$$

この乗算は可換、結合的であり、加算に対して分配されます。

共役、係数、双線形形式

複素数の場合と同様に、複素共役分解の概念を定義することができる。

$${\displaystyle z=x+jy~,}$$

zの共役は次のように定義される。

$${\displaystyle z^{*}=x-jy~.}$$

共役は複素共役と同様の性質を満たす反転である。すなわち、

$${\displaystyle {\begin{aligned}(z+w)^{*}&=z^{*}+w^{*}\\(zw)^{*}&=z^{*}w^{*}\\\left(z^{*}\right)^{*}&=z.\end{aligned}}}$$

分割複素数の二乗係数は等方性二次形式で与えられる。 ${\displaystyle z=x+jy}$

$${\displaystyle \lVert z\rVert ^{2}=zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}~.}$$

これは合成代数特性を持ちます:

$${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~.}$$

しかし、この二次形式は正定値ではなく、シグネチャ (1, −1)を持つため、係数はノルムではありません。

関連する双線型形式は次のように与えられる。

$${\displaystyle \langle z,w\rangle =\operatorname {\mathrm {Re} } \left(z^{*}w\right)=\operatorname {\mathrm {Re} } \left(zw^{*}\right)=xu-yv~,}$$

ここで、実部は で定義される。平方モジュラスの別の表現は次のようになる。 ${\displaystyle z=x+jy}$ ${\displaystyle w=u+jv.}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathrm {Re} } (z)={\tfrac {1}{2}}(z+z^{*})=x}$

$${\displaystyle \lVert z\rVert ^{2}=\langle z,z\rangle ~.}$$

この双線型形式は正定値ではないため、内積ではない。しかし、この双線型形式はしばしば不定内積と呼ばれる。同様の誤用として、法をノルムと呼ぶことがある。

分割複素数は、その法が非ゼロ（）のときのみ逆元となる。x ± jxの形式をとる数には逆元がなく、零ベクトルと呼ばれる。逆元の乗法逆元は次のように与えられる。 ${\displaystyle \lVert z\rVert \neq 0}$

$${\displaystyle z^{-1}={\frac {z^{*}}{{\lVert z\rVert }^{2}}}~.}$$

対角基底

およびによって与えられる2 つの非自明なべき等要素があります。べき等性とは、および であることを意味します。これらの要素は両方ともnull です。 ${\displaystyle e={\tfrac {1}{2}}(1-j)}$ ${\displaystyle e^{*}={\tfrac {1}{2}}(1+j).}$ ${\displaystyle ee=e}$ ${\displaystyle e^{*}e^{*}=e^{*}.}$

$${\displaystyle \lVert e\rVert =\lVert e^{*}\rVert =e^{*}e=0~.}$$

分割複素平面の代替基底としてeとe ^∗を用いると便利な場合が多い。この基底は対角基底またはヌル基底と呼ばれる。分割複素数z はヌル基底において次のように表される。

$${\displaystyle z=x+jy=(x-y)e+(x+y)e^{*}~.}$$

実数aとbの数を( a , b )と表記すると、0は(0,0)、1は(1,1)となり、分割複素加算は次のように表され、分割複素乗算は次のように表される。 ${\displaystyle z=ae+be^{*}}$ $${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)+\left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2}\right)~,}$$ $${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}\right)~.}$$

対角基底における分割複素共役は次のように与えられ、二乗係数は次のように 与えられる。 $${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}$$

$${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert ^{2}=ab.}$$

同型性

この可換図は、D上の双曲バーサーの作用と、 σを適用した圧縮写像との関係を示している。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

基底 {e, e*} によれば、分割複素数は、加算と乗算が対で定義された直和と環同型であることが明らかになります。 ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

分割複素数平面の対角基底は、（x、y）の順序付きペアを使って、写像 ${\displaystyle z=x+jy}$

$${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(x,y)S~.}$$

二次形式は、さらに、 ${\displaystyle uv=(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}~.}$

$${\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=\left(e^{a},e^{-a}\right)}$$

したがって、2つのパラメータ化された双曲線はSと対応するようになります。

双曲バーサーの作用は、この線形変換の下ではスクイーズ写像に対応する。 ${\displaystyle e^{bj}\!}$

$${\displaystyle \sigma :(u,v)\mapsto \left(ru,{\frac {v}{r}}\right),\quad r=e^{b}~.}$$

分割複素平面と 2 つの実直線の直和は、環のカテゴリで同じ同型類に属していますが、直交平面における配置が異なります。平面写像としての同型は、反時計回りに 45° 回転し、√ 2だけ拡大します。特に拡大は、双曲セクターの面積との関連で混乱を引き起こすことがあります。実際、双曲角は、次のように与えられる「単位円」を持つ⁠ ⁠平面内のセクターの面積に対応します。分割複素平面の縮約された単位双曲線は、対応する双曲セクターのスパンの面積の半分しかありません。このような混乱は、分割複素平面の幾何学が⁠ ⁠の幾何学と区別されていない場合に永続する可能性があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(a,b)\in \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} :ab=1\}.}$ ${\displaystyle \{\cosh a+j\sinh a:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

幾何学

  単位双曲線: ‖ z ‖ = 1

  共役双曲線: ‖ z ‖ = −1

  漸近線: ‖ z ‖ = 0

ミンコフスキー内積を持つ2 次元実ベクトル空間は(1 + 1)次元ミンコフスキー空間と呼ばれ、しばしば⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}.}$と表記されます。ユークリッド平面⁠ ⁠の幾何学の多くが複素数で記述できるのと同様に、ミンコフスキー平面⁠ ⁠の幾何学は分割複素数で記述できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$

点の集合

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=a^{2}\right\}}$$

⁠ ⁠における任意の非零aに対して双曲線である。双曲線は( a , 0)と(− a , 0)を通る右枝と左枝から構成される。a = 1 の場合は単位双曲線と呼ばれる。共役双曲線は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=-a^{2}\right\}}$$

上側と下側の枝はそれぞれ(0, a )と(0, − a )を通る。双曲線と共役双曲線は、2つの対角漸近線によって区切られ、これらの漸近線が零元集合を形成する。

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert =0\right\}.}$$

これら2本の線（ヌルコーンと呼ばれることもあります）は⁠ ⁠内で垂直で、傾きは ±1 です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

分割複素数zとwが双曲直交性を持つとは、 ⟨ z , w ⟩ = 0 のときである。これは通常の複素数演算で知られる通常の直交性と類似しているが、この条件はより微妙である。これは時空における同時超平面の概念の基礎となる。

分離複素数に対するオイラーの公式の類似は

$${\displaystyle \exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta ).}$$

この式は、cosh は偶数次しか持たないのに対し、sinh は奇数次しか持たないという事実を用いて、冪級数展開から導くことができる。 ^[2]双曲角θのすべての実数値に対して、分解複素数λ = exp( jθ )はノルム1を持ち、単位双曲線の右枝上にある。λのような数は双曲的バーソルと呼ばれている。

λは法1を持つため、任意の分解複素数zにλを乗じてもzの法は保存され、双曲回転（ローレンツブーストまたはスクイーズ写像とも呼ばれる）を表します。λ を乗じることで幾何学的構造が保存され、双曲線はそれ自身に、ヌルコーンはそれ自身に引き寄せられます。

分割複素平面上のすべての変換で、係数（あるいは内積）を保存するものの集合は、一般化直交群O(1, 1)と呼ばれる群を形成する。この群は、 SO ⁺ (1, 1) で表される部分群を形成する双曲回転と、次式で表される4つの離散反射との組み合わせから構成される。

$${\displaystyle z\mapsto \pm z}$$そして ${\displaystyle z\mapsto \pm z^{*}.}$

指数マップ

$${\displaystyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to \mathrm {SO} ^{+}(1,1)}$$

θをexp( jθ )で回転させることは通常の指数式が適用されるため群同型である。

$${\displaystyle e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }.}$$

分割複素数z が対角線のいずれにも存在しない場合、z は極分解を持ちます。

代数的性質

二次代数として、分割複素数は、多項式環⁠ ⁠をイデアル ⁠で割った商として記述することができ、この場合は多項式によって生成される。 ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ ${\displaystyle x^{2}-1,}$

$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1).}$$

商におけるxの像は双曲単位jである。この記述から、分解複素数は実数上の可換代数を形成することが明らかである。この代数は、零元が逆元ではないため、体ではない。零でない零元はすべて零因子である。

加算と乗算は平面の通常の位相に関して連続的な演算であるため、分割複素数は位相環を形成します。

分割複素数の代数は合成代数を形成する。

$${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~}$$

任意の数zとwについて。

定義から、分割複素数環は実数群C ₂上の巡回群の群環 と同型であることが明らかである ${\displaystyle \mathbb {R} [C_{2}]}$。 ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Dの単位元群の単位元には4つの平方根があります。例えば、はpの平方根です。さらに、もpの平方根です。 ${\displaystyle p=\exp(q),\ \ q\in D.{\text{then}}\pm \exp({\frac {q}{2}})}$ ${\displaystyle \pm j\exp({\frac {q}{2}})}$

べき等元 はそれ自身の平方根であり、 ${\displaystyle {\frac {1\pm j}{2}}}$ ${\displaystyle s{\frac {1\pm j}{2}},\ \ s>0,\ {\text{is}}\ {\sqrt {s}}{\frac {1\pm j}{2}}}$

行列表現

行列 と行列乗算の概念を用いることで、分割複素数を線形代数で表すことができます。実数単位1と双曲数単位jは、 I 2 = J ² = Iかつ^IJ = JI = J（ただしJ ≠ ± I ）を満たす任意の行列IとJのペアで表すことができます。したがって、分割複素数a + bjは行列aI + bJで表すことができ、分割複素数演算の一般的な規則はすべて行列演算の規則から導出できます。

最も一般的な選択は、1とjを2×2の 単位行列 Iと行列Jで表すことである。

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

任意の分割複素数a + bj は次のように表すことができます。

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

より一般的には、トレースがゼロで行列式が負の1である任意の実数値2×2行列はIに2乗されるため、Jに選択できます。いずれにせよ、det( aI + bJ ) = a ² − b ^{2 は}、分解複素数の2乗係数です。

より大きな行列も使用できます。たとえば、1 は4 × 4単位行列で表され、 j はγ ⁰ ディラック行列で表されます。

歴史

分割複素数の使用は、ジェームズ・コックルがテッサライン^[3] を発表した1848年にまで遡ります。ウィリアム・キングドン・クリフォードは、スピンの和を表すために分割複素数を使用しました。クリフォードは、現在分割双四元数と呼ばれる四元数代数の係数として分割複素数を用いることを導入しました。彼はその要素を「モーター」と呼びました。これは、円周群から得られる通常の複素数の「回転子」作用と類似した用語です。この類推を拡張すると、モーター変数の関数は通常の複素変数の関数とは対照的です。

20 世紀後半以来、分割複素乗算は時空平面のローレンツブーストとしてよく見られてきた。^{[4] [ 5] [6] [7] [8] [9]}そのモデルでは、数z = x + y j は時空平面でのイベントを表し、x は秒単位で測定され、y は光秒単位で測定される。未来はイベントの象限{ z  : | y | < x }に対応し、分割複素極分解を持つ。モデルによれば、ラピディティaの参照フレームに入り、 ρナノ秒待つことで原点からzに到達できる。単位双曲線上の積を表す分割複素方程式は、 共線速度のラピディティの加法性を示している。イベントの同時性はラピディティaに依存する。は、 ラピディティaの参照フレームで原点と同時に発生するイベントのラインである。 ${\displaystyle z=\rho e^{aj}\!}$ $${\displaystyle e^{aj}\ e^{bj}=e^{(a+b)j}}$$ $${\displaystyle \{z=\sigma je^{aj}:\sigma \in \mathbb {R} \}}$$

2つの事象zとw は、 ⁠ ⁠のとき双曲直交です。標準事象exp( aj )とj exp( aj )は双曲直交であり、原点と同時に発生する事象がj exp( aj )に比例する参照フレームの軸上にあります。 ${\displaystyle z^{*}w+zw^{*}=0}$

1933年、マックス・ゾーンは分割八元数を用いて、合成代数の性質に注目した。彼は、除算代数を生成するために用いられるケーリー・ディクソン構成を（因子ガンマγを用いて）修正することで、分割八元数を含む他の合成代数を構築できることに気づいた。彼の革新は、エイドリアン・アルバート、リチャード・D・シェーファーらによって継承された。^[10] Rを基底体とするガンマ因子は、分割複素数を合成代数として構築する。数学レビュー誌でアルバートを評論したNHマッコイは、「ケーリー・ディクソン代数を一般化する、 F上の2階^eの新しい代数の導入」があったと記している。^[11] F = R、e = 1とすることは、この論文の代数に対応する。

1935 年、JC Vignaux と A. Durañona y Vedia は、アルゼンチン共和国ラプラタ国立大学のContribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas に掲載された 4 つの論文で分割複素幾何代数と関数理論を開発しました(スペイン語)。これらの説明的で教育的なエッセイは、この主題を広く評価するために提示されました。^[12]

1941年、EFアレンは分割複素幾何演算を用いてzz ^∗ =1に内接する三角形の 9点双曲線を証明した。^[13]

1956年、ミェチスワフ・ヴァルムスは『近似計算』を『ポーランド科学アカデミー紀要』 （ Bulletin de l'Académie polonaise des sciences）に発表した（参考文献のリンクを参照）。彼は2つの代数体系を開発し、それぞれを「近似数」と名付けた。そのうち2番目の代数体系は実代数を構成する。^[14] DHレーマーは『数学レビュー』誌でこの論文をレビューし、この2番目の代数体系が本論文の主題である「双曲複素数」と同型であることを指摘した。

1961 年、ウォームスは近似値の構成要素を、示された間隔の中点と半径として参照しながら、説明を続けました。

同義語

様々な著者が、分解複素数に様々な名前を用いています。例えば、以下のようなものがあります。

• （実在の）テッサリン、ジェームズ・コックル（1848）
• （代数的）モーター、WKクリフォード（1882）
• 双曲複素数、JC Vignaux (1935)、G. Cree (1949) ^[15]
• 双実数、U. Bencivenga (1946)
• 実双曲数、N.スミス（1949）^[16]
• 近似値、ウォームス（1956）、区間分析での使用
• ダブルナンバー、IMヤグロム（1968）、カントルとソロドヴニコフ（1989）、ヘイズウィンケル（1990）、ルーニー（2014）
• 双曲数、W.ミラー＆R.ボーニング（1968）、^[17] G.ソブチク（1995）
• 異常複素数、W. Benz (1973)
• パープレックス数、P. Fjelstad (1986) および Poodiack & LeClair (2009)
• 逆複素数または双曲形、カーモディ（1988）
• ローレンツ数、FRハーヴェイ（1990）
• 半複素数、F. アントヌッチオ (1994)
• パラコンプレックス数、Cruceanu、Fortuny、Gadea (1996)
• 分割複素数、B.ローゼンフェルド（1997）^[18]
• 時空数、N.ボロタ（2000）
• 研究番号、P. Lounesto（2001）
• 2 つの複素数、S. オラリウ (2002)
• 分割二分関数、K. McCrimmon (2004)

参照

• ミンコフスキー空間
• 分割四元数
• 超複素数

参考文献

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さらに読む

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