分割原理

ベクトル束の数学的手法

数学において、分割原理とは、ベクトル束に関する問題を直線束の場合に還元するために用いられる手法である。ベクトル束の理論では、例えばチャーン類などの計算を簡略化したい場合が多い。直線束や直線束の直和の計算はよく理解されている場合が多い。そのような場合、分割原理は非常に有用となる。

声明

分割原理の一つのバージョンは、次の定理に表されています。この定理は、複素ベクトル束と整数係数を持つコホモロジーに対して成立します。また、実ベクトル束と係数を持つコホモロジーに対しても成立します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

定理—パラコンパクト空間上の階数のベクトルバンドルを とする。に関連付けられた旗バンドルと呼ばれる空間と、となる写像が存在する。 ${\displaystyle \xi \colon E\rightarrow X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=Fl(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p\colon Y\rightarrow X}$

1. 誘導コホモロジー準同型は単射であり、 ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)}$
2. プルバックバンドルはラインバンドルの直和として分解されます。 ${\displaystyle p^{*}\xi \colon p^{*}E\rightarrow Y}$ ${\displaystyle p^{*}(E)=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{n}.}$

複素数の場合、直線束またはその最初の特性類はチャーン根と呼ばれます。 ${\displaystyle L_{i}}$

分割原理の別のバージョンは、実ベクトル束とその複素化に関するものである：^[1]

定理—パラコンパクト空間上の階数の実ベクトル束とする。空間と写像が存在し、 ${\displaystyle \xi \colon E\rightarrow X}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p\colon Y\rightarrow X}$

1. 誘導コホモロジー準同型は単射であり、 ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)}$
2. プルバックバンドルは、直線バンドルとその共役の直和として分解されます。 ${\displaystyle p^{*}\xi \colon p^{*}E\rightarrow Y}$ ${\displaystyle p^{*}(E\otimes \mathbb {C} )=L_{1}\oplus {\overline {L_{1}}}\oplus \cdots \oplus L_{n}\oplus {\overline {L_{n}}}.}$

結果

が単射であるという事実は、例えば様々なチャーン類の間で成り立つ任意の方程式が においても成り立つことを意味します。これらの方程式は、任意のベクトル束よりも直線束の直和について理解しやすい場合が多くあります。したがって、方程式は において理解し、それから へと展開していく必要があります。 ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle H^{*}(Y)}$ ${\displaystyle H^{*}(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

上のベクトル束はK理論群を定義するのに使われるので、上の最初の定理の写像に対しても単射であることに注意することが重要である。 ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle p^{*}\colon K(X)\rightarrow K(Y)}$ ${\displaystyle p}$

分割原理によれば、複素ベクトル束の特性類は複素直線束の最初のチャーン類の対称多項式に対応します。これらはチャーン類です。

参照

• 複素射影直線上の正則ベクトル束に対するグロタンディークの分割原理

参考文献

1. H. Blane LawsonとMarie-Louise Michelsohn、「スピン幾何学」、命題11.2。
2. オスカー・ランドル＝ウィリアムズ、「特性類とK理論」、系4.3.4、https://www.dpmms.cam.ac.uk/~or257/teaching/notes/Kthy.pdf

• Hatcher, Allen (2003)、「ベクトルバンドルと K 理論 (2.0 版)」セクション3.1
• Raoul BottとLoring Tu.代数的位相幾何学における微分形式、第21章。

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