Subbundle of the tangent bundle
数学の 一分野 である微分幾何学 において 、 多様体 上の 超関数 とは、特定の性質を満たすベクトル部分空間の割り当てである 。最も一般的な状況では、超関数は 接束のベクトル部分束となることが求められる。ベクトルの長さが必要ない場合、すなわち 射影化された 部分空間自体のみを対象とする場合は、 接触束 の部分束として構成することもできる 。 M {\displaystyle M} x ↦ Δ x ⊆ T x M {\displaystyle x\mapsto \Delta _{x}\subseteq T_{x}M} T M {\displaystyle TM}
さらなる積分可能性条件を満たす超関数は、葉理 、すなわち多様体をより小さな部分多様体への分割を生じます。これらの概念は、 可積分 系、 ポアソン 幾何学、 非可換幾何学 、 部分リーマン幾何 学、 微分位相 幾何学など、数学の多くの分野に応用されています 。
同じ名前を共有しているにもかかわらず、この記事で紹介されている分布は、 解析の意味での 分布とはまったく関係がありません。
意味 を滑らかな多様体とする。 （ 滑らかな）超関数は、 任意の 点に滑らかな ベクトル部分空間を割り当てる。より正確には、ベクトル部分空間の 集合から成り 、以下の性質を持つ。任意の点の周りには 近傍と ベクトル場 の集合が 存在し、 任意 の点に対して 、 M {\displaystyle M} Δ {\displaystyle \Delta } x ∈ M {\displaystyle x\in M} Δ x ⊂ T x M {\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M} Δ {\displaystyle \Delta } { Δ x ⊂ T x M } x ∈ M {\displaystyle \{\Delta _{x}\subset T_{x}M\}_{x\in M}} x ∈ M {\displaystyle x\in M} N x ⊂ M {\displaystyle N_{x}\subset M} X 1 , … , X k {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}} y ∈ N x {\displaystyle y\in N_{x}} { X 1 ( y ) , … , X k ( y ) } = Δ y . {\displaystyle \{X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)\}=\Delta _{y}.}
滑らかなベクトル場の集合は の 局所基底 とも呼ばれます 。これらはすべての点で線型独立である必要はなく、したがってすべての点で正式にはベクトル空間基底ではありません。したがって、 局所生成集合 という用語の方が適切です。 という表記は、 割り当て と部分集合 の両方を表すために使用されます 。 { X 1 , … , X k } {\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}} Δ {\displaystyle \Delta } Δ {\displaystyle \Delta } x ↦ Δ x {\displaystyle x\mapsto \Delta _{x}} Δ = ⨿ x ∈ M Δ x ⊆ T M {\displaystyle \Delta =\amalg _{x\in M}\Delta _{x}\subseteq TM}
定期配布 整数 が与えられたとき、 すべての部分空間が 同じ次元 を持つとき、 上の 滑らかな分布は 階数 の 正則分布 と呼ばれます。局所的には、これはすべての局所基底が 線型独立な ベクトル場によって与えられることを求めることに相当します 。 n ≤ m = d i m ( M ) {\displaystyle n\leq m=\mathrm {dim} (M)} Δ {\displaystyle \Delta } M {\displaystyle M} n {\displaystyle n} Δ x ⊂ T x M {\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
より簡潔に言えば、正規分布は 階数の ベクトル部分束 です（これは実際に最もよく使われる定義です）。階数 分布は -平面分布と呼ばれることもあり、 の場合は 超平面 分布と呼ばれます 。 Δ ⊂ T M {\displaystyle \Delta \subset TM} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n = m − 1 {\displaystyle n=m-1}
特別な分布クラス 特に明記しない限り、「分布」とは、（上で説明した意味での）滑らかな正規分布を意味します。
反転分布 超関数 が与えられると 、その切断は 上のベクトル場 から構成され、 上のすべてのベクトル場の空間の ベクトル部分 空間を形成します 。(表記: は の 切断 の空間です ) 超関数は、 が リー部分代数 でもある 場合、 対合的と 呼ばれます。 言い換えると、任意の 2 つのベクトル場 に対して 、 リー括弧は に属します 。 Δ {\displaystyle \Delta } M , {\displaystyle M,} Γ ( Δ ) ⊆ Γ ( T M ) = X ( M ) {\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq \Gamma (TM)={\mathfrak {X}}(M)} M {\displaystyle M} Γ ( T M ) {\displaystyle \Gamma (TM)} T M . {\displaystyle TM.} Δ {\displaystyle \Delta } Γ ( Δ ) ⊆ X ( M ) {\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)} X , Y ∈ Γ ( Δ ) ⊆ X ( M ) {\displaystyle X,Y\in \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)} [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} Γ ( Δ ) ⊆ X ( M ) {\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}
局所的には、この条件は、すべての点に対して、分布の 局所基底 が の近傍に存在し 、すべての に対して 、リー括弧が のスパン内にある 、すなわち が の 線形結合 であることを意味する。 x ∈ M {\displaystyle x\in M} { X 1 , … , X n } {\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}} x {\displaystyle x} 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} [ X i , X j ] {\displaystyle [X_{i},X_{j}]} { X 1 , … , X n } {\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}} [ X i , X j ] {\displaystyle [X_{i},X_{j}]} { X 1 , … , X n } . {\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}.}
反転超関数は可積分系 の研究における基本的な要素です 。関連する考え方は ハミルトン力学にも見られます。 シンプレクティック多様体 上の 2つの関数 とが、 それらの ポアソン括弧がゼロであるとき、 相互反転関係 にあると言われます 。 f {\displaystyle f} g {\displaystyle g}
可積分超関数と葉脈構造 階数 分布の 整多様体 は、 任意の に対して となる 次元の 部分多様体 である 。分布は、任意の 点を通る整多様体が存在するとき、 積分可能 と呼ばれる。したがって、束の基底空間は 、互いに素で、 最大で 、 連結な 整多様体であり、 葉 とも呼ばれる。つまり、 は の n次元 葉脈構造 を定義する。 n {\displaystyle n} Δ {\displaystyle \Delta } N ⊂ M {\displaystyle N\subset M} n {\displaystyle n} T x N = Δ x {\displaystyle T_{x}N=\Delta _{x}} x ∈ N {\displaystyle x\in N} x ∈ M {\displaystyle x\in M} Δ ⊂ T M {\displaystyle \Delta \subset TM} Δ {\displaystyle \Delta } M {\displaystyle M}
局所的に、積分可能性とは、任意の点に対して 、任意の 空間 が座標ベクトル によって張られるような 局所チャートが存在することを意味します 。言い換えれば、任意の点には葉脈チャートが存在する、つまり分布は葉脈の葉に接します。さらに、この局所的な特徴付けは、 が実可逆上三角 ブロック行列 （および ブロック）の群である 場合の -構造 の積分可能性の定義と一致します 。 x ∈ M {\displaystyle x\in M} ( U , { χ 1 , … , χ n } ) {\displaystyle (U,\{\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\})} y ∈ U {\displaystyle y\in U} Δ y {\displaystyle \Delta _{y}} ∂ ∂ χ 1 ( y ) , … , ∂ ∂ χ n ( y ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \chi _{1}}}(y),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial \chi _{n}}}(y)} Δ {\displaystyle \Delta } G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} ( n × n ) {\displaystyle (n\times n)} ( m − n , m − n ) {\displaystyle (m-n,m-n)}
任意の可積分超関数は自動的に共形的であることは容易に分かる。逆はそれほど単純ではないが、 フロベニウスの定理 によって成立する。
弱正規分布 任意の分布が与えられた場合 、 それに対応するリーフラグ は次のように定義される等級付けである。 Δ ⊆ T M {\displaystyle \Delta \subseteq TM}
Δ ( 0 ) ⊆ Δ ( 1 ) ⊆ … ⊆ Δ ( i ) ⊆ Δ ( i + 1 ) ⊆ … {\displaystyle \Delta ^{(0)}\subseteq \Delta ^{(1)}\subseteq \ldots \subseteq \Delta ^{(i)}\subseteq \Delta ^{(i+1)}\subseteq \ldots } ここで 、 、 である 。言い換えれば、 は の元の -反復リー括弧 によって張られるベクトル場の集合を表す 。定義において、負の減少の次数を用いる著者もいる。 Δ ( 0 ) := Γ ( Δ ) {\displaystyle \Delta ^{(0)}:=\Gamma (\Delta )} Δ ( 1 ) := ⟨ [ Δ ( 0 ) , Δ ( 0 ) ] ⟩ C ∞ ( M ) {\displaystyle \Delta ^{(1)}:=\langle [\Delta ^{(0)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}} Δ ( i + 1 ) := ⟨ [ Δ ( i ) , Δ ( 0 ) ] ⟩ C ∞ ( M ) {\displaystyle \Delta ^{(i+1)}:=\langle [\Delta ^{(i)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}} Δ ( i ) ⊆ X ( M ) {\displaystyle \Delta ^{(i)}\subseteq {\mathfrak {X}}(M)} i {\displaystyle i} Γ ( Δ ) {\displaystyle \Gamma (\Delta )}
と なるような入れ子になったベクトル部分束の 列が存在するとき、 は 弱正則 （あるいは単に正則と呼ぶ人もいる）と呼ばれる 。 [1] この場合、の階数は によって上から制限されるため、 関連するリーフラグはある点 で安定する 。このとき、整数列は の 成長ベクトル と呼ばれる 。 Δ {\displaystyle \Delta } { T i M ⊆ T M } i {\displaystyle \{T^{i}M\subseteq TM\}_{i}} Γ ( T i M ) = Δ ( i ) {\displaystyle \Gamma (T^{i}M)=\Delta ^{(i)}} T 0 M = Δ {\displaystyle T^{0}M=\Delta } m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } T i M {\displaystyle T^{i}M} r a n k ( T M ) = d i m ( M ) {\displaystyle \mathrm {rank} (TM)=\mathrm {dim} (M)} ( r a n k ( Δ ( 0 ) ) , r a n k ( Δ ( 1 ) ) , … , r a n k ( Δ ( m ) ) ) {\displaystyle (\mathrm {rank} (\Delta ^{(0)}),\mathrm {rank} (\Delta ^{(1)}),\ldots ,\mathrm {rank} (\Delta ^{(m)}))} Δ {\displaystyle \Delta }
任意の弱正則分布には、次数付きベクトル束が関連付けられる。 さらに、ベクトル場のリー括弧は、任意の に対して、 -線型束射 、つまり -曲率 に降下する 。特に、 -曲率が等価的にゼロとなるのは、分布が対合的である場合のみである。 g r ( T M ) := T 0 M ⊕ ( ⨁ i = 0 m − 1 T i + 1 M / T i M ) ⊕ T M / T m M . {\displaystyle \mathrm {gr} (TM):=T^{0}M\oplus {\Big (}\bigoplus _{i=0}^{m-1}T^{i+1}M/T^{i}M{\Big )}\oplus TM/T^{m}M.} i , j = 0 , … , m {\displaystyle i,j=0,\ldots ,m} C ∞ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)} g r i ( T M ) × g r j ( T M ) → g r i + j + 1 ( T M ) {\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(TM)\times \mathrm {gr} _{j}(TM)\to \mathrm {gr} _{i+j+1}(TM)} ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)}
曲率を繋ぎ合わせると、レヴィ括弧 とも呼ばれる 射 が得られ、 これは を べき零リー代数の束にする。このため、 は の べき零化 とも呼ばれる 。 [1] L : g r ( T M ) × g r ( T M ) → g r ( T M ) {\displaystyle {\mathcal {L}}:\mathrm {gr} (TM)\times \mathrm {gr} (TM)\to \mathrm {gr} (TM)} g r ( T M ) {\displaystyle \mathrm {gr} (TM)} ( g r ( T M ) , L ) {\displaystyle (\mathrm {gr} (TM),{\mathcal {L}})} Δ {\displaystyle \Delta }
しかしながら、リー代数は 点 を変化させたときに同型ではないため、 束 は一般に局所的に自明ではない 。この場合、弱正則分布は 正則分布 （あるいは一部の著者は強正則分布と呼ぶ） とも呼ばれる。 [ 説明が必要 ]ここで使用されている （強正則、弱正則 という名称は 、上で議論した正則性の概念（これは常に仮定されている）、すなわち空間の次元が 一定であることとは全く無関係であることに注意してください。 g r ( T M ) → M {\displaystyle \mathrm {gr} (TM)\to M} g r i ( T x M ) := T x i M / T x i + 1 M {\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(T_{x}M):=T_{x}^{i}M/T_{x}^{i+1}M} x ∈ M {\displaystyle x\in M} Δ {\displaystyle \Delta } Δ x {\displaystyle \Delta _{x}}
ブラケット生成分布 超関数は 、 の元の有限個のリー括弧を取ることで 上のベクトル場空間全体を生成できる場合 、括弧生成型 （または 非ホロノミック 、あるいは ヘルマンダー条件 を満たす）と呼ばれます 。上で導入した記法を用いると、このような条件は 特定のに対して と書くことができます。また、 は ステップ で括弧生成型 、または 深さ を 持つとも言えます 。 Δ ⊆ T M {\displaystyle \Delta \subseteq TM} Γ ( Δ ) {\displaystyle \Gamma (\Delta )} M {\displaystyle M} Δ ( m ) = X ( M ) {\displaystyle \Delta ^{(m)}={\mathfrak {X}}(M)} m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } Δ {\displaystyle \Delta } m + 1 {\displaystyle m+1} m + 1 {\displaystyle m+1}
明らかに、ブラケット生成分布のリーフラグは点 で安定します 。弱正則性とブラケット生成性はそれぞれ独立した性質ですが（以下の例を参照）、分布がこれら両方を満たす場合、2つの定義から得られる整数は 同じになります。 m {\displaystyle m} m {\displaystyle m}
チャウ・ラシェフスキー の定理により、 連結多様体上の 括弧生成分布が与えられた場合、任意の2点は 分布に接する経路で結ばれる。 [2] [3] Δ ⊆ T M {\displaystyle \Delta \subseteq TM} M {\displaystyle M}
安定した分布 分布が 安定で ある とは、任意の小さな摂動の下で分布 を に 写像する微分同相写像が存在することを意味する 。そのようなケースは3つだけ存在する： [4] Δ ⊆ T M {\displaystyle \Delta \subseteq TM} C 2 {\displaystyle C^{2}} Δ ′ {\displaystyle \Delta '} Δ {\displaystyle \Delta }
ランク 1: ファイブレーション、本質的には長さのないベクトル場。 コランク1：超平面分布。周囲次元が奇数の場合、 接触形式 となる。周囲次元が偶数の場合、偶数接触形式となる。 階数2、次元4：エンゲル分布の特別な場合。すべてのエンゲル分布は局所的に以下の形をとる。 α = d z − x d y , β = d x − w d y {\displaystyle \alpha =dz-xdy,\quad \beta =dx-wdy} 同様に、エンゲル分布は[5] によって特徴付けられる。 rank D = 2 rank [ D , D ] = 3 rank [ D , [ D , D ] ] = 4 , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rank} {\mathcal {D}}&=2\\\operatorname {rank} [{\mathcal {D}},{\mathcal {D}}]&=3\\\operatorname {rank} [{\mathcal {D}},[{\mathcal {D}},{\mathcal {D}}]]&=4,\end{aligned}}}
正規分布の例
積分可能分布 上の任意の ベクトル場は、 を設定することにより、自動的に積分可能な階数 1 の分布を定義します。つまり、任意の 積分曲線 の像は 積分多様体です。 X {\displaystyle X} M {\displaystyle M} Δ x := ⟨ X x ⟩ ⊆ T x M {\displaystyle \Delta _{x}:=\langle X_{x}\rangle \subseteq T_{x}M} γ : I → M {\displaystyle \gamma :I\to M} 上の 階数の自明な分布は、 第一 座標ベクトル場によって生成される 。これは自動的に積分可能であり、積分多様体は 任意の定数に対して方程式 ,によって定義される 。 k {\displaystyle k} M = R n {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}} k {\displaystyle k} ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x k {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}} { x i = c i } i = k + 1 , … , n {\displaystyle \{x_{i}=c_{i}\}_{i=k+1,\ldots ,n}} c i ∈ R {\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} } 一般に、任意の反転/積分可能分布は弱正則（ 任意の に対して ）ですが、括弧を生成することはありません。 Δ ( i ) = Γ ( Δ ) {\displaystyle \Delta ^{(i)}=\Gamma (\Delta )} i {\displaystyle i}
非積分分布 上の マルティネ 分布は に対して で与えられます 。同様に、ベクトル場 およびによって生成されます 。 であるため、マルティネ分布は括弧生成です が、弱正則ではありません。 つまり、 面を除くすべての場所で階数3を持ちます 。 M = R 3 {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}} Δ = ker ( ω ) ⊆ T M {\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM} ω = d y − z 2 d x ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \omega =dy-z^{2}dx\in \Omega ^{1}(M)} ∂ ∂ x + z 2 ∂ ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z^{2}{\frac {\partial }{\partial y}}} ∂ ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}} Δ ( 2 ) = X ( M ) {\displaystyle \Delta ^{(2)}={\mathfrak {X}}(M)} Δ ( 1 ) {\displaystyle \Delta ^{(1)}} z = 0 {\displaystyle z=0} 上の 接触 分布は 、 に対して で与えられます。同様に、 に対して ベクトル場と によって生成されます 。 これは弱正則で、成長ベクトル を持ち 、 によって括弧生成します。 多様体上の 抽象的な 接触構造を 、最大限に非積分な、つまり可能な限り非対合性に近い超平面分布として定義することもできます。 ダルブーの定理 の類似は、そのような構造が上記の唯一の局所モデルを持つことを示しています。 M = R 2 n + 1 {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n+1}} Δ = ker ( ω ) ⊆ T M {\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM} ω = d z + ∑ i = 1 n x i d y i ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \omega =dz+\sum _{i=1}^{n}x_{i}dy_{i}\in \Omega ^{1}(M)} ∂ ∂ y i {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}} ∂ ∂ x i + y i ∂ ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+y_{i}{\frac {\partial }{\partial z}}} i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} ( 2 n , 2 n + 1 ) {\displaystyle (2n,2n+1)} Δ ( 1 ) = X ( M ) {\displaystyle \Delta ^{(1)}={\mathfrak {X}}(M)} M 2 n + 1 {\displaystyle M^{2n+1}} エンゲル 分布 は 、 およびに対して で与えられます 。これは、ベクトル場 およびによって生成されるものと同値です 。これは弱正則で、成長ベクトル を持ち 、括弧生成性を持ちます。また、 多様体上の抽象 エンゲル構造を、 が階数3、 が階数4となる ような 階数2の弱正則分布として定義することもできます 。エンゲルは、このような構造が上述の唯一の局所モデルを持つことを証明しました。 [6] M = R 4 {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}} Δ = ker ( ω 1 ) ∩ ker ( ω 2 ) ⊆ T M {\displaystyle \Delta =\ker(\omega _{1})\cap \ker(\omega _{2})\subseteq TM} ω 1 = d z − w d x ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \omega _{1}=dz-wdx\in \Omega ^{1}(M)} ω 2 = d y − z d x ∈ Ω 1 ( M ) {\displaystyle \omega _{2}=dy-zdx\in \Omega ^{1}(M)} ∂ ∂ x + z ∂ ∂ y + w ∂ ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial y}}+w{\frac {\partial }{\partial z}}} ∂ ∂ w {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial w}}} ( 2 , 3 , 4 ) {\displaystyle (2,3,4)} M 4 {\displaystyle M^{4}} Δ ⊆ T M {\displaystyle \Delta \subseteq TM} Δ ( 1 ) {\displaystyle \Delta ^{(1)}} Δ ( 2 ) {\displaystyle \Delta ^{(2)}} 一般に、 多様体上の グールサット構造は 、弱正則かつブラケット生成的な階数2の分布であり、成長ベクトル を持つ 。 と に対して 、それぞれ3次元多様体上の接触分布とエンゲル分布を回復する。グールサット構造は 、ジェット束 の カルタン分布 と局所的に微分同相である 。 M k + 2 {\displaystyle M^{k+2}} ( 2 , 3 , … , k + 1 , k + 2 ) {\displaystyle (2,3,\ldots ,k+1,k+2)} k = 1 {\displaystyle k=1} k = 2 {\displaystyle k=2} J k ( R , R ) {\displaystyle J^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
特異分布 特異 分布 、 一般化分布 、あるいは シュテファン・サスマン分布は 、正規分布ではない滑らかな分布です。これは、部分空間が 異なる次元を持つ可能性があることを意味し、したがって、部分集合は もはや滑らかな部分束ではありません。 Δ x ⊂ T x M {\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M} Δ ⊂ T M {\displaystyle \Delta \subset TM}
特に、局所基底の張る要素の数は とともに変化し、それらのベクトル場はもはやあらゆる場所で線形独立ではなくなります。 の次元 が 半連続 より低いこと は容易にわかります。 そのため、特別な点では の次元は近傍の点よりも低くなります。 Δ x {\displaystyle \Delta _{x}} x {\displaystyle x} Δ x {\displaystyle \Delta _{x}}
積分可能性と特異葉層 上で示した整多様体と可積分性の定義は、特異な場合（固定次元の要件がなくなる）にも適用されます。しかし、この文脈ではフロベニウスの定理は成立せず、また、一般に可積分性には反転性だけでは不十分です（低次元では反例があります）。
いくつかの部分的な結果の後、 [7] 特異分布の積分可能性問題は、ステファン [8] [9]とサスマン [10] [11] によって独立に証明された定理によって完全に解決されました。 この定理は、特異分布が 積分可能であるためには、次の2つの性質が成り立つ必要があると述べています。 Δ {\displaystyle \Delta }
Δ {\displaystyle \Delta } ベクトル場の 族によって生成される。 F ⊆ X ( M ) {\displaystyle F\subseteq {\mathfrak {X}}(M)} Δ {\displaystyle \Delta } は任意の に関して不変です。 つまり 、 は の 流れ であり 、 です 。 X ∈ F {\displaystyle X\in F} ( ϕ X t ) ∗ ( Δ y ) ⊆ Δ ϕ X t ( y ) {\displaystyle (\phi _{X}^{t})_{*}(\Delta _{y})\subseteq \Delta _{\phi _{X}^{t}(y)}} ϕ X t {\displaystyle \phi _{X}^{t}} X {\displaystyle X} t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } y ∈ d o m ( X ) {\displaystyle y\in \mathrm {dom} (X)} 通常の場合と同様に、積分可能な特異分布は 特異葉 構造を定義します。これは直感的に、 を異なる次元の 部分多様体（ の最大積分多様体） に分割することから成ります。 M {\displaystyle M} Δ {\displaystyle \Delta }
特異葉構造の定義は、いくつかの同等な方法で明確にすることができます。実際、文献には、ステファン＝サスマン定理のバリエーション、再定式化、一般化が数多く存在し、 ポアソン幾何学 [12] [13] や 非可換幾何学 [14] [15] など、想定される応用に応じて、特異葉構造の概念が異なっています。
例 多様体 上の リー 群 作用 が与えられたとき 、その無限小生成元は常に積分可能な特異分布を張る。この特異分布の葉脈は、まさに群作用の 軌道 となる。この分布／葉脈が正則であることと、作用が自由であることは同値である。 M {\displaystyle M} ポアソン多様体 が与えられたとき 、 の像は 常に積分可能な特異分布である。関連する特異葉層の葉は、 のシンプレクティック葉と正確に一致する 。分布／葉層は、ポアソン多様体が正則であるとき、かつそのときに限り、正則である。 ( M , π ) {\displaystyle (M,\pi )} π ♯ = ι π : T ∗ M → T M {\displaystyle \pi ^{\sharp }=\iota _{\pi }:T^{*}M\to TM} ( M , π ) {\displaystyle (M,\pi )} より一般的には、任意のリー代数 体の アンカー写像の像は 、自動的に積分可能な特異分布を定義し、それに伴う特異葉層の葉は、まさにリー代数体の葉である。分布／葉層が正則となるのは 、が定数階数を持つ場合、すなわちリー代数体が正則となる場合である。作用リー代数体 と余接リー代数体をそれぞれ考えると 、上記の2つの例が再現される。 ρ : A → T M {\displaystyle \rho :A\to TM} A → M {\displaystyle A\to M} ρ {\displaystyle \rho } M × g {\displaystyle M\times {\mathfrak {g}}} T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} 動的システム では 、与えられたベクトル場と交換可能なベクトル場の集合から特異分布が生じます。 一般化分布がシステムの微小な制約を表す 制御理論 にも例と応用があります。
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![{\displaystyle \Delta ^{(i+1)}:=\langle [\Delta ^{(i)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641bf7674e8bf8086b321d92155647e0a28691c0)
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