最急降下法

Extension of Laplace's method for approximating integrals

数学において、最急降下法（せいさいきょうだいほう）または鞍点法（あんてんほう）は、積分の近似を求めるラプラス法の拡張であり、複素平面上の積分を、おおよそ最急降下または停留位相の方向にある停留点（鞍点）の近傍を通るように変形する。鞍点近似は複素平面上の積分に用いられ、ラプラス法は実積分に用いられる。

推定すべき積分は、多くの場合、次のような形式となる。

${\displaystyle \int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,dz,}$

ここで、Cは積分路であり、λは大きい。最急降下法の一つのバージョンでは、積分路Cを新しい積分路C′に変形し、以下の条件が満たされる。

1. C′は導関数g ′( z )の1つ以上の零点を通過する。
2. g ( z )の虚数部はC′上では定数である。

最急降下法はデバイ（1909）によって初めて発表されました。彼はこの法をベッセル関数の推定に用い、リーマン（1863）の超幾何関数に関する未発表のノートにこの法則が見られることを指摘しました。最急降下法の曲線はミニマックス特性を持ちます。詳細はフェドリュク（2001）を参照してください。シーゲル（1932）はリーマンの他の未発表ノートを記述し、その中でこの法を用いてリーマン・シーゲル公式を導出しました。

基本的な考え方

最急降下法は、大きな に対しての形の複素積分を近似する方法である。ここで、 とはの解析関数である。積分関数は解析的であるため、積分曲線は積分値を変えずに新しい曲線に変形することができる。特に、 の虚部（ と表記）が一定となるような新しい曲線を求める（は実部を表す）。すると、残りの積分はラプラス法 のような他の方法で近似することができる。^[1] $${\displaystyle I(\lambda )=\int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,\mathrm {d} z}$$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle \Im (\cdot )}$ ${\displaystyle g(z)=\Re [g(z)]+i\,\Im [g(z)]}$ ${\displaystyle \Re (\cdot )}$ $${\displaystyle I(\lambda )=e^{i\lambda \Im \{g(z)\}}\int _{C'}f(z)e^{\lambda \Re \{g(z)\}}\,\mathrm {d} z,}$$

語源

この方法は、解析的な場合、一定位相等高線が最急降下等高線と等価であるため、最急降下法と呼ばれます。 ${\displaystyle g(z)}$

が の解析関数である場合、コーシー・リーマン方程式を満たします。したがって、定位相の曲線は最急降下曲線でもあります。 ${\displaystyle g(z)=X(z)+iY(z)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$ $${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}={\frac {\partial Y}{\partial y}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {\partial X}{\partial y}}=-{\frac {\partial Y}{\partial x}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}{\frac {\partial Y}{\partial y}}=\nabla X\cdot \nabla Y=0,}$$

簡単な見積もり

f , S  : C ⁿ → CかつC ⊂ C ⁿとする。もし 

${\displaystyle M=\sup _{x\in C}\Re (S(x))<\infty ,}$

ここで は実部を表し、正の実数λ ₀が存在し、 ${\displaystyle \Re (\cdot )}$

${\displaystyle \int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx<\infty ,}$

すると、次の推定が成り立つ：^[2]

${\displaystyle \left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|\leqslant {\text{const}}\cdot e^{\lambda M},\qquad \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\quad \lambda \geqslant \lambda _{0}.}$

簡単な推定の証明:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|&\leqslant \int _{C}|f(x)|\left|e^{\lambda S(x)}\right|dx\\&\equiv \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|dx\\&\leqslant \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}\right|dx&&\left|e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|\leqslant 1\\&=\underbrace {e^{-\lambda _{0}M}\int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx} _{\text{const}}\cdot e^{\lambda M}.\end{aligned}}}$

単一の非退化鞍点の場合

基本的な概念と表記法

xを複素n次元ベクトルとし、

${\displaystyle S''{}_{xx}(x)\equiv \left({\frac {\partial ^{2}S(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i,\,j\leqslant n,}$

関数S ( x )のヘッセ行列を表す。

${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{k}(x))}$

がベクトル関数である場合、そのヤコビ行列は次のように定義される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}_{x}'(x)\equiv \left({\frac {\partial \varphi _{i}(x)}{\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i\leqslant k,\quad 1\leqslant j\leqslant n.}$

正則関数S ( z )の非退化鞍点z 0 ^∈ C n^は、関数のヘッセ行列の行列式がゼロでない (つまり、 )関数の臨界点 (つまり、∇ S ( z ⁰ ) = 0 ) です。 ${\displaystyle \det S''{}_{zz}(z^{0})\neq 0}$

以下は、非退化鞍点の場合の積分の漸近構造を構築するための主なツールです。

複素モース補題

実数値関数のモースの補題は、正則関数に対して次のように一般化される^[3] 。正則関数S ( z )の非退化鞍点z0の近傍において、^S ( z ) −S ( z0 )がちょうど²次となる座標が存在する。これを正確にするために、SをW⊂Cnを定義域とする正則関数とし、Wにおけるz0をSの非退化鞍点、すなわち∇S(z0 ) = 0^かつとする。すると、^z0の近傍U⊂Wとw = 0の^近傍V⊂Cnが存在し、また、 φ ⁽ 0 ⁾ = ^z0となるような全単射正則関数φ  : V → Uが存在し、 ${\displaystyle \det S''{}_{zz}(z^{0})\neq 0}$

${\displaystyle \forall w\in V:\qquad S({\boldsymbol {\varphi }}(w))=S(z^{0})+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2},\quad \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1,}$

ここで、μ _jは行列の固有値です。 ${\displaystyle S''{}_{zz}(z^{0})}$

複素モース補題の図解

複素モース補題の証明

^{以下の証明は、 [4]}に示された実モース補題の証明をそのまま一般化したものだ。まず、

補足説明。原点近傍においてf   : C ⁿ → Cが正則であり、 f  (0) = 0 とする。すると、ある近傍において関数g _i  : C ⁿ → Cが存在し、各g _{i は}正則であり、   $${\displaystyle f(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z),}$$ $${\displaystyle g_{i}(0)=\left.{\tfrac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.}$$

アイデンティティから

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}f\left(tz_{1},\cdots ,tz_{n}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}z_{i}\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt,}$

我々は次のように結論づける。

${\displaystyle g_{i}(z)=\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt}$

そして

${\displaystyle g_{i}(0)=\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.}$

一般性を失うことなく、原点をz ^{0に平行移動させ、} z ⁰ = 0、S (0) = 0とする。補助命題を用いると、

${\displaystyle S(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z).}$

原点は鞍点なので、

${\displaystyle \left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}=g_{i}(0)=0,}$

補助ステートメントを関数g _i ( z )に適用して、

${\displaystyle S(z)=\sum _{i,j=1}^{n}z_{i}z_{j}h_{ij}(z).}$

1

任意の行列Aは対称行列A ^{( s )}と反対称行列A ^{( a )}の和として表すことができることを思い出してください。

${\displaystyle A_{ij}=A_{ij}^{(s)}+A_{ij}^{(a)},\qquad A_{ij}^{(s)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}+A_{ji}\right),\qquad A_{ij}^{(a)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}-A_{ji}\right).}$

任意の対称行列Bと任意の行列Aの縮約は

${\displaystyle \sum _{i,j}B_{ij}A_{ij}=\sum _{i,j}B_{ij}A_{ij}^{(s)},}$

2

つまり、 Aの反対称成分は寄与しない。

${\displaystyle \sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=\sum _{i,j}B_{ji}C_{ji}=-\sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=0.}$

したがって、式（１）のh _ij ( z )は、添え字iとjの入れ替えに関して対称であると仮定できる。

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right|_{z=0}=2h_{ij}(0);}$

したがって、原点は非退化鞍点なので 、 det( h _ij (0))≠0となる。

帰納法によって、局所座標u = ( u ₁ , ... u _n )、z = ψ ( u )、0 = ψ (0)が存在することを示そう。

${\displaystyle S({\boldsymbol {\psi }}(u))=\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}.}$

3

まず、局所座標y = ( y ₁ , ... y _n )、z = φ ( y )、0 = φ (0)が存在し、

${\displaystyle S({\boldsymbol {\phi }}(y))=y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}H_{ij}(y),}$

4

ここで、H _ijは式(2)より対称である。変数( y _r , ... y _n )の線形変化により、 H _rr (0) ≠ 0が保証される。連鎖律から、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}S({\boldsymbol {\phi }}(y))}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}=\sum _{l,k=1}^{n}\left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{k}\partial z_{l}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial \phi _{l}}{\partial y_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{k}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial ^{2}\phi _{k}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}}$

したがって：

${\displaystyle S''{}_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))={\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)^{T}S''{}_{zz}(0){\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0),\qquad \det {\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)\neq 0;}$

どこから、

${\displaystyle 0\neq \det S''{}_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))=2^{r-1}\det \left(2H_{ij}(0)\right).}$

行列( H _ij (0))は、ジョルダン正規形( H _ij (0)) = LJL ⁻¹に書き直すことができる。ここで、L は所望の非特異線形変換を与え、Jの対角成分には( H _ij (0))の非零固有値が含まれる。H _ij (0) ≠ 0の場合、 H _ij ( y )の連続性により、原点の近傍において H ij ( y ) もゼロではない。 を導入した上で、 ${\displaystyle {\tilde {H}}_{ij}(y)=H_{ij}(y)/H_{rr}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S({\boldsymbol {\varphi }}(y))=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[y_{r}^{2}+2y_{r}\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)+\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\right]\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}-\left(\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}\right]+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\end{aligned}}}$

最後の式に基づいて、新しい座標z = η ( x )、0 = η (0)を導入する。

${\displaystyle x_{r}={\sqrt {H_{rr}(y)}}\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right),\qquad x_{j}=y_{j},\quad \forall j\neq r.}$

変数y ↔ xの変化は、対応するヤコビアンがゼロでないため、局所的に可逆である。

${\displaystyle \left.{\frac {\partial x_{r}}{\partial y_{k}}}\right|_{y=0}={\sqrt {H_{rr}(0)}}\left[\delta _{r,\,k}+\sum _{j=r+1}^{n}\delta _{j,\,k}{\tilde {H}}_{jr}(0)\right].}$

したがって、

${\displaystyle S({\boldsymbol {\eta }}(x))={x}_{1}^{2}+\cdots +{x}_{r}^{2}+\sum _{i,j=r+1}^{n}{x}_{i}{x}_{j}W_{ij}(x).}$

5

式(4)と式(5)を比較すると、式(3)は検証されていると結論できる。の固有値をμ _jとすると、式(3)は次のように書き直される。 ${\displaystyle S''{}_{zz}(0)}$

${\displaystyle S({\boldsymbol {\varphi }}(w))={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2}.}$

6

したがって、

${\displaystyle S''{}_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))={\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)^{T}S''{}_{zz}(0){\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0),}$

7

式(6)から、 が成り立つ。のジョルダン正規形はとなる。ここで、J _zは固有値を含む上対角行列であり、det P ≠ 0 である。したがって、となる。式(7)から、 ${\displaystyle \det S''{}_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$ ${\displaystyle S''{}_{zz}(0)}$ ${\displaystyle S''{}_{zz}(0)=PJ_{z}P^{-1}}$ ${\displaystyle \det S''{}_{zz}(0)=\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$

${\displaystyle \det S''{}_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\left[\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)\right]^{2}\det S''{}_{zz}(0)\Longrightarrow \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=\pm 1.}$

の場合、2 つの変数を交換すると が保証されます。 ${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=-1}$ ${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=+1}$

単一の非退化鞍点の場合の漸近展開

仮定する

1.  f  ( z )とS ( z )は、 I _x = Ω _x ∩ R ⁿが連結であるような、開いた有界の単連結集合Ω _x ⊂ C ⁿ上の正則関数である。
2. ${\displaystyle \Re (S(z))}$唯一の最大値を持ちます:正確に1つの点x ⁰ ∈ I _xに対してです。 ${\displaystyle \max _{z\in I_{x}}\Re (S(z))=\Re (S(x^{0}))}$
3. x ⁰は非退化鞍点（すなわち、 ∇ S ( x ⁰ ) = 0かつ）である。 ${\displaystyle \det S''{}_{xx}(x^{0})\neq 0}$

すると、次の漸近線が成り立つ。

${\displaystyle I(\lambda )\equiv \int _{I_{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}e^{\lambda S(x^{0})}\left(f(x^{0})+O\left(\lambda ^{-1}\right)\right)\prod _{j=1}^{n}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}},\qquad \lambda \to \infty ,}$

8

ここで、μ _{j は}ヘッセ行列 の固有値であり、引数で定義される。 ${\displaystyle S''{}_{xx}(x^{0})}$ ${\displaystyle (-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}}$

${\displaystyle \left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|<{\tfrac {\pi }{4}}.}$

9

この記述は、Fedoryuk（1987）で提示されたより一般的な結果の特殊なケースである。^[5]

式（8）の導出

式（8）の導出の図解

まず、積分路I _{x を}、鞍点x ⁰を通り、境界をI _xと共有する新しい積分路に変形します。この変形では積分I ( λ )の値は変化しません。積分の変数を変更するために、複素モース補題を使用します。補題によれば、関数φ ( w )は近傍x ⁰ ∈ U ⊂ Ω _xを、原点を含む近傍Ω _wに写像します。積分I ( λ )は 2 つに分割できます。I ( λ ) = I 0 ( λ ) + I ₁ ( λ )です。ここで、I ₀ ( λ )は 上の積分であり、I ₁ ( λ )は （つまり、積分路I′ _xの残りの部分）上の積分です。後者の領域には鞍点x ^{0が含まれていないため、} λ → ∞のときにI ₁ ( λ )の値はI ₀ ( λ )よりも指数的に小さくなります。^[6]従って、I ₁ ( λ )は無視される。となるような等高線I _wを導入すると、 ${\displaystyle I'_{x}\subset \Omega _{x}}$ ${\displaystyle U\cap I'_{x}}$ ${\displaystyle I'_{x}\setminus (U\cap I'_{x})}$ ${\displaystyle U\cap I'_{x}={\boldsymbol {\varphi }}(I_{w})}$

${\displaystyle I_{0}(\lambda )=e^{\lambda S(x^{0})}\int _{I_{w}}f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]\exp \left(\lambda \sum _{j=1}^{n}{\tfrac {\mu _{j}}{2}}w_{j}^{2}\right)\left|\det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(w)\right|dw.}$

10

x ⁰ = φ (0)と を思い出すと、指数関数をテイラー級数に展開し、ゼロ次の項だけを残す。 ${\displaystyle \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1}$ ${\displaystyle f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]}$

${\displaystyle I_{0}(\lambda )\approx f(x^{0})e^{\lambda S(x^{0})}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\exp \left(\lambda \sum _{j=1}^{n}{\tfrac {\mu _{j}}{2}}w_{j}^{2}\right)dw=f(x^{0})e^{\lambda S(x^{0})}\prod _{j=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {1}{2}}\lambda \mu _{j}y^{2}}dy.}$

11

ここで積分領域I _{w を}R ⁿに置き換えたのは、どちらも鞍点である原点を含むため、指数関数的に小さい項を除いて等しいからである。^[7]式(11)の右辺の積分は次のように表される。

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {1}{2}}\lambda \mu _{j}y^{2}}dy=2\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\lambda \left({\sqrt {-\mu _{j}}}y\right)^{2}}dy=2\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\lambda \left|{\sqrt {-\mu _{j}}}\right|^{2}y^{2}\exp \left(2i\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right)}dy.}$

12

この表現から、式(12)の右辺と左辺が一致するためには条件(9)が満たされなければならないと結論付けられる。仮定2によれば、は負に定義された二次形式（すなわち、 ）であり、これは容易に計算できる積分の存在を意味する。 ${\displaystyle \Re \left(S''{}_{xx}(x^{0})\right)}$ ${\displaystyle \Re (\mu _{j})<0}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{j}={\frac {2}{{\sqrt {-\mu _{j}}}{\sqrt {\lambda }}}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}d\xi ={\sqrt {\frac {2\pi }{\lambda }}}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}.}$

式（８）は次のようにも書ける。

${\displaystyle I(\lambda )=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}e^{\lambda S(x^{0})}\left(\det(-S''{}_{xx}(x^{0}))\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(f(x^{0})+O\left(\lambda ^{-1}\right)\right),}$

13

の支店は

${\displaystyle {\sqrt {\det \left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)}}}$

次のように選択される

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\det \left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=\exp \left(-i{\text{ Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)\right)\prod _{j=1}^{n}\left|\mu _{j}\right|^{-{\frac {1}{2}}},\\{\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)&={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\arg(-\mu _{j}),&&|\arg(-\mu _{j})|<{\tfrac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

重要な特殊なケースを考えてみましょう:

• S ( x ) が実数xとx ^{0に対して}R ⁿで実数値である場合（多次元ラプラス法とも呼ばれる）、^[8] $${\displaystyle {\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)=0.}$$
• S ( x ) が実数x（すなわち、R ⁿ内のすべてのx）およびR ⁿ内のx ⁰（別名、多次元定常位相法）に対して純虚数である場合、 ^{[9] 、 [10]}となり、ここで は行列 のシグネチャを表し、これは負の固有値の数から正の固有値の数を引いた値に等しくなります。定常位相法を量子力学（および光学）における多次元 WKB 近似に適用する場合、Ind はマスロフ指数と関連していることは注目に値します（例えば、Chaichian & Demichev (2001) および Schulman (2005) を参照）。 ${\displaystyle \Re (S(x))=0}$ $${\displaystyle {\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)={\frac {\pi }{4}}{\text{sign }}S''{}_{xx}(x_{0}),}$$ ${\displaystyle {\text{sign }}S''{}_{xx}(x_{0})}$ ${\displaystyle S''{}_{xx}(x_{0})}$

複数の非退化鞍点がある場合

関数S ( x )が複数の孤立した非退化鞍点を持つ場合、すなわち、

${\displaystyle \nabla S\left(x^{(k)}\right)=0,\quad \det S''{}_{xx}\left(x^{(k)}\right)\neq 0,\quad x^{(k)}\in \Omega _{x}^{(k)},}$

どこ

${\displaystyle \left\{\Omega _{x}^{(k)}\right\}_{k=1}^{K}}$

がΩ _xの開被覆であるならば、積分漸近線の計算は、単位元分割を用いることで単一の鞍点の場合に簡約される。単位元分割により、連続関数の集合ρ _k ( x ) : Ω _x → [0, 1], 1 ≤ k ≤ Kを構築することができ、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{K}\rho _{k}(x)&=1,&&\forall x\in \Omega _{x},\\\rho _{k}(x)&=0&&\forall x\in \Omega _{x}\setminus \Omega _{x}^{(k)}.\end{aligned}}}$

どこから、

${\displaystyle \int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\equiv \sum _{k=1}^{K}\int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}\rho _{k}(x)f(x)e^{\lambda S(x)}dx.}$

したがってλ → ∞のとき、次の式が得られます。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{K}\int _{{\text{a neighborhood of }}x^{(k)}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{k=1}^{K}e^{\lambda S\left(x^{(k)}\right)}\left(\det \left(-S''{}_{xx}\left(x^{(k)}\right)\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}f\left(x^{(k)}\right),}$

ここで、式（１３）は最後の段階で利用されており、少なくとも指数関数f  ( x )は連続でなければならない。 

その他のケース

∇ S ( z ⁰ ) = 0かつのとき、点z ⁰ ∈ C ⁿは関数S ( z )の退化した鞍点と呼ばれます。 ${\displaystyle \det S''{}_{zz}(z^{0})=0}$

漸近線を計算する

${\displaystyle \int f(x)e^{\lambda S(x)}dx,}$

λ → ∞、   f  ( x )が連続、かつS ( z )が退化した鞍点を持つ場合、これは非常に複雑な問題であり、その解法はカタストロフィー理論に大きく依存している。ここで、カタストロフィー理論は、退化していない場合にのみ有効なモースの補題に代わるもので、関数S ( z ) を多数の標準的な表現の1つに変換する。詳細については、例えば、Poston & Stewart (1978) および Fedoryuk (1987) を参照のこと。

退化した鞍点を持つ積分は、光学コースティクスや量子力学における多次元WKB 近似など、多くのアプリケーションで自然に現れます。

例えば、f  ( x )や​​S ( x )が不連続であったり、 S ( x )の極値が積分領域の境界にある場合など、その他のケースでは特別な注意が必要です（例えば、Fedoryuk（1987）およびWong（1989）を参照）。 

拡張と一般化

最急降下法の拡張は、いわゆる非線形定常位相法／最急降下法である。ここでは、積分の代わりに、リーマン・ヒルベルト分解問題の解を漸近的に評価する必要がある。

複素球面上の路面C、その路面上で定義された関数f、そして特別な点（例えば無限大）が与えられたとき、路面Cから正則に離れ、 Cを横切るジャンプが規定され、無限大における正規化が与えられた関数Mを求める。fとMがスカラーではなく行列である場合、この問題は一般に明示的な解を許さない。

線形定常位相法／最急降下法に沿った漸近評価が可能になります。その考え方は、与えられたリーマン・ヒルベルト問題の解を、より単純で明示的に解けるリーマン・ヒルベルト問題の解に漸近的に帰着させることです。コーシーの定理は、ジャンプ曲線の変形を正当化するために用いられます。

非線形定常相は、ロシアの数学者アレクサンダー・イッツの初期の成果に基づき、1993年にデフトと周によって導入されました。（厳密に言えば）非線形最急降下法は、ラックス、レバーモア、デフト、ヴェナキデス、周の先行研究に基づき、2003年にカムヴィシス、K・マクラフリン、P・ミラーによって導入されました。線形の場合と同様に、最急降下曲線は最小最大問題を解きます。非線形の場合、最急降下曲線は「Sカーブ」（1980年代にシュタール、ゴンチャー、ラフマノフによって異なる文脈で定義されました）となります。

非線形定常位相/最急降下法は、ソリトン方程式や積分モデル、ランダム行列、組み合わせ論の理論に応用されています。

もう 1 つの拡張は、合体鞍点と均一漸近拡張のためのチェスター - フリードマン - アーセル法です。

参照

• ピアシー積分
• 定常位相近似
• ラプラス法

注記

1. ベンダー, カール・M.; オルザグ, スティーブン・A. (1999). 科学者とエンジニアのための高度な数学的手法 I. ニューヨーク: シュプリンガー・ニューヨーク. doi :10.1007/978-1-4757-3069-2. ISBN 978-1-4419-3187-0。
2. Fedoryuk（1987）56ページのLemma 2.1.1の修正版。
3. Fedoryuk (1987) 113ページの補題3.3.2
4. Poston & Stewart (1978)、54ページ。また、Wong (1989)の479ページのコメントも参照。
5. Fedoryuk（1987年）、417-420ページ。
6. I ₀ ( λ )の最終漸近線と、破棄された積分I ₁ ( λ )の単純な推定値との比較から導かれる。
7. R ⁿ上の積分漸近線（式（8）参照）と変更された部分の単純な推定値を比較することによって正当化されます。
8. Fedoryuk (1987)の125ページの式(4.4.9)を参照
9. 厳密に言えば、このケースは式(8)から推論することはできない。なぜなら、導出に用いられた第二の仮定が破られているからである。ここで議論されている純虚数位相関数の場合を含めるには、条件(9)を次のように置き換える必要がある。 ${\displaystyle \left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|\leqslant {\tfrac {\pi }{4}}.}$
10. Fedoryuk (1987)の186ページの式(2.2.6')を参照

参考文献

• Chaichian, M.; Demichev, A. (2001)、物理学における経路積分第1巻：確率過程と量子力学、Taylor & Francis、p. 174、ISBN 075030801X
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