ステップ関数

実区間の指標関数の線形結合

数学において、実数上の関数は、区間の指示関数の有限線型結合として表せる場合、ステップ関数と呼ばれます。非公式に言えば、ステップ関数とは、有限個の部分のみを持つ区分定数関数です。

ステップ関数の例（赤いグラフ）。この関数では、関数値α _i ( i = 0, 1, 2, ...) を持つ各定数部分関数は区間A _iで定義され、区間は点x _j ( j = 1, 2, ...)で区別されます。このステップ関数は右連続です。

定義と最初の結果

関数が次のように書ける場合、その関数はステップ関数と呼ばれる。^[要出典] ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}$、すべての実数に対して ${\displaystyle x}$

ここで、は実数、は区間、 はの指示関数です。 ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \chi _{A_{i}}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle \chi _{A_{i}}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A_{i}\\0&{\text{if }}x\notin A_{i}\\\end{cases}}}$

この定義では、間隔は次の 2 つの特性を持つと想定されます。 ${\displaystyle A_{i}}$

1. 区間は互いに素である。 ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$
2. 区間の和は実数直線全体です。 ${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

実際、もし最初からそうでない場合は、これらの仮定が成り立つ別の区間集合を選ぶこともできる。例えば、ステップ関数

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}$

次のように書くことができる

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.}$

定義のバリエーション

場合によっては、区間は右開きであることが要求されるか^[1]、または単集合であることが許される。^[2]区間の集合が有限でなければならないという条件は、特に学校の数学ではしばしば省略されるが^{[3] [4] [5]} 、それでも局所的には有限でなければならないため、区分定数関数の定義につながる。

例

ヘヴィサイドステップ関数は、よく使用されるステップ関数です。

• 定数関数はステップ関数の単純な例である。この場合、区間は1つしか存在しない。 ${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$
• 符号関数 sgn( x )は、負の数の場合は -1、正の数の場合は +1 となり、最も単純な非定数ステップ関数です。
• ヘヴィサイド関数 H ( x )は、負の数に対しては 0、正の数に対しては 1 となり、シフトと範囲のスケール ( ) を除けば、符号関数と等価である。これは、動的システムのステップ応答を決定するために使用されるような、いくつかのテスト信号の基礎となる数学的概念である。 ${\displaystyle H=(\operatorname {sgn} +1)/2}$

次に単純なステップ関数である長方形関数。

• 正規化されたボックスカー関数である長方形関数は、単位パルスをモデル化するために使用されます。

非例

• 整数部関数は、本稿の定義によれば、無限個の区間を持つため、ステップ関数ではない。しかしながら、一部の著者^[6]は、無限個の区間を持つステップ関数も定義している。^[6]

プロパティ

• 2つのステップ関数の和と積もまたステップ関数です。ステップ関数と数の積もまたステップ関数です。このように、ステップ関数は実数上の代数を形成します。
• ステップ関数は有限個の値しか取りません。ステップ関数の上記の定義における区間が互いに素であり、それらの和が実数直線である場合、すべての ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$ ${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle x\in A_{i}.}$
• ステップ関数の定積分は区分線形関数です。
• ステップ関数のルベーグ積分は、区間の長さ であり、ここではすべての区間が有限の長さを持つと仮定する。実際、この等式（定義として見ると）は、ルベーグ積分を構築する最初のステップとなり得る。^[7] ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$ ${\displaystyle \textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),}$ ${\displaystyle \ell (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{i}}$
• 離散確率変数は、累積分布関数が区分的に一定である確率変数として定義されることがある。^[8]この場合、局所的にはステップ関数となる（大域的には無限個のステップを持つ可能性がある）。しかし通常、離散確率変数とは、可算個しか取り得ない値しか持たない確率変数を指す。この場合、有限領域内に無限個の区間が累積する可能性があるため、累積分布関数は必ずしも局所的にはステップ関数とはならない。

参照

• クレネル関数
• 区分的に
• シグモイド関数
• シンプルな機能
• 歩数検出
• ヘビサイドステップ関数
• 区分定数評価

参考文献

1. 「ステップ関数」。
2. 「ステップ関数 - Mathonline」。
3. 「Mathwords: ステップ関数」。
4. “アーカイブコピー”. 2015年9月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。2024年12月16日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: アーカイブされたコピーをタイトルとして (リンク)
5. 「ステップ関数」。
6. Bachman, Narici, Beckenstein (2002年4月5日). 「例7.2.2」.フーリエ解析とウェーブレット解析. Springer, New York, 2000. ISBN 0-387-98899-8。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
7. ウィアー、アラン・J（1973年5月10日）「3」『ルベーグ積分と測度』ケンブリッジ大学出版局、1973年。ISBN 0-521-09751-7。
8. ベルツェカス、ディミトリ P. (2002)。確率の入門。チチクリス、ジョン N.、Τσιτσικλής、Γιάννης Ν。マサチューセッツ州ベルモント：Athena Scientific。ISBN 188652940X. OCLC  51441829。

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