確率的割引係数

Concept in financial economics

確率的割引係数（SDF）の概念は、金融経済学および数理ファイナンスにおいて用いられています。この名称は、将来のキャッシュフローを確率的係数で「割り引く」ことで資産価格を算出し、その期待値を求めることに由来しています。^{[1]この定義は}資産価格決定において根本的な重要性を持っています。 ${\displaystyle {\tilde {x}}_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {m}}}$

期間の初めに初期価格を持ち、期間の終わりにペイオフを持つn個の資産がある場合（すべてのxはランダム（確率）変数）、SDFは以下を満たす任意のランダム変数です。 ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1},\ldots ,{\tilde {x}}_{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {m}}}$

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {x}}_{i})=p_{i},{\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

確率的割引係数は、期待値が積分として表される場合、積分変換におけるカーネル関数として解釈できるため、価格設定カーネルと呼ばれることもあります。^[2] SDFは、「限界代替率」（リスク中立率によって割引されているものの、効用が分離可能かつ加算的である場合の、状態の効用比率）、「（割引された）尺度の変化」、「状態価格デフレーター」、または「状態価格密度」と呼ばれることもあります。^[2] ${\displaystyle E({\tilde {m}}\,{\tilde {x}}_{i})}$ ${\displaystyle {\tilde {m}}}$

動的な設定では、各時間ステップにおける情報セットの集合（フィルタリング）を表すと、SDFは同様に次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}}$

${\displaystyle E_{t}[{\tilde {m}}(t+s){\tilde {x}}({t+s})]=p(t),\quad s>0}$

ここで、は時刻における情報セットを条件とする期待値、は利得ベクトル過程、は価格ベクトル過程である。^[3] ${\displaystyle E_{t}[\;\cdot \;]=E[\;\cdot \;|{\mathcal {F}}_{t}]}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}=({\tilde {x}}_{1},\dots ,{\tilde {x}}_{n})'}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}=({\tilde {p}}_{1},\dots ,{\tilde {p}}_{n})'}$

プロパティ

SDFの存在は一物一価の法則と同値である。^[1]同様に、正のSDFの存在は裁定機会の不在と同値である（資産価格設定の基本定理を参照）。したがって、が正の場合、リターンを表すために を用いて定義を書き直すと、 ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}_{i}={\tilde {x}}_{i}/p_{i}}$

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {R}}_{i})=1,\quad \forall i,}$

そしてこれは

${\displaystyle E\left[{\tilde {m}}({\tilde {R}}_{i}-{\tilde {R}}_{j})\right]=0,\quad \forall i,j.}$

また、資産で構成されたポートフォリオがある場合、SDFは

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {x}})=p,\quad E({\tilde {m}}{\tilde {R}})=1.}$

共分散に関する単純な標準恒等式により、

${\displaystyle 1=\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}})+E({\tilde {m}})E({\tilde {R}}).}$

無リスク資産があると仮定します。すると が成り立ちます。これを最後の式に代入して整理すると、リターン を持つ任意の資産またはポートフォリオのリスクプレミアムに関する以下の式が得られます。 ${\displaystyle {\tilde {R}}=R_{f}}$ ${\displaystyle E({\tilde {m}})=1/R_{f}}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}}$

${\displaystyle E({\tilde {R}})-R_{f}=-R_{f}\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}}).}$

これは、リスクプレミアムが任意のSDFとの共分散によって決定されることを示しています。^[1]

例

消費ベースモデル

加法的選好に基づく標準的な消費モデルでは、確率的割引係数は次のように与えられる。

${\displaystyle M_{t+s}={\frac {\beta u'(c_{t+s})}{u'(c_{t})}}}$

ここで、 はエージェントの消費経路を表し、はエージェントの主観的な割引係数です。 ${\displaystyle (c_{t})_{t=0}^{T}}$ ${\displaystyle \beta }$

ブラック・ショールズ・モデル

ブラック・ショールズモデルでは、確率的割引係数は次のように定義される確率過程である。 ${\displaystyle \xi =(\xi _{t})_{t\geq 0}}$

${\displaystyle \xi _{t}=e^{-rt}Z_{t}=e^{-rt}e^{-\lambda W_{t}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}t}}$

ここで、は標準ブラウン運動、はリスクの与えられた市場価格、 は物理的尺度に関するリスク中立尺度のラドン・ニコディム過程です。 ${\displaystyle W=(W_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \lambda =\textstyle {\frac {\mu -r}{\sigma }}}$ ${\displaystyle Z=(Z_{t})_{t\geq 0}}$

参照

ハンセン・ジャガンナサン境界

参考文献

1. ケリー・E・バック（2010年）「資産価格設定とポートフォリオ選択理論」オックスフォード大学出版局。
2. Cochrane, John H. (2001). Asset Pricing . Princeton University Press. p. 9.
3. ダフィー、ダレル。動的資産価格理論。

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