ひずみエネルギー密度関数

ひずみエネルギー密度関数または蓄積エネルギー密度関数は、材料のひずみエネルギー密度と変形勾配を関連付けるスカラー値関数です。

W={\hat {W}}({\boldsymbol {C}})={\hat {W}}({\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})={\bar {W}}({\boldsymbol {F}})={\bar {W}}({\boldsymbol {B}}^{1/2}\cdot {\boldsymbol {R}})={\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})

同様に、

W={\hat {W}}({\boldsymbol {C}})={\hat {W}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}})={\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})

ここで、は（2点）変形勾配テンソル、は右コーシー・グリーン変形テンソル、は左コーシー・グリーン変形テンソル、^[1]^[2] 、はの極分解から得られる回転テンソルです。 ${\boldsymbol {F}}$ ${\boldsymbol {C}}$ ${\boldsymbol {B}}$ ${\boldsymbol {R}}$ ${\boldsymbol {F}}$

異方性材料の場合、ひずみエネルギー密度関数は、材料内部の組織を特徴付ける参照ベクトルまたはテンソル（複合材料における繊維の初期配向など）に暗黙的に依存します。空間表現は、参照テクスチャベクトルまたはテンソルを空間構成に収束させるのに十分な情報を提供するために、さらに極回転テンソルに明示的に依存する必要があります。 ${\hat {W}}({\boldsymbol {C}})$ ${\tilde {W}}({\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {R}})$ ${\boldsymbol {R}}$

等方性材料の場合、材料座標系無差別原理を考慮すると、ひずみエネルギー密度関数はの不変量（あるいは、両者が同じ固有値を持つための不変量）のみに依存するという結論が導かれる。言い換えれば、ひずみエネルギー密度関数は、主伸縮、または左コーシー・グリーン変形テンソルもしくは右コーシー・グリーン変形テンソルの不変量を用いて一意に表すことができ、以下の式が得られる。 ${\boldsymbol {C}}$ ${\boldsymbol {B}}$

等方性材料の場合、

W={\hat {W}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})={\tilde {W}}(I_{1},I_{2},I_{3})={\bar {W}}({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J)=U(I_{1}^{c},I_{2}^{c},I_{3}^{c})

と

{\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&=J^{-2/3}~I_{1}~;~~I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}~;~~J=\det({\boldsymbol {F}})\\{\bar {I}}_{2}&=J^{-4/3}~I_{2}~;~~I_{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\end{aligned}}

小さなひずみを受ける線形等方性材料の場合、ひずみエネルギー密度関数は、

W={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sigma _{ij}\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}\epsilon _{x}+\sigma _{y}\epsilon _{y}+\sigma _{z}\epsilon _{z}+2\sigma _{xy}\epsilon _{xy}+2\sigma _{yz}\epsilon _{yz}+2\sigma _{xz}\epsilon _{xz})

^[3]

ひずみエネルギー密度関数は、超弾性材料を定義するために用いられます。この関数は、材料の応力はひずみをについて微分することで得られると仮定しています。等方性超弾性材料の場合、この関数は弾性材料に蓄えられたエネルギー、すなわち応力とひずみの関係を、3つのひずみ（伸び）成分のみに関連付け、変形履歴、熱放散、応力緩和などを無視します。 $W$

等温弾性過程の場合、ひずみエネルギー密度関数は特定のヘルムホルツ自由エネルギー関数と関連している。^[4] $\psi$

W=\rho _{0}\psi \;.

等エントロピー弾性過程の場合、ひずみエネルギー密度関数は内部エネルギー関数と関連し、 $u$

W=\rho _{0}u\;.

例

超弾性構成方程式の例としては次のようなものがある：^[5]

参照

有限ひずみ理論
熱弾性におけるヘルムホルツとギブスの自由エネルギー
超弾性材料
オグデン・ロックスバラモデル

参考文献

^ バウアー、アラン（2009年）『固体の応用力学』CRCプレス、ISBN 978-1-4398-0247-2. 2010年1月23日閲覧。
^ Ogden, RW (1998).非線形弾性変形. ドーバー. ISBN 978-0-486-69648-5。
^ Sadd, Martin H. (2009).弾性理論、応用、数値解析. エルゼビア. ISBN 978-0-12-374446-3。
^ Wriggers, P. (2008).非線形有限要素法. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-71000-4。
^ Muhr, AH (2005). ゴムの応力-ひずみ挙動のモデリング. ゴムの化学と技術, 78(3), 391-425. [1]

[Bower-1] バウアー、アラン（2009年）『固体の応用力学』CRCプレス、ISBN 978-1-4398-0247-2. 2010年1月23日閲覧。

[Ogden-2] Ogden, RW (1998).非線形弾性変形. ドーバー. ISBN 978-0-486-69648-5。

[Sadd-3] Sadd, Martin H. (2009).弾性理論、応用、数値解析. エルゼビア. ISBN 978-0-12-374446-3。

[Wriggers-4] Wriggers, P. (2008).非線形有限要素法. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-71000-4。

[5] Muhr, AH (2005). ゴムの応力-ひずみ挙動のモデリング. ゴムの化学と技術, 78(3), 391-425. [1]