トム・マザー成層空間

Way of decomposing a topological space

数学の一分野である位相幾何学において、抽象成層空間（だいぶんせいそうきょう、英: abstract stratified space ）あるいはトム・マザー成層空間（トム・マザーせいそうきょうかん）は、位相空間Xがstrataと呼ばれる部分に分解されたものである。これらの strata は多様体であり、特定の方法で互いに適合することが求められる。トム・マザー成層空間は、ホイットニーのより微分幾何学的な理論に類似した、特異点の研究のための純粋に位相的な設定を提供する。これらはルネ・トムによって導入され、彼はすべてのホイットニー成層空間は同じ strata を持つ位相的に成層された空間でもあることを示した。1970年、トムの証明に触発されて、ジョン・マザーが別の証明を与えた。

トム・マザーの成層空間の基本的な例としては、境界を持つ多様体（トップ次元と余次元 1 境界）とコーナーを持つ多様体（トップ次元、余次元 1 境界、余次元 2 コーナー）、実数または複素解析多様体、滑らかな変換群の軌道空間などがあります。

意味

トム・マザー層状空間は、位相空間（局所コンパクト、ハウスドルフ、第二可算であることがしばしば要求される）、層への分解である3つ組である。 ${\displaystyle (V,{\mathcal {S}},{\mathfrak {J}})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\bigsqcup _{X\in {\mathcal {S}}}X,}$

は制御データの集合であり、は地層の開近傍（管状近傍と呼ばれる）、は連続的な後退、は連続関数である。これらのデータは、以下の条件を満たす必要がある。 ${\displaystyle {\mathfrak {J}}}$ ${\displaystyle \{(T_{X}),(\pi _{X}),(\rho _{X})\ |X\in S\}}$ ${\displaystyle T_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{X}:T_{X}\to X}$ ${\displaystyle \rho _{X}:T_{X}\to [0,+\infty )}$

1. 各層は局所的に閉じたサブセットであり、分解は局所的に有限です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$
2. この分解は境界公理を満たす： かつならば。この条件は、層間に半順序が存在することを意味する：かつ のときかつその場合に限る。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle Y\cap {\overline {X}}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle Y\subseteq {\overline {X}}}$ ${\displaystyle Y<X}$ ${\displaystyle Y\subset {\overline {X}}}$ ${\displaystyle Y\neq X}$
3. 各層は滑らかな多様体です。 ${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle X=\{v\in T_{X}\ |\ \rho _{X}(v)=0\}}$. したがって、地層からの距離関数として見ることができます。 ${\displaystyle \rho _{X}}$ ${\displaystyle X}$
5. 各層のペアに対して、水没が制約となります。 ${\displaystyle Y<X}$ ${\displaystyle (\pi _{Y},\rho _{Y}):T_{Y}\cap X\to Y\times (0,+\infty )}$
6. 各層のペアに対して、およびが成り立ちます（どちらも方程式の両辺の共通領域上）。 ${\displaystyle Y<X}$ ${\displaystyle \pi _{Y}\circ \pi _{X}=\pi _{Y}}$ ${\displaystyle \rho _{Y}\circ \pi _{X}=\rho _{Y}}$

例

成層空間の元々の動機の一つは、特異空間を滑らかな塊に分解することだった。例えば、特異多様体 が与えられたとき、自然に定義される部分多様体 が存在し、これが特異点軌跡となる。これは滑らかな多様体ではないかもしれないので、反復された特異点軌跡をとることで、最終的には自然な成層が得られる。^[要出典]代数幾何学における単純な例として、特異超曲面が挙げられる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Sing} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Sing} (\mathrm {Sing} (X))}$

      ${\displaystyle {\text{Spec}}\left(\mathbb {C} [x,y,z]/\left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right)\right)\xleftarrow {(0,0,0)} {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

プライムスペクトルはどこですか？ ${\displaystyle {\text{Spec}}(-)}$

参照

• 特異点理論
• ホイットニー条件
• 層状
• 交差ホモロジー
• トムの第一同位体補題
• 層状空間

参考文献

• ゴレスキー、マーク；マクファーソン、ロバート 『層別モース理論』、シュプリンガー・フェアラーク、ベルリン、1988年。
• ゴレスキー、マーク；マクファーソン、ロバート 「交差ホモロジーII」、Invent. Math. 72 (1983), no. 1, 77—129.
• マザー、J. 位相安定性に関するノート、ハーバード大学、1970年。
• Thom、R. Ensembles et morphismes stratifiés、Bulletin of the American Mathematical Society 75 (1969)、pp.240–284。
• ワインバーガー、シュムエル(1994). 成層空間の位相的分類. シカゴ数学講義. シカゴ大学出版局. ISBN 9780226885667。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Thom–Mather_stratified_space&oldid=1318477089"