強力なデュアルスペース

Continuous dual space endowed with the topology of uniform convergence on bounded sets

関数解析および関連数学分野において、位相ベクトル空間（TVS）の強双対空間は、強（双対）位相、またはの有界部分集合上の一様収束の位相を備えたの連続双対空間であり、この位相はまたはで表記される。最も粗い極位相は弱位相と呼ばれる。強双対空間は現代の関数解析において非常に重要な役割を果たしているため、特に断りのない限り、連続双対空間は通常、強双対位相を持つものと仮定される。連続双対空間が強双対位相を持つことを強調するために、 、、 と書くこともできる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

強力な双対トポロジー

全体を通じて、すべてのベクトル空間は実数体または複素数体のいずれかの体上にあると仮定する。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

二重システムからの定義

を実数体または複素数体上のベクトル空間の双対とする。任意のおよび任意の に対して定義する。 ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |.}$$

にも にも位相がないので、すべて に対しての部分集合が の部分集合によって有界であるといえます 。したがって、 の部分集合が有界であるとは、 の場合 に限ります。これは、 が誘導する弱い位相 (ハウスドルフの局所的凸位相) が与えられたときの 、通常の有界部分集合の概念に相当します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle |y|_{B}<\infty }$ ${\displaystyle y\in C.}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ $${\displaystyle \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

を の元で囲まれるすべての部分集合の族とします。つまり、 は任意の に対して となるすべての部分集合の集合です。すると、上の強位相はとも表記され、あるいは単に とも表記され、あるいは のペアリングが理解されていれば、の半ノルムによって生成される 上の局所凸位相として定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}$$ ${\displaystyle \beta (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b(Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \beta (Y,X)}$ ${\displaystyle b(Y,X)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}$$

強双対位相の定義は、TVSの場合と同様に進められる。 が、上の点をで区切る連続双対空間を持つTVSである場合、 は標準双対系の一部となる。 が局所凸空間である特別な場合、（連続）双対空間（つまり、 のすべての連続線型汎関数の空間）上の強位相は強位相として定義され、 の有界集合上の一様収束の位相、すなわちのすべての有界集合の族にわたって が走る の形式の半ノルムによって生成される上の位相と一致する。この位相を持つ空間は の強双対空間と呼ばれ、 で表される 。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right),}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ $${\displaystyle |f|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad {\text{ where }}f\in X^{\prime },}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }.}$

TVS上の定義

が体上の位相ベクトル空間（TVS）であるとする。が の有界集合の基本系である とする。つまり、 は の有界部分集合の族であり、のすべての有界部分集合が何らかの の部分集合であるようなものである。 のすべての有界部分集合の集合は、の有界集合の基本系を形成する。 における原点の閉近傍の基底は、 の極座標によって与えられる。は上に存在する。 これは、上の半ノルムの集合によって与えられる局所凸位相である。は上に存在する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

がノルム可能であれば、 もバナッハ空間となり、実際にバナッハ空間となる。 がノルムを持つノルム空間であれば、 はで与えられる標準ノルム（作用素ノルム）を持つ。このノルムが に誘導する位相は、強双対位相と同一である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

バイデュアル

TVSの双対または第2双対は、しばしば の強双対の強双対である。ここで は、強双対位相が備わっていることを表す。 特に断りのない限り、ベクトル空間は通常、 によって誘導される強双対位相が備わっていると仮定され、その場合、の強双対と呼ばれる。つまり、 で、ベクトル空間は強双対位相が備わっている。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime \prime },X_{b}^{\prime }\right).}$

プロパティ

を局所凸TVSとします。 ${\displaystyle X}$

• の凸バランス弱コンパクト部分集合は^[1]で有界となる。 ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$
• のすべての弱有界部分集合は強有界である。^[2] ${\displaystyle X^{\prime }}$
• が樽型空間である場合、の位相は強双対位相およびMackey位相と同一である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X.}$
• が計量化可能な局所凸空間である場合、 の強双対がボルノロジー空間となることと、それがインフラバレル空間となることと、それがバレル空間となることとが同値である。^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• がハウスドルフ局所凸TVSである場合、が計量化可能であることと、の有界部分集合の可算な集合が存在し、そのすべての有界部分集合が^[4]の何らかの元に含まれることと同値である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
• が局所凸ならば、この位相は、集合が の部分集合である のみを考慮すると、上の他のすべての-位相よりも細かい。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$
• がボルノロジー空間（例えば計量化可能空間やLF-空間）である場合、 は完全です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b(X^{\prime },X)}^{\prime }}$

が樽型空間である場合、その位相は上の強位相と一致し、対合によって生成される 上のマッキー位相とも一致する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$

例

がノルムベクトル空間である場合、その（連続）双対空間の強位相はバナッハ双対空間と一致する。つまり、演算子ノルムによって誘導される位相を持つ空間と一致する。逆に、上の -位相は上のノルムによって誘導される位相と同一である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

参照

• デュアルトポロジ
• 双対システム – ベクトル空間の双対
• 位相の一覧 – 具体的な位相と位相空間の一覧
• 極位相 – 有界部分集合のある部分集合上の一様収束の双対空間位相
• 反射空間 – 局所凸位相ベクトル空間
• 半反射的空間
• 強いトポロジー
• 線型写像空間上の位相

参考文献

1. シェーファー＆ウォルフ 1999年、141ページ。
2. シェーファー＆ウォルフ 1999、142ページ。
3. シェーファー＆ウォルフ 1999、153ページ。
4. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、225–273頁。

参考文献

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。
• ウォン（1979）『シュワルツ空間、核空間、テンソル積』ベルリン・ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-09513-6OCLC  5126158 。

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