アイソスピン

原子核物理学および素粒子物理学において、アイソスピン（ $I$ ）は粒子のアップクォークとダウンクォークの含有量に関連する量子数です。アイソスピンは、アイソバリックスピンまたはアイソトピックスピンとも呼ばれます。アイソスピン対称性は、重粒子と中間子の相互作用においてより広く見られるフレーバー対称性のサブセットです

この概念の名称に「スピン」という用語が含まれているのは、その量子力学的記述が数学的に角運動量の記述と類似しているためである（特に、結合の仕方において。例えば、陽子と中性子の対は、全アイソスピンが1の状態でも0の状態でも結合することができる^{[ 1 ]}）。しかし、角運動量とは異なり、スピンは無次元量であり、実際にはいかなる種類のスピンでもない。

クォークの概念が導入される以前は、強い力の影響を等しく受けるものの電荷が異なる粒子（例えば陽子と中性子）は、同じ粒子の異なる状態であると考えられていましたが、アイソスピン値は電荷状態の数と関連していました。^{[ 2 ]}アイソスピン対称性の詳細な研究は、最終的にクォークの発見と理解、そしてヤン＝ミルズ理論の発展に直接つながりました。アイソスピン対称性は、素粒子物理学において依然として重要な概念です。

アイソスピン不変性

かなり近似的に、陽子と中性子は同じ質量を持ちます。これらは同じ粒子の2つの状態として解釈できます。^{[ 2 ]}^：141これらの状態は、内部アイソスピン座標に対して異なる値を持ちます。この座標の数学的性質は、固有スピン角運動量と完全に類似しています。この座標に対する演算子の成分は、固有値 + ⁠を持ちます ${\hat {T}}_{3}$ 1/2 ⁠そして − ⁠1/2 ⁠ ; これは電荷演算子 : と関連しており、電荷演算子は陽子に対して固有値を持ち、中性子に対してはゼロを持ちます。 ^[²^]^{: 144} n 個の核子系の場合、電荷演算子は質量数 A に依存します。同重体、つまり⁴⁰ K と⁴⁰ Arのように同じ質量数を持つ核は、固有値の値のみが異なります。このため、アイソスピンは「同重体スピン」とも呼ばれます。 ${\hat {Q}}$ ${\hat {Q}}=e\left({\hat {T}}_{3}+{\frac {1}{2}}\right)$ $e$ ${\hat {Q}}=e\left({\hat {T}}_{3}+{\frac {1}{2}}A\right)$ ${\hat {T}}_{3}$

これらの核子の内部構造は強い相互作用によって支配されますが、強い相互作用のハミルトニアンはアイソスピン不変です。その結果、核力は電荷に依存しません。重水素の安定性などの特性は、アイソスピン解析に基づいて予測できます。^{[ 2 ]}^{: 149}しかし、この不変性は正確ではなく、クォーク模型の方がより正確な結果をもたらします。

ハイパーチャージとの関係

チャージ演算子は、アイソスピンとハイパーチャージの射影で表すことができます。これはゲルマン・西島の公式として知られています。ハイパーチャージは、アイソスピン多重項の分裂中心です。^[²^]^：187この関係は、 Tが弱いアイソスピンである弱い相互作用にも類似しています $T_{3}$ $Y$ $Q={\frac {1}{2}}Y+T_{3},\ \ \ \ T_{3}=T,T-1,...,-T.$ ${\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}(Q_{\text{min}}+Q_{\text{max}}).$

クォーク含有量とアイソスピン

現代の定式化では、アイソスピン（ $I ）は、アップクォークとダウンクォークが$ $I$ = ⁠の値を持つベクトル量として定義されます。1/2 ⁠、第3成分（ $I$ ₃）は + ⁠1/2 アップクォークの場合、そして − ⁠1/2 ⁠ダウンクォークの場合、他のクォークは $I$ = 0である。したがって、一般的なハドロンの場合、^{[ 3 ]}ここで $n$ _uと $n$ _dはそれぞれアップクォークとダウンクォークの数であり、

I_{3}={\frac {1}{2}}(n_{u}-n_{d}).

クォークのいかなる組み合わせにおいても、アイソスピンベクトルの第3成分（ $I$ ₃）は、クォークのペアの間に一列に並ぶか、反対方向を向いている可能性があり、クォークフレーバーのいかなる組み合わせにおいても、アイソスピン総量は異なる値をとる可能性がある。クォーク含有量は同じだがアイソスピン総量が異なるハドロンは実験的に区別することができ、フレーバーは実際にはスカラー量ではなくベクトル量であることが検証されている（上下は、単にフレーバー空間の量子力学的 $Z$ 軸への投影である）。

例えば、ストレンジクォークはアップクォークとダウンクォークと結合して重粒子を形成しますが、アイソスピン値の結合には2通りの方法があります。1つは加算（フレーバーが揃っているため）で、もう1つは打ち消し合う（フレーバーの方向が逆のため）です。アイソスピン1状態（Σ⁰）とアイソスピン0状態（Λ⁰）は、実験的に検出された質量と半減期が異なります

アイソスピンと対称性

アイソスピンは、リー群 SU(2)の作用下での強い相互作用の対称性と見なされ、2つの状態はアップフレーバーとダウンフレーバーです。量子力学では、ハミルトニアンが対称性を持つ場合、その対称性は同じエネルギーを持つ状態の集合を通して現れます（これらの状態は縮退していると呼ばれます）。簡単に言えば、強い相互作用のエネルギー演算子は、アップクォークとそれ以外は同一のダウンクォークを入れ替えた場合に同じ結果を与えます

通常のスピンの場合と同様に、アイソスピン演算子Iはベクトル値を持ちます。つまり、 3次元表現が作用する同じ3次元ベクトル空間内の座標である3つの成分I _x、I _y、I _zを持ちます。このベクトル空間は、同様の数学的形式を除いて、物理空間とは何の関係もありません。アイソスピンは2つの量子数で記述されます。I $は$ 全アイソスピン、 $I$ ₃はフレーバー状態が固有状態であるI _z射影の固有値です。言い換えれば、各 $I$ _3状態は多重項の特定のフレーバー状態を指定します。添え字「3」が示す3番目の座標 ( $z ) は、$ 2次元表現空間と3次元表現空間の基底を関連付ける表記法の慣例に基づいて選択されています。つまり、スピン⁠1/2 ⁠の場合、Iの成分はパウリ行列を2で割ったものに等しいので、I _z = ⁠1/2 ⁠ $τ$ ₃、ここで

\tau _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

これらの行列の形式はスピン行列の形式と同型ですが、これらのパウリ行列はスピンのヒルベルト空間内ではなくアイソスピンのヒルベルト空間内でのみ作用するため、混乱を避けるためにσではなくτで表記するのが一般的です。

アイソスピン対称性は実際にはわずかに破れているが、SU(3)対称性は、アップクォークやダウンクォークに比べてストレンジクォークの質量がはるかに大きいため、より大きく破れている。チャーム、ボトムネス、トップネスの発見は、6つのクォークがすべて同一であれば成り立つ SU(6)フレーバー対称性までのさらなる展開につながる可能性がある。しかし、チャーム、ボトム、トップクォークの質量が非常に大きいことは、SU(6)フレーバー対称性が本質的に（少なくとも低エネルギーでは）大きく破れていることを意味し、この対称性を仮定すると、定性的および定量的に誤った予測につながる。格子QCDなどの現代のアプリケーションでは、アイソスピン対称性は3つの軽いクォーク（uds）に対しては正確なものとして扱われることが多いが、3つの重いクォーク（cbt）は別々に扱う必要がある。

ハドロンの命名法

ハドロンの命名法はアイソスピンに基づいています。^{[ 4 ]}

全アイソスピン粒子⁠3/2 ⁠はデルタ重粒子と呼ばれ、任意の 3 つのアップクォークまたはダウンクォーク (ただし、アップクォークまたはダウンクォークのみ) の組み合わせで作成できます。
全アイソスピン 1 の粒子は、2 つのアップクォーク、2 つのダウンクォーク、またはそれぞれ 1 つずつから作成できます。
- 特定の中間子 – さらに全スピンによってパイオン（全スピン0）とロー中間子（全スピン1）に分類される
- より高いフレーバーのクォーク（シグマ重粒子）を追加した
全アイソスピン粒子⁠1/2 ⁠ は次の材料から作ることができます:
- 単一のアップクォークまたはダウンクォークと、より高いフレーバーのクォーク（ストレンジクォーク（K中間子）、チャームクォーク（D中間子）、またはボトムクォーク（B中間子））の組み合わせ
- 1つのアップクォークまたはダウンクォークと、さらに2つの高フレーバークォーク（ Xi重粒子）の組み合わせ
- アップクォーク、ダウンクォーク、そしてアップクォークまたはダウンクォークと核子。パウリの排他原理により、反対称波動関数の要件により、3つの同一のクォークは存在できないことに注意する。
全アイソスピン0の粒子は、
- 中性クォーク・反クォーク対：または^[^注1^] - エータ中間子 $\mathrm {u{\bar {u}}}$ $\mathrm {d{\bar {d}}}$
- アップクォーク1個とダウンクォーク1個、さらに高フレーバーのクォーク（ラムダ重粒子） 1個
- アップクォークやダウンクォークを含まないもの

^フレーバー波動関数は、アイソスピン0の組み合わせに対して、 $c_{1}(\mathrm {u{\bar {u}}+d{\bar {d}}} )+c_{2}(\mathrm {s{\bar {s}}} )$ ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathrm {u{\bar {u}}-d{\bar {d}}} )$ $I=1$

歴史

アイソスピンの起源

1932年、ヴェルナー・ハイゼンベルク^{[ 5 ]}は、陽子と当時新たに発見された中性子（記号n）の結合モデルを発表しました。彼のモデルは、水素イオン分子H2+の結合モデルに似ており、₁^つの電子が2つの陽子によって共有されていました。ハイゼンベルクの理論にはいくつかの問題があり、最も顕著なのは、アルファ粒子He2 ⁺の非常に強い結合エネルギーを誤って予測したことです。しかし、陽子と中性子を同等に扱うという理論は、いくつかの実験研究でこれらの粒子がほぼ等しく結合しなければならないことが示されたことで、重要性を増しました。[ ⁶^]^：³⁹これに対し、ユージン・ウィグナーは1937年の論文でハイゼンベルクの概念を用い、「同位体スピン」という用語を導入し、その概念の挙動がスピンとどのように似ているかを示しました。^[⁷^]

粒子動物園

これらの考察は、1947年のパイ中間子の発見後の中間子-核子相互作用の解析にも役立つことが証明された。3つのパイ中間子（π⁺, π⁰, π⁻ $）は、 I = 1$ 、 $I 3 = +1、0、または-1$ のアイソスピン三重項に割り当てることができます。アイソスピンが原子核相互作用によって保存されると仮定することで、新しい中間子は原子核理論により容易に適応されました

新たな粒子が発見されるにつれて、それらは観測される異なる電荷状態の数に応じてアイソスピン多重項に割り当てられました。2つの二重項 $I = ⁠ 1 / 2$ K中間子（ K⁻、K⁰）、（K⁺、K⁰）、シグマ重粒子の三重項 $I = 1$ （Σ⁺、Σ⁰、Σ⁻）、シングレット $I = 0$ ラムダ重粒子（Λ⁰）、四重奏曲 $I = ⁠ 3 / 2 ⁠$ デルタ重粒子（ Δ⁺⁺、Δ⁺、Δ⁰、Δ⁻）、等々。

アイソスピン対称性と関連手法の威力は、類似した質量を持つ粒子の族が、リー代数SU(2)の既約表現に関連付けられた不変部分空間に対応する傾向があるという観察から生まれます。この文脈において、不変部分空間は、族内の粒子に対応する基底ベクトルによって張られます。アイソスピン空間において回転を生成するリー代数SU(2)の作用下では、明確な粒子状態または状態の重ね合わせに対応する要素は互いに回転できますが、空間から出ることはできません（部分空間は実際には不変であるため）。これは、存在する対称性を反映しています。ユニタリー行列がハミルトニアンと交換するという事実は、計算される物理量がユニタリー変換下でも変化しないことを意味します。アイソスピンの場合、この仕組みは、陽子と中性子を入れ替えても（現代の定式化ではアップクォークとダウンクォーク）、強い力の数学的な動作が同じように行われるという事実を反映するために使用されます。

例: デルタバリオン

例えば、デルタ重粒子と呼ばれる粒子（スピンの重粒子）は、3/2 ⁠ – これらはすべてほぼ同じ質量（約1232 MeV/ c ²）であり、ほぼ同じように相互作用します。

これらは同じ粒子として扱うことができ、電荷の違いは粒子が異なる状態にあることによる。アイソスピンは、この状態の違いを定義する変数として導入された。スピンと同様に、アイソスピン投影（ $I 3$ と表記）は各荷電状態に関連付けられている。デルタが4つあるため、4つの投影が必要であった。スピンと同様に、アイソスピン投影は1ずつ増加するように設計された。したがって、1ずつ4つの増分を持つためには、アイソスピン値は⁠3/2 ⁠が必要です（投影 $I 3 = + ⁠を与えます） 3 / 2 ⁠ 、 + ⁠ 1 / 2 ⁠ 、 - ⁠ 1 / 2 ⁠ 、 - ⁠ 3 / 2 ⁠$ ）。したがって、すべてのデルタはアイソスピン $I = ⁠を持つと言われました 3 / 2 ⁠$ 、そして各電荷は異なる $I 3$ を持っていました（例えばΔ⁺⁺ $I$ $3$ $= +$ $⁠$ と関連付けられていました $3 / 2 ⁠$ ).

アイソスピン描像では、4つのデルタ粒子と2つの核子は、単に2つの粒子の異なる状態であると考えられていました。現在では、デルタ重粒子は3つのアップクォークとダウンクォークの混合物、つまりuuu ( Δ)で構成されていると理解されています⁺⁺）、uud（Δ⁺）、udd（Δ⁰）、およびddd（Δ⁻）電荷の差は、アップクォークとダウンクォークの電荷の差です（+ ⁠2 /3⁠ eと − ⁠1/3⁠それぞれeです) が、核子の励起状態と考えることもできます。

ゲージド・アイソスピン対称性

アイソスピンを大域的対称性から局所的対称性へと昇格させる試みがなされてきました。1954年、陳寧楊とロバート・ミルズは、アイソスピンによって互いに連続的に回転する陽子と中性子の概念を、点ごとに変化させることを許容すべきであると提案しました。これを記述するには、アイソスピン空間における陽子と中性子の方向を各点で定義し、アイソスピンの局所的基底を与える必要があります。ゲージ接続は、2点間の経路に沿ってアイソスピンをどのように変換するかを記述します

このヤン＝ミルズ理論は、電磁気学における光子のような、相互作用するベクトルボソンを記述する。光子とは異なり、SU(2)ゲージ理論は自己相互作用するゲージボソンを含む。ゲージ不変性の条件は、電磁気学と同様に、ゲージボソンの質量がゼロであることを示唆している。

ヤンとミルズが行ったように質量ゼロの問題を無視すれば、理論は確固たる予測を立てる。ベクトル粒子は、与えられたアイソスピンを持つすべての粒子と普遍的に結合しなければならない。核子との結合はK中間子との結合と同じである。パイ中間子との結合は、ベクトルボソン同士の自己結合と同じである。

ヤンとミルズが理論を提唱した当時、ベクトルボソンの候補は存在しなかった。1960年、JJ サクライはアイソスピンと結合した質量を持つベクトルボソンが存在するはずであり、それが普遍的な結合を示すだろうと予測した。ロー中間子はその後まもなく発見され、すぐにサクライのベクトルボソンであると特定された。ローと核子、そしてローとベクトルボソン同士の結合は、実験で測定できる限りにおいて普遍的であることが検証された。対角アイソスピン流に電磁流の一部が含まれているという事実は、ローと光子の混合の予測とベクトル中間子の優位性の概念につながり、これらのアイデアは GeV 規模の光子-原子核散乱の理論的描像を成功に導いた。

クォークの導入

スピン- 3 ⁄ 2の重粒子を形成する 3 つの u、d、または s クォークの組み合わせは、*重粒子 10*個組を形成します。

スピン1 ⁄ 2の重粒子を形成する3つのu、d、sクォークの組み合わせは*重粒子オクテット*を形成する。

メソンと重粒子の両方を含むさらなる粒子の発見とそれに続く分析により、アイソスピン対称性の概念をさらに大きな対称群に拡張できることが明らかになり、現在ではフレーバー対称性と呼ばれています。K中間子とそのストレンジネス特性に対する理解が深まると、これらもアイソスピンをサブグループとして含む拡大された対称性の一部であると思われることが明らかになり始めました。この大きな対称性は、マレー・ゲルマンによって八重対称性と名付けられ、 SU(3)の随伴表現に対応することがすぐに認識されました。この対称性の起源をより深く理解するために、ゲルマンは、SU(3)フレーバー対称性の基本表現に属するアップクォーク、ダウンクォーク、ストレンジクォークの存在を提唱しました。

クォーク模型では、アイソスピン射影（I ₃）は粒子のアップクォークとダウンクォークの含有量から導かれ、陽子の場合はuud、中性子の場合はuddとなる。技術的には、核子の二重項状態は、3粒子のアイソスピン二重項状態とスピン二重項状態の積の線形結合として見られる。つまり、（スピンアップ）陽子の波動関数は、クォークフレーバー固有状態を用いて、 ^[²^]で記述される。

$\vert \mathrm {p} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {duu} \rangle &\vert \mathrm {udu} \rangle &\vert \mathrm {uud} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right)$

そして（スピンアップ）中性子は

$\vert \mathrm {n} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {udd} \rangle &\vert \mathrm {dud} \rangle &\vert \mathrm {ddu} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right).$

ここで、はアップクォークのフレーバー固有状態、はダウンクォークのフレーバー固有状態、およびはの固有状態です。これらの重ね合わせは、クォークのフレーバーとスピンの固有状態を用いて陽子と中性子を表す技術的には正しい方法ですが、簡潔にするために、単に「uud」と「udd」と呼ばれることがよくあります。上記の導出は、正確なアイソスピン対称性を仮定し、SU(2)の破れの項によって修正されています。 $\mathrm {\vert u\rangle }$ $\mathrm {\vert d\rangle }$ $\left\vert \uparrow \right\rangle$ $\left\vert \downarrow \right\rangle$ $S_{z}$

同様に、パイ中間子のアイソスピン対称性は次のように与えられます。

${\begin{aligned}\vert \pi ^{+}\rangle &=\vert \mathrm {u{\overline {d}}} \rangle \\\vert \pi ^{0}\rangle &={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\vert \mathrm {u{\overline {u}}} \rangle -\vert \mathrm {d{\overline {d}}} \rangle \right)\\\vert \pi ^{-}\rangle &=-\vert \mathrm {d{\overline {u}}} \rangle .\end{aligned}}$

クォークの発見により、中間子はクォークと反クォークのベクトル束縛状態として再解釈されるようになったが、中間子を隠れた局所対称性のゲージボソンとして考えることは依然として有用な場合がある。^{[ 8 ]}

弱いアイソスピン

1961年、シェルドン・グラショーは、ゲルマン・西島の電荷とアイソスピンの関係式と同様の関係が弱い相互作用にも当てはまると提案しました。^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{: 152} ここで、電荷は弱いアイソスピンと弱い超電荷の射影に関連しています。アイソスピンと弱いアイソスピンは同じ対称性に関連していますが、力は異なります。弱アイソスピンは、すべての世代の左巻き粒子のクォークとレプトンの二重項（例えば、アップクォークとダウンクォーク、トップクォークとボトムクォーク、電子、電子ニュートリノ）を結び付ける弱い相互作用のゲージ対称性です。対照的に、（強い）アイソスピンはアップクォークとダウンクォークのみを結び付け、両方のカイラリティ（左と右）に作用し、（ゲージではなく）グローバルな対称性です。^[¹¹^] $Q=T_{3}+{\frac {1}{2}}Y_{w}.$ $Q$ $T_{3}$ $Y_{w}$

参考文献

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さらに詳しい情報

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グリフィス、D. (1987).素粒子入門.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-471-60386-3。

参照

チャン・パトン因子

外部リンク

i8 i核構造と崩壊データ - IAEA核種のアイソスピン

[5] フレーバー波動関数は、アイソスピン0の組み合わせに対して、 $c_{1}(\mathrm {u{\bar {u}}+d{\bar {d}}} )+c_{2}(\mathrm {s{\bar {s}}} )$ ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathrm {u{\bar {u}}-d{\bar {d}}} )$ $I=1$

[1] ポヴ、ボグダン、クラウス、リス、ショルツ、クリストフ、ツェッチェ、フランク (2008) [1993].「第2章」.粒子と核. シュプリンガー. p. 21. ISBN 978-3-540-79367-0。

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典拠管理データベース
国際	GND
その他	イェール・ラックス

素粒子物理学におけるフレーバー
フレーバー量子数
アイソスピン：IまたはI ₃ チャーム：C 奇妙さ：S トップネス：T 底度：B ′
関連する量子数
バリオン数：B レプトン数：L 弱いアイソスピン：TまたはT ₃ 電荷：Q Xチャージ：X
組み合わせ
過電荷：Y Y = ( B + S + C + B ′ + T ) Y = 2 ( Q − I ₃ ) 弱い超電荷：Y _W Y _W = 2 ( Q − T ₃ ) X + 2 Y _W = 5 ( B − L )
フレーバーミキシング
CKMマトリックス PMNSマトリックスフレーバーの補完性
v t e