スチューデント化された範囲分布 確率密度関数
累積分布関数
パラメータ k > 1 、グループ数 > 0 、 自由度 ν {\displaystyle \nu } サポート q ∈ ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle q\in (0,+\infty )} PDF f R ( q ; k , ν ) = 2 π k ( k − 1 ) ν ν / 2 Γ ( ν / 2 ) 2 ( ν / 2 − 1 ) ∫ 0 ∞ s ν φ ( ν s ) × [ ∫ − ∞ ∞ φ ( z + q s ) φ ( z ) [ Φ ( z + q s ) − Φ ( z ) ] k − 2 d z ] d s {\displaystyle {\begin{matrix}f_{\text{R}}(q;k,\nu )={\frac {\,{\sqrt {2\pi \,}}\,k\,(k-1)\,\nu ^{\nu /2}\,}{\Gamma (\nu /2)\,2^{\left(\nu /2-1\right)}}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu }\,\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\,\times \\[0.5em]\left[\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z+q\,s)\,\varphi (z)\,\left[\Phi (z+q\,s)-\Phi (z)\right]^{k-2}\,\mathrm {d} z\right]\,\mathrm {d} s\end{matrix}}} CDF F R ( q ; k , ν ) = 2 π k ν ν / 2 Γ ( ν / 2 ) 2 ( ν / 2 − 1 ) ∫ 0 ∞ s ν − 1 φ ( ν s ) × [ ∫ − ∞ ∞ φ ( z ) [ Φ ( z + q s ) − Φ ( z ) ] k − 1 d z ] d s {\displaystyle {\begin{matrix}F_{\text{R}}(q;k,\nu )={\frac {\,{\sqrt {2\pi \,}}\,k\,\nu ^{\nu /2}\,}{\,\Gamma (\nu /2)\,2^{\left(\nu /2-1\right)}}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu -1}\,\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\,\times \\[0.5em]\qquad \left[\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z)\,\left[\Phi (z+q\,s)-\Phi (z)\right]^{k-1}\,\mathrm {d} z\right]\,\mathrm {d} s\end{matrix}}}
確率 と 統計 において 、 スチューデント化範囲分布は、 正規分布する 母集団からの IID サンプルの スチューデント化範囲 の 連続 確率分布 です。
同じ 正規分布 N ( μ , σ 2 )に従う k 個の母集団からそれぞれ n 個の標本を抽出し、 が これらの標本平均値の中で最小値、 が 最大値であると仮定します。また、 s ² がこれらの標本からプールされた標本分散であると仮定します。この場合、次の統計量はスチューデント化された範囲分布に従います。 y ¯ min {\displaystyle {\bar {y}}_{\min }} y ¯ max {\displaystyle {\bar {y}}_{\max }}
q = y ¯ max − y ¯ min s / n {\displaystyle q={\frac {{\overline {y}}_{\max }-{\overline {y}}_{\min }}{s/{\sqrt {n\,}}}}}
意味
確率密度関数 累積分布関数をq について微分すると、 確率密度関数 が得られます 。
f R ( q ; k , ν ) = 2 π k ( k − 1 ) ν ν / 2 Γ ( ν / 2 ) 2 ( ν / 2 − 1 ) ∫ 0 ∞ s ν φ ( ν s ) [ ∫ − ∞ ∞ φ ( z + q s ) φ ( z ) [ Φ ( z + q s ) − Φ ( z ) ] k − 2 d z ] d s {\displaystyle f_{\text{R}}(q;k,\nu )={\frac {{\sqrt {2\pi \,}}\,k\,(k-1)\,\nu ^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)\,2^{\left(\nu /2-1\right)}}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu }\,\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\,\left[\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z+q\,s)\,\varphi (z)\,\left[\Phi (z+q\,s)-\Phi (z)\right]^{k-2}\,\mathrm {d} z\right]\,\mathrm {d} s} 積分の外側の部分では、次の式が成り立つことに注意する。
φ ( ν s ) 2 π = e − ( ν s 2 / 2 ) {\displaystyle \varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\,{\sqrt {2\pi \,}}=e^{-\left(\nu \,s^{2}/2\right)}} 指数係数を置き換えるために使用されました。
累積分布関数 累積分布関数は [1]で与えられる。
F R ( q ; k , ν ) = 2 π k ν ν / 2 Γ ( ν / 2 ) 2 ( ν / 2 − 1 ) ∫ 0 ∞ s ν − 1 φ ( ν s ) [ ∫ − ∞ ∞ φ ( z ) [ Φ ( z + q s ) − Φ ( z ) ] k − 1 d z ] d s {\displaystyle F_{\text{R}}(q;k,\nu )={\frac {{\sqrt {2\pi \,}}\,k\,\nu ^{\nu /2}}{\,\Gamma (\nu /2)\,2^{(\nu /2-1)}\,}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu -1}\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\left[\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z)\left[\Phi (z+q\,s)-\Phi (z)\right]^{k-1}\,\mathrm {d} z\right]\,\mathrm {d} s}
特殊なケース k が2または3の 場合、 [2] スチューデント化範囲確率分布関数を直接評価できます。ここで、 は標準正規確率密度関数であり、 は標準正規累積分布関数です。 φ ( z ) {\displaystyle \varphi (z)} Φ ( z ) {\displaystyle \Phi (z)}
f R ( q ; k = 2 ) = 2 φ ( q / 2 ) {\displaystyle f_{R}(q;k=2)={\sqrt {2\,}}\,\varphi \left(\,q/{\sqrt {2\,}}\right)} f R ( q ; k = 3 ) = 6 2 φ ( q / 2 ) [ Φ ( q / 6 ) − 1 2 ] {\displaystyle f_{R}(q;k=3)=6{\sqrt {2\,}}\,\varphi \left(\,q/{\sqrt {2\,}}\right)\left[\Phi \left(q/{\sqrt {6\,}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\right]} 自由度が無限大に近づくと、 標準正規分布を使用して
任意の kに対してスチューデント化範囲累積分布を計算できます。
F R ( q ; k ) = k ∫ − ∞ ∞ φ ( z ) [ Φ ( z + q ) − Φ ( z ) ] k − 1 d z = k ∫ − ∞ ∞ [ Φ ( z + q ) − Φ ( z ) ] k − 1 d Φ ( z ) {\displaystyle F_{R}(q;k)=k\,\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z)\,{\Bigl [}\Phi (z+q)-\Phi (z){\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} z=k\,\int _{-\infty }^{\infty }\,{\Bigl [}\Phi (z+q)-\Phi (z){\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \Phi (z)}
アプリケーション スチューデント化範囲分布の臨界値は Tukeyの範囲検定 で使用される。 [3]
スチューデント化範囲は、 データ マイニング によって取得された結果の有意水準を計算するために使用されます。データ マイニングでは、ランダムにサンプリングするだけでなく、サンプル データ内の極端な差異を選択的に探します。
スチューデント化範囲分布は、仮説検定 や 多重比較の 手法に応用できる 。例えば、 標本 x 1 , ..., x n が平均値 の標本であり 、 q が基本検定統計量である Tukeyの範囲検定 や Duncanの新しい多重範囲検定（MRT）は、 標準的な分散分析によってすべてのグループが同じ母集団から来ている（すなわち、すべての平均値が等しい）という 帰無仮説 を棄却した後、どの2つのグループ間に有意差があるかを検定する（一対比較）事後 分析 として用いることができる 。 [4]
2つのグループの平均値が等しいかどうか（つまり、 μ 1 = μ 2 であるかどうか）のみが問題となる場合、スチューデント化範囲分布は スチューデントのt分布 に類似しますが、前者は考慮する平均の数を考慮し、それに応じて臨界値が調整されるという点のみが異なります。考慮する平均の数が多いほど、臨界値は大きくなります。これは、平均の数が多いほど、平均のペア間の少なくとも一部の差が偶然によって有意に大きくなる確率が高くなるため、理にかなっています。
導出 スチューデント化範囲分布関数は、標本範囲Rを 標本標準偏差 s で 再スケーリングすることで得られます 。これは、スチューデント化範囲が通常、標準偏差の単位で表され、変数 q = R ⁄ s が用いられるためです。この導出は、標本範囲の分布関数の完全に一般的な形から始まり、これはあらゆる標本データ分布に適用されます。
「スチューデント化」された範囲q に関して分布を得るために、変数を R から s と q に変更します 。標本データが 正規分布する と仮定すると、 標準偏差 sは χ 分布 します 。さらに sについて積分することで、パラメータとしての s を除去し、 q のみに関して再尺度化された分布を得ることができます 。
任意の確率密度関数 f X に対して、範囲確率密度 f R は次のようになる: [2]
f R ( r ; k ) = k ( k − 1 ) ∫ − ∞ ∞ f X ( t + 1 2 r ) f X ( t − 1 2 r ) [ ∫ t − 1 2 r t + 1 2 r f X ( x ) d x ] k − 2 d t {\displaystyle f_{R}(r;k)=k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}\left(t+{\tfrac {1}{2}}r\right)f_{X}\left(t-{\tfrac {1}{2}}r\right)\left[\int _{t-{\tfrac {1}{2}}r}^{t+{\tfrac {1}{2}}r}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x\right]^{k-2}\,\mathrm {d} \,t} これは、ある分布からk 個 の抽出を行い、そのうち 2 個は r だけ差があり、残りの k − 2 個はすべて 2 つの極値の間に入る確率を合計することを意味します。変数を u （ は範囲の下限）に置き換え、 F X を f X の累積分布関数と定義すると 、 式 は 次 の よう に 簡略化されます。 u = t − 1 2 r {\displaystyle u=t-{\tfrac {1}{2}}r}
f R ( r ; k ) = k ( k − 1 ) ∫ − ∞ ∞ f X ( u + r ) f X ( u ) [ F X ( u + r ) − F X ( u ) ] k − 2 d u {\displaystyle f_{R}(r;k)=k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u+r)\,f_{X}(u)\,\left[\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,\right]^{k-2}\,\mathrm {d} \,u} 同様の積分を導入し、積分記号の下で微分すると次のようになることに気づく。
∂ ∂ r [ k ∫ − ∞ ∞ f X ( u ) [ F X ( u + r ) − F X ( u ) ] k − 1 d u ] = k ( k − 1 ) ∫ − ∞ ∞ f X ( u + r ) f X ( u ) [ F X ( u + r ) − F X ( u ) ] k − 2 d u {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial r}}&\left[k\,\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u)\,{\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \,u\right]\\[5pt]={}&k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u+r)\,f_{X}(u)\,{\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-2}\,\mathrm {d} \,u\end{aligned}}} これは上記の積分を回復し、 [a] 最後の関係式が証明する。
F R ( r ; k ) = k ∫ − ∞ ∞ f X ( u ) [ F X ( u + r ) − F X ( u ) ] k − 1 d u = k ∫ − ∞ ∞ [ F X ( u + r ) − F X ( u ) ] k − 1 d F X ( u ) {\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(r;k)&=k\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u){\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \,u\\&=k\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \,F_{X}(u)\end{aligned}}} なぜなら、任意の連続 CDF
∂ F R ( r ; k ) ∂ r = f R ( r ; k ) {\displaystyle {\frac {\partial F_{R}(r;k)}{\partial r}}=f_{R}(r;k)}
範囲分布は、 中心極限定理 により漸近的に 正規分布する サンプル平均値の周りの信頼区間に最もよく使用されます。
正規データのスチューデント化された範囲分布を作成するには、まず一般的な f X と F Xから 標準正規分布の 分布関数 φ と Φに切り替え 、変数 rを s·q に変更します 。ここで、 qは r を スケーリング係数 s で再スケーリングする固定係数です 。
f R ( q ; k ) = s k ( k − 1 ) ∫ − ∞ ∞ φ ( u + s q ) φ ( u ) [ Φ ( u + s q ) − Φ ( u ) ] k − 2 d u {\displaystyle f_{R}(q;k)=s\,k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (u+sq)\varphi (u)\,\left[\,\Phi (u+sq)-\Phi (u)\right]^{k-2}\,\mathrm {d} u} スケーリング係数 s を標本標準偏差に等しく設定し、 q が範囲の標準偏差の個数となるようにする。正規分布の場合、 sは カイ二乗分布 に従う [b]。 カイ二乗分布の 分布関数 f S は 次のように与えられる。
f S ( s ; ν ) d s = { ν ν / 2 s ν − 1 e − ν s 2 / 2 2 ( ν / 2 − 1 ) Γ ( ν / 2 ) d s for 0 < s < ∞ , 0 otherwise . {\displaystyle f_{S}(s;\nu )\,\mathrm {d} s={\begin{cases}{\dfrac {\nu ^{\nu /2}\,s^{\nu -1}e^{-\nu \,s^{2}/2}\,}{2^{\left(\nu /2-1\right)}\Gamma (\nu /2)}}\,\mathrm {d} s&{\text{for }}\,0<s<\infty ,\\[4pt]0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}} 分布 f R と f S を乗じて積分し、標準偏差 s への依存性を除去すると、正規データのスチューデント化範囲分布関数が得られます。
f R ( q ; k , ν ) = ν ν / 2 k ( k − 1 ) 2 ( ν / 2 − 1 ) Γ ( ν / 2 ) ∫ 0 ∞ s ν e − ν s 2 / 2 ∫ − ∞ ∞ φ ( u + s q ) φ ( u ) [ Φ ( u + s q ) − Φ ( u ) ] k − 2 d u d s {\displaystyle f_{R}(q;k,\nu )={\frac {\nu ^{\nu /2}\,k\,(k-1)}{2^{\left(\nu /2-1\right)}\Gamma (\nu /2)}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu }e^{-\nu s^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (u+sq)\,\varphi (u)\,\left[\,\Phi (u+sq)-\Phi (u)\right]^{k-2}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} s} どこ
q は標準偏差で測定されたデータ範囲の幅であり、 ν は標本標準偏差[c] を決定するための自由度の数であり 、 k は範囲内の点を形成する個別の平均の数です。 上記のセクションで示した PDF の式は、
e − ν s 2 / 2 = 2 π φ ( ν s ) {\displaystyle e^{-\nu \,s^{2}/2}={\sqrt {2\pi \,}}\,\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)} 外側の積分の指数表現を置き換えます。
注記 ^ 技術的には、関係は の点に対してのみ成り立ち 、 次のセクションで説明するように、 通常の データに対してはどこでも成り立ちます が、均一分布データのように サポート に上限がある分布に対しては成り立ちません 。 u {\displaystyle u} f X ( u + r ) > 0 {\displaystyle f_{X}(u+r)>0} ^ 「2乗」がないことに注意してください。このテキストは、 χ 2 分布 で はなく 、 χ 分布 について言及しています。 ^ 通常は 、ここで n は範囲内の値の平均を求めるために使用されるすべてのデータポイントの合計数です。 ν = n − 1 {\displaystyle \nu =n-1}
参考文献 ^ Lund, RE; Lund, JR (1983). 「アルゴリズムAS 190：スチューデント化範囲の確率と上限分位数」. 王立統計学会誌 . 32 (2): 204– 210. JSTOR 2347300. ^ ab McKay, AT (1933). 「 n のサンプルにおける範囲の分布に関する注記 」. Biometrika . 25 (3): 415– 420. doi :10.2307/2332292. JSTOR 2332292. ^ 「StatsExamples | アルファ=0.05のQ分布の臨界値の表」。 ^ ピアソン＆ハートレー（1970年、第14.2節）
さらに読む ピアソン, ES ; ハートレー, HO (1942). 「正規母集団からの N個 の観測値における範囲の確率積分」. Biometrika . 32 (3): 301– 310. doi :10.1093/biomet/32.3-4.309. JSTOR 2332134. ハートレー, HO (1942). 「ランダムサンプルにおける範囲」. Biometrika . 32 (3): 334– 348. doi :10.2307/2332137. JSTOR 2332137. Dunlap, WP; Powell, RS; Konnerth, TK (1977). 「スチューデント化範囲統計量に関連する確率を計算するFORTRAN IV関数」. 行動研究方法と計測 . 9 (4): 373– 375. doi : 10.3758/BF03202264 .
外部リンク 
![{\displaystyle {\begin{matrix}f_{\text{R}}(q;k,\nu )={\frac {\,{\sqrt {2\pi \,}}\,k\,(k-1)\,\nu ^{\nu /2}\,}{\Gamma (\nu /2)\,2^{\left(\nu /2-1\right)}}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu }\,\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\,\times \\[0.5em]\left[\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z+q\,s)\,\varphi (z)\,\left[\Phi (z+q\,s)-\Phi (z)\right]^{k-2}\,\mathrm {d} z\right]\,\mathrm {d} s\end{行列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a08d81086431dd9b1ebae17991b17d2ee4642b6)
![{\displaystyle {\begin{matrix}F_{\text{R}}(q;k,\nu )={\frac {\,{\sqrt {2\pi \,}}\,k\,\nu ^{\nu /2}\,}{\,\Gamma (\nu /2)\,2^{\left(\nu /2-1\right)}}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu -1}\,\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\,\times \\[0.5em]\qquad \left[\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z)\,\left[\Phi (z+q\,s)-\Phi (z)\right]^{k-1}\,\mathrm {d} z\right]\,\mathrm {d} s\end{行列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83772014edd9847eab4060054dce9407acffaf2)
![{\displaystyle f_{\text{R}}(q;k,\nu )={\frac {{\sqrt {2\pi \,}}\,k\,(k-1)\,\nu ^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)\,2^{\left(\nu /2-1\right)}}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu }\,\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\,\left[\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z+q\,s)\,\varphi (z)\,\left[\Phi (z+q\,s)-\Phi (z)\right]^{k-2}\,\mathrm {d} z\right]\,\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b454e7c3be46bad6a6b685406779af6e53aad8)
![{\displaystyle F_{\text{R}}(q;k,\nu )={\frac {{\sqrt {2\pi \,}}\,k\,\nu ^{\nu /2}}{\,\Gamma (\nu /2)\,2^{(\nu /2-1)}\,}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu -1}\varphi ({\sqrt {\nu \,}}\,s)\left[\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z)\left[\Phi (z+q\,s)-\Phi (z)\right]^{k-1}\,\mathrm {d} z\right]\,\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21803c454533585edeaa35d2b23061da152de3f)
![{\displaystyle f_{R}(q;k=3)=6{\sqrt {2\,}}\,\varphi \left(\,q/{\sqrt {2\,}}\right)\left[\Phi \left(q/{\sqrt {6\,}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492f3d60fda45450ff9e9a619b855bb61fb1f5f1)
![{\displaystyle F_{R}(q;k)=k\,\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (z)\,{\Bigl [}\Phi (z+q)-\Phi (z){\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} z=k\,\int _{-\infty }^{\infty }\,{\Bigl [}\ファイ (z+q)-\ファイ (z){\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \ファイ (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f380dc1c42ad0123fbaf0159324121161c99fec0)
![{\displaystyle f_{R}(r;k)=k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}\left(t+{\tfrac {1}{2}}r\right)f_{X}\left(t-{\tfrac {1}{2}}r\right)\left[\int _{t-{\tfrac {1}{2}}r}^{t+{\tfrac {1}{2}}r}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x\right]^{k-2}\,\mathrm {d} \,t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462ed05fb46aaf8cae430562c3f64d5c1e0d06a7)
![{\displaystyle f_{R}(r;k)=k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u+r)\,f_{X}(u)\,\left[\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,\right]^{k-2}\,\mathrm {d} \,u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87b66f2887c8ba73d449fe77097473b9bffeb25)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial r}}&\left[k\,\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u)\,{\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \,u\right]\\[5pt]={}&k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u+r)\,f_{X}(u)\,{\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-2}\,\mathrm {d} \,u\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ce11373630f6a4a3d2e1d4b738219af75b9388)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(r;k)&=k\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u){\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \,u\\&=k\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl [}\,F_{X}(u+r)-F_{X}(u)\,{\Bigr ]}^{k-1}\,\mathrm {d} \,F_{X}(u)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5194b7fd58dd44d6e6c4929e2f2e6387e481c29)
![{\displaystyle f_{R}(q;k)=s\,k\,(k-1)\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (u+sq)\varphi (u)\,\left[\,\Phi (u+sq)-\Phi (u)\right]^{k-2}\,\mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9533dfe9031ad819e3339f0d818cdf94cd4655)
![{\displaystyle f_{S}(s;\nu )\,\mathrm {d} s={\begin{cases}{\dfrac {\nu ^{\nu /2}\,s^{\nu -1}e^{-\nu \,s^{2}/2}\,}{2^{\left(\nu /2-1\right)}\Gamma (\nu /2)}}\,\mathrm {d} s&{\text{for }}\,0<s<\infty ,\\[4pt]0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1a8ce22925692c9ab3ea76b180775656bcd99e)
![{\displaystyle f_{R}(q;k,\nu )={\frac {\nu ^{\nu /2}\,k\,(k-1)}{2^{\left(\nu /2-1\right)}\Gamma (\nu /2)}}\int _{0}^{\infty }s^{\nu }e^{-\nu s^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (u+sq)\,\varphi (u)\,\left[\,\Phi (u+sq)-\Phi (u)\right]^{k-2}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c262ebcd5ba753289f769a9460f66ab945c75d)
