サブハーモニック関数

Class of mathematical functions

数学において、サブハーモニック関数とスーパーハーモニック関数は、偏微分方程式、複素解析、ポテンシャル理論で広く使用される重要な関数クラスです。

直感的に、サブハーモニック関数は1変数の凸関数と次のように関連しています。凸関数のグラフと直線が2点で交差する場合、凸関数のグラフはそれらの点を結ぶ直線より下にあります。同様に、サブハーモニック関数の値が球の境界上の調和関数の値以下である場合、サブハーモニック関数の値は球の内部の調和関数の値以下になります。

超調和関数は、同じ記述で定義できますが、「これ以上大きくならない」を「これ以上小さくならない」に置き換えるだけです。あるいは、超調和関数は分数調和関数の負の関数に過ぎず、このため、分数調和関数のあらゆる性質は超調和関数に容易に転用できます。

正式な定義

正式には、定義は次のように述べられる。 をユークリッド空間の部分集合とし、を上半連続関数とする。すると、が劣調和関数であるとは、に含まれる中心と半径の任意の閉球と、で調和的であり の境界上のすべてのに対してを満たす 上の任意の実数連続関数に対して、すべての に対してが成り立つことを意味する。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$ ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \partial B(x,r)}$ ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$ ${\displaystyle y\in B(x,r).}$

上記により、-∞ と同一の関数はサブハーモニックですが、一部の著者は定義によりこの関数を除外していることに注意してください。

関数が低調波である場合、その関数は超調波と呼ばれます。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle -u}$

プロパティ

• 関数が調和的で あるためには、それが低調波かつ超調波である必要があります。
• が の開集合上でC ² ( 2 回連続微分可能)である場合、が上でとなるとき、かつその場合に限り、はサブハーモニックです。ここではラプラシアンです。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta \phi \geq 0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Delta }$
• サブハーモニック関数の最大値は、関数が定数でない限り、その定義域の内部では達成できません。これは最大値原理と呼ばれます。しかし、サブハーモニック関数の最小値は、その定義域の内部で達成できます。
• サブハーモニック関数は凸錐を形成します。つまり、正の係数を持つサブハーモニック関数の線形結合もサブハーモニックです。
• 2つの分数調和関数の点ごとの最大値は分数調和関数である。可算個の分数調和関数の点ごとの最大値が上半連続である場合、それは分数調和関数でもある。
• 減少する分数調和関数の列の極限は分数調和関数（または と全く同じ）です。 ${\displaystyle -\infty }$
• 通常の位相では、分数調和関数は必ずしも連続的ではありませんが、分数調和関数を連続にする微細位相を導入することができます。

例

が解析的であれば、は劣調和関数です。上記の性質、最大値、凸結合、極限などを用いることで、さらに多くの例を構築できます。次元1においては、すべての劣調和関数はこのようにして得られます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \log |f|}$

リースの表現定理

が次元のユークリッド空間の領域で劣調和関数である場合、は で調和関数、 である場合、 はの調和メジャーンと呼ばれる。調和メジャーンが存在する場合、最小の調和メジャーンが存在し、 であるのに対し、次元2では は最小の調和メジャーンであり、は におけるボレル測度である。これはリース表現定理と呼ばれる。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u\leq v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|x-y|^{n-2}}},\quad n\geq 3}$$ $${\displaystyle u(x)=v(x)+\int _{D}\log |x-y|d\mu (y),}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle D}$

複素平面における分数関数

サブハーモニック関数は複素解析において特に重要であり、複素解析においては正則関数と密接に関係しています。

集合上で定義された複素変数（つまり2つの実変数）の実数値連続関数がサブハーモニック関数である のは、中心と半径の任意の閉円に対して、 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D(z,r)\subset G}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })\,d\theta .}$$

直感的に言えば、これは、サブハーモニック関数がどの点においてもその点の周りの円内の値の平均以下であることを意味します。この事実は、最大値原理を導き出すために使用できます。

が正則関数である 場合、の零点におけるの 値を と定義すれば、 は劣調和関数となります。したがって、 任意のα > 0 に対して は劣調和関数となります。この観察結果はハーディ空間 の理論、特に0 < p  < 1 の場合のH ^pの研究において重要な役割を果たします。 ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \varphi (z)=\log \left|f(z)\right|}$$ ${\displaystyle \varphi (z)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty }$ $${\displaystyle \psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }}$$

複素平面のコンテキストでは、虚数方向に定数である領域上の分数関数は実数方向に凸であり、その逆もまた同様であるという事実によって、凸関数への接続も実現できます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$

サブハーモニック関数のハーモニックメジャーント

が複素平面の領域で劣調和関数であり、がで調和関数である場合、においての調和主関数である。このような不等式は における成長条件とみなすことができる。^[1] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u\leq h}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$

単位円板における分数調和関数。ラジアル極大関数

φ を、閉単位円板D (0, 1)を含む複素平面の開部分集合 Ω において、サブハーモニック、連続、非負とする。関数φ （単位円板に制限された）のラジアル極大関数は、単位円上で次のように定義される。P r_がポアソン核を表す場合、サブハーモニシティから次の式が成り立つ。最後の積分は、φを単位円Tに制限した場合のハーディ・リトルウッド極大関数φ ^∗のe ^iθにおける値よりも小さくなることが示され、 0 ≤ M φ  ≤ φ ^{∗ が}成立する。ハーディ・リトルウッド作用素は、 1 < p < ∞ のときL ^p ( T )上で有界であることが知られている 。したがって、ある普遍定数Cに対して、 $${\displaystyle (M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\varphi (re^{i\theta }).}$$ $${\displaystyle 0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}\left(\theta -t\right)\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,\ \ \ r<1.}$$ $${\displaystyle \varphi ^{*}(e^{i\theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,}$$  $${\displaystyle \|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbf {T} )}^{2}\leq C^{2}\,\int _{0}^{2\pi }\varphi (e^{i\theta })^{2}\,d\theta .}$$

fが Ω の正則関数で 0 < p < ∞ の場合 、前述の不等式はφ  = | f  | ^{p /2}に適用されます。これらの事実から、古典的なハーディ空間H ^pの任意の関数Fは次の式を満たすことがわかります。さらに検討すると、Fは単位円上のほぼすべての場所で放射状極限F ( e ^iθ ) を持ち、（優勢収束定理により）F _r（e ^iθ） = F ( r e ^iθ )で定義されるF _rは、 L ^p ( T )でFに近づくことがわかります。 $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left(\sup _{0\leq r<1}\left|F(re^{i\theta })\right|\right)^{p}\,d\theta \leq C^{2}\,\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }\left|F(re^{i\theta })\right|^{p}\,d\theta .}$$ 

リーマン多様体上のサブハーモニック関数

サブハーモニック関数は任意のリーマン多様体上で定義できます。

定義：M をリーマン多様体とし、上半連続関数とする。任意の開部分集合と、U上の任意の調和関数f _{1に対し、} Uの境界上で不等式がすべてのU上で成立すると仮定する。このとき、fは劣調和関数と呼ばれる。 ${\displaystyle f:\;M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle f_{1}\geq f}$ ${\displaystyle f_{1}\geq f}$

この定義は上記の定義と等価である。また、2回微分可能な関数の場合、劣調和性は不等式 と等価である。ここでは通常のラプラシアンである。^[2] ${\displaystyle \Delta f\geq 0}$ ${\displaystyle \Delta }$

参照

• 多元調和関数—複数の複素変数への一般化
• 古典微細位相幾何学

注記

1. Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994), p.35 (参考文献を参照)
2. Greene, RE; Wu, H. (1974). 「非負曲率多様体上のサブハーモニック関数の積分」. Inventiones Mathematicae . 27 (4): 265– 298. Bibcode :1974InMat..27..265G. doi :10.1007/BF01425500. S2CID  122233796.、MR  0382723

参考文献

• コンウェイ、ジョン・B. (1978).複素一変数関数. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90328-3。
• クランツ、スティーブン・G. (1992). 『複素変数関数論』 プロビデンス、ロードアイランド州: AMSチェルシー出版. ISBN 0-8218-2724-3。
• ドゥーブ、ジョセフ・レオ（1984年）『古典的ポテンシャル理論とその確率論的対応物』ベルリン・ハイデルベルク、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-41206-9。
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994).ハーディ類と単葉関数に関する話題. Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks. Basel: Birkhauser Verlag.

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