後継序数

序数に対する演算

集合論において、順序数αの後続順序数は、 αより大きい最小の順序数である 。後続順序数は後続順序数と呼ばれる。順序数 1、2、3 は最初の3つの後続順序数であり、順序数 ω+1、ω+2、ω+3 は最初の3つの無限後続順序数である。

プロパティ

0以外の順序数は後続順序数か極限順序数のいずれかである。^[1]

フォン・ノイマンのモデルでは

フォン・ノイマンの順序数（集合論で用いられる順序数の標準モデル）を用いると、順序数αの後継数S ( α )は式^{[1]で与えられる。}

${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.}$

順序数の順序は、α∈βの場合にのみα<βとなるため、α と S (  α  )の間に順序数は存在しないことが直ちにわかり、 α  <  S ( α )であることも明らかです。

序数加算

後続演算は、次のように超限再帰を介して順序加算を厳密に定義するために使用できます。

${\displaystyle \alpha +0=\alpha \!}$

${\displaystyle \alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )}$

極限順序数λに対して

${\displaystyle \alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )}$

特に、S ( α ) = α + 1です。乗算と累乗も同様に定義されます。

トポロジー

後続点と零点は、順序位相に関して、順序数のクラスの孤立点である。^[2]

参照

• 序数算術
• 順序数の制限
• 後継枢機卿

参考文献

1. Cameron, Peter J. (1999), Sets, Logic and Categories, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, p. 46, ISBN 9781852330569。
2. デブリン、キース（1993）、集合の喜び：現代集合論の基礎、数学の学部テキスト、シュプリンガー、演習3C、p.100、ISBN 9780387940946。

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Successor_ordinal&oldid=1165996830」より取得