平均からの二乗偏差

Calculations in probability theory

平均からの二乗偏差（SDM）は、偏差を二乗する ことで得られます。確率論と統計学において、分散の定義は、 SDMの期待値（理論分布を考慮する場合）または平均値（実際の実験データの場合）のいずれかです。分散分析の計算には、SDMの和を分割することが含まれます。

背景

関連する計算の理解は、統計値の研究によって大幅に強化される。

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$、ここでは期待値演算子です。 ${\displaystyle \operatorname {E} }$

平均と分散を持つ確率変数 の場合、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} (X^{2})-\mu ^{2}.}$^[1]

（その導出はここに示されています。）したがって、

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}+\mu ^{2}.}$

上記から、次のことが分かります。

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \left(X^{2}\right)\right)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2},}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(\sum X\right)^{2}\right)=n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}.}$

標本分散

標本分散を計算するために必要な偏差の二乗和（ nで割るかn − 1で割るかを決める前に ）は、次のように計算するのが最も簡単です。 $${\displaystyle S=\sum x^{2}-{\frac {\left(\sum x\right)^{2}}{n}}.}$$

上記の2つの期待値から、この合計の期待値は次のように なります。 $${\displaystyle \operatorname {E} (S)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}-{\frac {n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}}{n}},}$$ $${\displaystyle \operatorname {E} (S)=(n-1)\sigma ^{2}.}$$

これは、 σ ²の 不偏サンプル推定値 の計算における除数n − 1 の使用を効果的に証明しています。

パーティション - 分散分析

データがk個の異なる治療群について利用可能であり、そのサイズはn _i （ iは1からkまで） であり、各群の期待平均は

${\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}}$

各治療群の分散は母集団分散と変わりません。 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

治療法には効果がないという帰無仮説のもとでは、それぞれの値はゼロになります。 ${\displaystyle T_{i}}$

これで、3 つの平方和を計算できるようになりました。

個人

${\displaystyle I=\sum x^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (I)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}$

治療

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}$

処置が違いをもたらさず、すべてがゼロであるという帰無仮説の下では、期待値は次のように単純化される。 ${\displaystyle T_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.}$

組み合わせ

${\displaystyle C=\left(\sum x\right)^{2}/n}$

${\displaystyle \operatorname {E} (C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}$

偏差の二乗和

帰無仮説によれば、 I、T、Cの任意のペアの差はへの依存性を含まず、 のみに依存性があります。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (I-C)=(n-1)\sigma ^{2}}$総二乗偏差、別名総二乗和

${\displaystyle \operatorname {E} (T-C)=(k-1)\sigma ^{2}}$処理二乗偏差、別名説明二乗和

${\displaystyle \operatorname {E} (I-T)=(n-k)\sigma ^{2}}$残差二乗偏差、別名残差二乗和

定数( n  − 1)、( k  − 1)、( n  −  k )は通常、自由度の数と呼ばれます。

例

非常に単純な例では、2つの処理から5つの観測値が得られます。最初の処理では1、2、3の3つの値が得られ、2番目の処理では4と6の2つの値が得られます。

${\displaystyle I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66}$

${\displaystyle T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62}$

${\displaystyle C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.2}$

与えること

自由度4の場合、偏差の二乗合計は66−51.2=14.8となります。

治療の二乗偏差 = 62 − 51.2 = 10.8、自由度 1。

残差二乗偏差 = 66 − 62 = 4、自由度は 3。

二元配置分散分析

統計学において、二元配置分散分析（ANOVA）は、2つのカテゴリ カルな独立変数が1つの連続 従属変数にどのように影響するかを調べるために使用されます。^[2]これは、一元配置分散分析（ANOVA）を拡張したもので、両方の因子を同時に分析することができます。二元配置分散分析は、各独立変数の主効果と、それらの間の交互作用の有無を評価します。^[2]

研究者はこの検定を用いて、2つの要因が独立して作用するのか、それとも複合的に作用して従属変数に影響を与えるのかを検証します。心理学、農業、教育、生物医学研究などの分野で用いられています。^[3]例えば、肥料の種類と水位が植物の成長にどのような影響を与えるかを調べるのに使用できます。この分析では、グループ間で観察された差が統計的に有意であるかどうかを示すF統計量が生成されます。^{[4] [3]}

参照

• 絶対偏差
• 分散を計算するアルゴリズム
• 誤差と残差
• 最小二乗法
• 平均二乗誤差
• 残差平方和
• 二乗平均平方根偏差
• 予測誤差の分散分解

参考文献

1. ムード＆グレイビル：統計理論入門（マグロウヒル）
2. Kim, Hae-Young (2014-03-21). 「臨床研究者のための統計ノート：二元配置分散分析（ANOVA）-因子間の相互作用の可能性の検討」Restorative Dentistry & Endodontics . 39 (2): 143– 147. doi :10.5395/rde.2014.39.2.143. ISSN  2234-7658. PMC 3978106.  PMID 24790929  .
3. Gelman, Andrew (2005年2月). 「分散分析？ なぜこれまで以上に重要なのか」. The Annals of Statistics . 33 (1): 1– 53. arXiv : math/0504499 . doi :10.1214/009053604000001048. S2CID  125025956.
4. 藤越康則 (1993). 「不均衡データを用いた2元配置分散分析モデル」.離散数学. 116 (1): 315– 334. doi : 10.1016/0012-365X(93)90410-U .

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