2つの立方数の合計

数学的な多項式

2つの立方数の和と差の公式の視覚的証明

数学では、2 つの立方数の合計は、ある立方数に別の立方数を足したものです。

因数分解

あらゆる立方数の和は初等代数学の恒等式に従って因数分解できる。^[1] $${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$$

二項数はこの因数分解をより高い奇数乗に一般化します。

証拠

式から始めて、a + b ^[1]を掛け、 aとbを分配し、^[1]同類項を消去すると、^[1] ${\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}$ $${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2}).}$$ ${\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}$ $${\displaystyle a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}}$$ $${\displaystyle a^{3}+b^{3}.}$$

同様に立方体の差についても、 $${\displaystyle {\begin{aligned}(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})&=a(a^{2}+ab+b^{2})-b(a^{2}+ab+b^{2})\\&=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}\;-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}\\&=a^{3}-b^{3}.\end{aligned}}}$$

「SOAP」の記憶術

「SOAP」は「Same, Opposite, Always Positive」の略で、記号を思い出すのに役立ちます。^{[2] [3] [4]}

	オリジナルの 看板		同じ​		反対​		常に ポジティブ​​
3​	+	b 3     = ( a	+	b )( a 2	−	腹筋	+	b 2 )
3​	−	b 3     = ( a	−	b )( a 2	+	腹筋	+	b 2 )

フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理は、指数が3の場合に、2つの非ゼロの整数立方を足しても非ゼロの整数立方にならないことを述べています。指数が3の場合の最初の証明はオイラーによって与えられました。^[5]

タクシーとキャブタクシーの番号

タクシー数とは、2つの正の整数の立方体の和としてn通りの方法で表せる最小の正数である。Ta(1) = 2の次に小さいタクシー数はTa(2) = 1729（ラマヌジャン数）であり、^[6]次のように表される。

${\displaystyle 1^{3}+12^{3}}$または ${\displaystyle 9^{3}+10^{3}}$

3つの異なる方法で表される最小のタクシー番号Ta(3)は87,539,319で、次のように表される。

${\displaystyle 436^{3}+167^{3}}$、または ${\displaystyle 423^{3}+228^{3}}$ ${\displaystyle 414^{3}+255^{3}}$

キャブタクシー数とは、2つの整数立方体のn通りの和で表される最小の正数であり、立方体は正だけでなく負や0も含む。キャブタクシー数(1) = 0の次に小さいキャブタクシー数は、キャブタクシー数(2) = 91であり、^[7]以下のように表される。

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}}$または ${\displaystyle 6^{3}-5^{3}}$

キャブタクシー(3)は、3つの異なる方法で表現される最小のキャブタクシー番号であり、4104であり、^[8]次のように表される。

${\displaystyle 16^{3}+2^{3}}$、または ${\displaystyle 15^{3}+9^{3}}$ ${\displaystyle -12^{3}+18^{3}}$

参照

• 2つの平方の差
• 二項数
• ソフィー・ジェルマンの正体
• オーリフィーユ因数分解
• フェルマーの最終定理

参考文献

1. McKeague, Charles P. (1986). 初等代数学（第3版）. アカデミック・プレス. p. 388. ISBN 0-12-484795-1。
2. クロプコ、ジョナサン (2016).社会科学者のための数学. ロサンゼルス: Sage. p. 30. ISBN 9781506304212。
3. ヴェーダ数学：素早く正確な暗算のための秘訣。V&S Publishers。2015年6月。ISBN 978-93-5057-456-0。
4. クレメンス、メグ、クレメンス、グレン（2019年9月3日）『代数2：簡単な方法』サイモン＆シュスター、ISBN 978-1-4380-1214-8。
5. Dickson, LE (1917). 「フェルマーの最終定理と代数的数論の起源と性質」Annals of Mathematics . 18 (4): 161– 187. doi :10.2307/2007234. ISSN  0003-486X. JSTOR  2007234.
6. “A001235 - OEIS”. oeis.org . 2023年1月4日閲覧。
7. シューマー、ピーター (2008). 「2つの異なる方法での2つの立方体の和」 . Math Horizo​​ns . 16 (2): 8– 9. doi :10.1080/10724117.2008.11974795. JSTOR  25678781.
8. シルバーマン, ジョセフ・H. (1993). 「タクシーと2つの立方体の和」.アメリカ数学月刊. 100 (4): 331– 340. doi :10.2307/2324954. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324954.

さらに読む

• Broughan, Kevin A. (2003年1月). 「2つの立方体の和の特徴づけ」(PDF) . Journal of Integer Sequences . 6 (4): 46. Bibcode :2003JIntS...6...46B.

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Sum_of_two_cubes&oldid=1318617100」より取得