行列多項式

行列を変数とする多項式

数学において、行列多項式は正方行列を変数とする多項式である。通常のスカラー値多項式が与えられると、

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

この多項式を行列で評価すると ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$

ここでは単位行列である。^[1] ${\displaystyle I}$

は と同じ次元であることに注意してください。 ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$

行列多項式方程式は、2つの行列多項式間の等式であり、特定の行列について成立します。行列多項式恒等式は、指定された行列環M _n ( R )内のすべての行列Aについて成立する行列多項式方程式です。

行列多項式は、行列として表現される線形変換の特性、特にケーリー・ハミルトン定理を示すことに関連しているため、大学の線形代数クラスでよく取り上げられます。

エルミート 正定値（半定値）係数を持つ行列多項式の行列式は、正（非負）係数を持つ多項式である。^[2]

特性多項式と最小多項式

行列Aの特性多項式は、 で定義されるスカラー値多項式です。ケーリー・ハミルトン定理によれば、この多項式を行列多項式とみなし、行列自身で評価すると、結果は零行列 となります。多項式がを消滅させる場合、は消滅多項式とも呼ばれます。したがって、特性多項式は を消滅させる多項式です。 ${\displaystyle p_{A}(t)=\det \left(tI-A\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p(A)=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$

を消滅させる最小次数の単項多項式が唯一存在し、この多項式は最小多項式である。（特性多項式のように）を消滅させる任意の多項式は、最小多項式の倍数である。^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

二つの多項式とが与えられたとき、次の場合のみ 成立する。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P(A)=Q(A)}$

${\displaystyle P^{(j)}(\lambda _{i})=Q^{(j)}(\lambda _{i})\qquad {\text{for }}j=0,\ldots ,n_{i}-1{\text{ and }}i=1,\ldots ,s,}$

ここで はの 階微分を表し、 は対応する添え字を持つの固有値である（固有値の添え字はその最大のジョルダンブロックの大きさである）。^[4] ${\displaystyle P^{(j)}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{s}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$

行列等比級数

行列多項式は、通常の幾何級数と同様に行列幾何級数を合計するために使用できる。

${\displaystyle S=I+A+A^{2}+\cdots +A^{n}}$

${\displaystyle AS=A+A^{2}+A^{3}+\cdots +A^{n+1}}$

${\displaystyle (I-A)S=S-AS=I-A^{n+1}}$

${\displaystyle S=(I-A)^{-1}(I-A^{n+1})}$

が特異でない場合は、和を求める式を評価できます。 ${\displaystyle I-A}$ ${\displaystyle S}$

参照

• ラティマー・マクダフィー定理
• 行列指数
• 行列関数

注記

1. ホーン＆ジョンソン 1990年、36ページ。
2. Friedland, S.; Melman, A. (2020). 「エルミート正半定値行列多項式に関する注記」.線形代数とその応用. 598 : 105–109 . doi :10.1016/j.laa.2020.03.038.
3. ホーン＆ジョンソン 1990、Thm 3.3.1。
4. Higham 2000、Thm 1.3。

参考文献

• ゴーバーグ、イスラエル;ランカスター、ピーター; ロッドマン、ライバ (2009) [1982].行列多項式. 応用数学の古典. 第58巻. ランカスター、ペンシルバニア州:産業応用数学協会. ISBN 978-0-898716-81-8. Zbl  1170.15300。
• ハイアム、ニコラス・J. (2000). 『行列の関数：理論と計算』 SIAM. ISBN 089-871-777-9。。
• ホーン、ロジャー・A.; ジョンソン、チャールズ・R. (1990).マトリックス分析.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-38632-6。。

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