超ベクトル空間

Graded vector space with applications to theoretical physics

数学において、超ベクトル空間（ちょうベクトルかん、英: super vector space）は、体上のベクトル空間で、与えられた次数と次数の部分空間への分解を持つ空間である。超ベクトル空間とその一般化の研究は、超線型代数と呼ばれることもある。これらの対象は主に理論物理学に応用され、超対称性の様々な代数的側面を記述するために用いられる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

定義

超ベクトル空間は分解を伴う次数付きベクトル空間である^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1},\quad 0,1\in \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

またはの元であるベクトルは同次であると言われる。で表される非零同次元の偶奇性は、それがまたはのいずれに属するかによって、または となる。 ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle |x|={\begin{cases}0&x\in V_{0}\\1&x\in V_{1}\end{cases}}}$

パリティベクトルは偶数ベクトル、奇数ベクトルは奇数ベクトルと呼ばれます。理論物理学では、偶数元はボーズ元またはボソン元、奇数元はフェルミ元またはフェルミオン元と呼ばれることがあります。超ベクトル空間の定義は、しばしば同次元のみで与えられ、その後線型性によって非同次元に拡張されます。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

が有限次元で、との次元がそれぞれとである場合、 は次元を持つといわれます。 と表記される標準超座標空間は、偶数部分空間が最初の座標基底ベクトルによって張られ、奇数空間が最後の によって張られる通常の座標空間です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p|q}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{p|q}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{p+q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

超ベクトル空間の同次部分空間は、同次元によって張られる線型部分空間である。同次部分空間はそれ自体が超ベクトル空間である（明らかな次数付けを伴う）。

任意の超ベクトル空間に対して、偶数部分空間と奇数部分空間を入れ替えた超ベクトル空間をパリティ反転空間として定義することができる。つまり、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\Pi V)_{0}&=V_{1},\\(\Pi V)_{1}&=V_{0}.\end{aligned}}}$

線形変換

準同型写像（超ベクトル空間の圏における射）は、ある超ベクトル空間から別の超ベクトル空間への次数保存線型変換である。超ベクトル空間間の線型変換が次数保存となるのは、 ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{i},\quad i=0,1.}$

つまり、の偶数元を の偶数元に、の奇数元を の奇数元に写す。超ベクトル空間の同型は全単射準同型である。すべての準同型全体の集合は と表記される。^[2] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\rightarrow W}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$

あるスーパーベクトル空間から別のスーパーベクトル空間への、必ずしも次数保存ではないすべての線形変換は、次数保存変換と次数反転変換の和として一意に表すことができます。つまり、 ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{1-i},\quad i=0,1.}$

次数保存変換を偶変換、次数反転変換を奇変換と宣言すると、からへのすべての線型変換の空間（内部と表記）は超ベクトル空間の構造を持つ。特に、^[3] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$

${\displaystyle \left(\mathbf {Hom} (V,W)\right)_{0}=\mathrm {Hom} (V,W).}$

からへの位数反転変換は、パリティ反転空間からへの準同型写像とみなすことができるので、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi W}$

${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (V,\Pi W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (\Pi V,W).}$

超ベクトル空間上の演算

通常のベクトル空間に対する通常の代数的構成には、スーパーベクトル空間の設定に対応するものがあります。

デュアルスペース

超ベクトル空間の双対空間は、 偶関数を で消えるもの、奇関数を で消えるものとみなすことによって、超ベクトル空間とみなすことができます。^[4]同様に、を から への線型写像の空間（純粋に偶な超ベクトル空間と考えられる基本体）と、前の節で与えた段階的変化によって定義することもできます。 ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{1|0}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

直和

超ベクトル空間の直和は、次式で与えられる次数を持つ非次数の場合と同様に構成される。

${\displaystyle (V\oplus W)_{0}=V_{0}\oplus W_{0},}$

${\displaystyle (V\oplus W)_{1}=V_{1}\oplus W_{1}.}$

テンソル積

超ベクトル空間のテンソル積を構成することもできる。ここでは加法構造が作用する。基底空間は次数なしの場合と同じであり、次数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{j+k=i}V_{j}\otimes W_{k},}$

ここで、添え字はである。具体的には、 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{0}=(V_{0}\otimes W_{0})\oplus (V_{1}\otimes W_{1}),}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{1}=(V_{0}\otimes W_{1})\oplus (V_{1}\otimes W_{0}).}$

スーパーモジュール

体上のベクトル空間を可換環上の加群に一般化できるのと同様に、体上の超ベクトル空間を超可換代数（または環）上の超加群に一般化できます。

超ベクトル空間を扱う際の一般的な構成は、スカラー体を超可換グラスマン代数に拡大することである。体 ${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle R=\mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]}$

は反可換奇元によって生成されるグラスマン代数を表す。 上の任意の超ベクトル空間は、 （次数付き）テンソル積を考えることによって、上の加群に埋め込むことができる。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]\otimes V.}$

超ベクトル空間のカテゴリ

で表される超ベクトル空間のカテゴリは、そのオブジェクトが（固定された体上の）超ベクトル空間であり、その射が偶線形変換（つまり、次数を保存する変換） であるカテゴリです。 ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

超線型代数への圏論的アプローチは、まず通常の（次数のない）代数的対象に関する定義と定理を圏論の言語で定式化し、次にそれらを超ベクトル空間の圏に直接移すことである。これにより、超代数、リー超代数、超群などの「超対象」の扱いが、次数のない対象と完全に類似したものとなる。

このカテゴリは、モノイド積として超テンソル積、単位対象として 純偶超ベクトル空間を持つモノイドカテゴリである。対合的編組作用素は ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{1|0}}$

${\displaystyle \tau _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V,}$

与えられた

${\displaystyle \tau _{V,W}(x\otimes y)=(-1)^{|x||y|}y\otimes x}$

同次元上の は、対称モノイド圏に変換されます。この可換同型性は、超線型代数に不可欠な「符号の規則」を符号化しています。これは、2つの奇数元が入れ替わるたびにマイナス符号が付けられることを意味します。上記の演算子が適切な場所で使用されている限り、圏論的な設定では符号を気にする必要はありません。 ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$

${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$は、内部Hom対象,を持つ閉モノイド圏でもあり、これはから へのすべての線型写像のスーパーベクトル空間によって与えられる。通常集合はその中の偶部分空間である。 ${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)=\mathbf {Hom} (V,W)_{0}.}$

が閉じているという事実は、関数が関数の左随伴であり、自然一対一であることが前提であることを意味する。 ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$ ${\displaystyle -\otimes V}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathbf {Hom} (V,W)).}$

超代数

上の超代数は、乗法写像を持つ超ベクトル空間として記述できる。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},}$

は超ベクトル空間準同型である。これは^{[5]を要求することと同等である。}

${\displaystyle |ab|=|a|+|b|,\quad a,b\in {\mathcal {A}}}$

結合法則と恒等式の存在は通常の可換図式で表現できるため、上の単位結合超代数はカテゴリ のモノイドになります。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$

注記

1. バラダラジャン 2004, p. 83
2. バラダラジャン 2004, p. 83
3. バラダラジャン 2004, p. 83
4. バラダラジャン 2004, p. 84
5. バラダラジャン 2004, p. 87

参考文献

• Deligne, P. ; Morgan, JW (1999). 「超対称性に関するノート（ジョセフ・バーンスタインに倣って）」 . 『量子場と弦：数学者のための講座』第1巻.アメリカ数学会. pp.  41– 97. ISBN 0-8218-2012-5– IAS経由。

• Varadarajan, VS (2004). 数学者のための超対称性：入門. Courant Lecture Notes in Mathematics. 第11巻. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-3574-6。

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