スーパーオペレーター

In physics, a linear operator acting on a vector space of linear operators

物理学において、超演算子は線形演算子のベクトル空間に作用する線形演算子である。^[1]

この用語は、より具体的には、引数のトレースが保存されるか増加しない完全な正写像を指すこともあります。この特殊な意味は、量子コンピューティング、特に量子プログラミングの分野で広く用いられており、密度行列間の写像を特徴づけています。

ここでの接頭辞「super-」の使用は、数理物理学における他の用法とは全く関係がありません。つまり、超演算子は、数環をグラスマン数を含むように拡張することで定義される通常の数学概念の拡張である超対称性や超代数とは何の関係もありません。超演算子自体も演算子であるため、 「super-」接頭辞の使用は、それらが作用する演算子と区別するために用いられます。

左/右乗算

基礎となるヒルベルト空間の基底の選択を固定します。 ${\displaystyle \{|i\rangle \}_{i}}$

左乗法超演算子と右乗法超演算子をそれぞれと定義すると、交換演算子は次のように表すことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)[\rho ]=A\rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)[\rho ]=\rho A}$

${\displaystyle [A,\rho ]={\mathcal {L}}(A)[\rho ]-{\mathcal {R}}(A)[\rho ].}$

次に、マッピングである行列をベクトル化する。 ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|\mapsto |\rho \rangle \!\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \otimes |j\rangle ,}$

ここで、はフォック・リウヴィル空間のベクトルを表す。の行列表現は、同じ写像を用いて計算される。 ${\displaystyle |\cdot \rangle \!\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)}$

${\displaystyle A\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}A|i\rangle \langle j|\mapsto \sum _{i,j}\rho _{ij}(A|i\rangle )\otimes |j\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)(|i\rangle \otimes |j\rangle )=(A\otimes I)|\rho \rangle \!\rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],}$

は であることを示しています。同様に であることを示すこともできます。これらの表現により、超演算子に関連付けられた固有値などを計算することができます。これらの固有値は、リンドブラッド超演算子の固有値の実部が量子系が緩和するかどうかを示す、開放量子系の分野で特に有用です。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=A\otimes I}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)=(I\otimes A^{T})}$

例

フォン・ノイマン方程式

量子力学ではシュレーディンガー方程式は、

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$、

状態ベクトルを状態ベクトルにマッピングする演算子であるハミルトニアンの作用によって状態ベクトルの時間発展を表現します。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

ジョン・フォン・ノイマンのより一般的な定式化では、統計的状態と集団は状態ベクトルではなく密度作用素によって表現される。この文脈では、密度作用素の時間発展はフォン・ノイマン方程式によって表現され、この方程式では、密度作用素は作用素を作用素に写像する超作用素 によって作用される。超作用素は、ハミルトン作用素に関して交換子をとることによって定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\mathcal {H}}[\rho ]}$

どこ

${\displaystyle {\mathcal {H}}[\rho ]=[{\hat {H}},\rho ]\equiv {\hat {H}}\rho -\rho {\hat {H}}}$

量子力学では交換子括弧が広く使用されているため、ハミルトニアンの作用のこの明示的なスーパー演算子の表現は通常省略されます。

作用素空間上の関数の微分

たとえば、位置演算子と運動量演算子の関数として粒子の量子力学的ハミルトニアンを定義するときのように、演算子の演算子値関数を考えるとき、演算子を演算子にマッピングするスーパー演算子 として「演算子微分」を定義できます (理由は問いません) 。 ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}({\hat {P}})}$ ${\displaystyle {\frac {\Delta {\hat {H}}}{\Delta {\hat {P}}}}}$

たとえば、その演算子導関数は次のように定義されるスーパー演算子です。 ${\displaystyle H(P)=P^{3}=PPP}$

${\displaystyle {\frac {\Delta H}{\Delta P}}[X]=XP^{2}+PXP+P^{2}X}$

この「作用素微分」とは、単に（作用素の）関数のヤコビ行列です。ここでは、作用素の入力と出力をベクトルとして扱い、作用素の空間をある基底で展開します。ヤコビ行列は、（作用素のベクトル空間に作用する）（より抽象度の高い）作用素です。

参考文献

1. ジョン・プレスキル、カリフォルニア工科大学量子計算コースの講義ノート、第3章、[1]

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