超粒子比

数学において、超特異比は、超特異数またはエピモリック比とも呼ばれ、連続する 2 つの整数の比です。

より具体的には、比率は次の形式になります。

{\frac {n+1}{n}}=1+{\frac {1}{n}}

ここで、

nは

正の整数です。

したがって：

超特殊数とは、大きな数の中に、比較対象となるより小さな数と、同時にその数の一部分が含まれている数です。例えば、3と2を比較すると、それぞれに2が含まれており、さらに3には2の半分である1が含まれています。3と4を比較すると、それぞれに3が含まれており、4には3の3分の1である1が含まれています。また、5と4を比較すると、それぞれに4が含まれており、5には4の4分の1である1が含まれています。以下同様です。

— スループ（2006）^[1]

超特異比はニコマコスの著書『算術入門』で論じられている。これらの数は現代純粋数学にも応用されているが、この名称で最も頻繁に超特異比と呼ばれる研究分野は音楽理論^[2]と数学史^[3]である。

数学的性質

レオンハルト・オイラーが指摘したように、超分数（単位分数に1以外の整数を加算してできる数である乗超分数比も含む）は、単連分数が2項で終わる有理数と全く同じである。連分数が1項で終わる数は整数であり、残りの数、つまり連分数が3項以上になる数は超分数である。^[4]

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\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdots =2\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

無理数 $π$ は、超特異比とその逆数の積としていくつかの方法で表すことができます。また、πのライプニッツの公式を、各項が分子に素数、分母に最も近い4の倍数を持つ超特異比のオイラー積に変換することも可能であり、その式は次のようになります。 ^[5]

{\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdots

グラフ理論では、超特異数（あるいはその逆数、1/2、2/3、3/4など）は、エルデシュ・ストーン定理によって、無限グラフの上密度の可能な値として生じる。 ^[6]

その他のアプリケーション

和声学においては、多くの音程は超特異比として表現できる（例えば、オクターブ等価性により、第9倍音9/1は超特異比9/8として表現できる）。実際、比が超特異であるかどうかは、プトレマイオスの音楽和声の定式化において最も重要な基準であった。^[7]この応用において、シュテルマーの定理は、与えられた極限におけるすべての可能な超特異数を列挙するために用いることができる。つまり、分子と分母の両方が滑らかな数であるこのタイプのすべての比を列挙することができる。^[2]

これらの比率は視覚的な調和においても重要です。デジタル写真では4:3と3:2のアスペクト比が一般的であり^[8]、中判写真では7:6、大判写真では5:4のアスペクト比がそれぞれ使用されます^[9]。

比率名と関連する間隔

隣接する正の整数のペアはすべて超特異比を表し、同様に、倍音列（音楽）における隣接する倍音のペアはすべて超特異比を表します。多くの超特異比は、歴史数学または音楽理論において独自の名前を持っています。例えば、以下のようなものがあります。

例
比率	セント	名前/音程	ベン・ジョンストン記法（C上）
2:1	1200	デュプレックス: ^[a] オクターブ	C'
3:2	701.96	sesquialterum: ^[a] 完全五度	G
4:3	498.04	セスキテルティウム：^[a] 完全4度	F
5:4	386.31	sesquiquartum: ^[a] 長3度	E
6時5分	315.64	sesquiquintum: ^[a] 短3度	E ♭
7時6分	266.87	短7度音程	E ♭
8時7分	231.17	7度音程の長2度	D -
9時8分	203.91	セスキオクタヴム: ^[a] 長二度	D
10:9	182.40	セスキノナ: ^[a]短調	D -
11時10分	165.00	より大きい小数点中立秒	D ↑ ♭ -
12時11分	150.64	小数点以下の中立秒	D ↓
15:14	119.44	七分音階半音	C ＃
16時15分	111.73	全音階の半音	D ♭ -
17時16分	104.96	短音階半音	C ＃
21時20分	84.47	七分音階半音	D ♭
25:24	70.67	半音のみ	ハ＃
28:27	62.96	七分音	D ♭ -
32:31	54.96	第31低調波、下四分音	D ♭ -
49:48	35.70	七分音節	D ♭
50:49	34.98	七分音	B ＃ -
64:63	27.26	7分音符、 63番目の分数音	C -
81:80	21.51	同調コンマ	C +
126:125	13.79	7分音符	D
128:127	13.58	127番目の分数調波
225:224	7.71	中隔クレイスマ	B ＃
256:255	6.78	255番目の分数調波	D -
4375:4374	0.40	ラギスマ	C ＃ -

これらの用語の語源は、ラテン語のsesqui-「1.5」（semis「半分」と-que「そして」に由来）で、3:2 の比率を表します。

注記

^ abcdefg 古代の名前

引用

^ スループ、プリシラ（2006年）『セビリアのイシドロスの語源：完全英訳』第1巻、p. III.6.12、n. 7。ISBN 978-1-4116-6523-1。
^ ab Halsey, GD; Hewitt, Edwin (1972). 「音楽における超特異比についてさらに詳しく」American Mathematical Monthly . 79 (10): 1096– 1100. doi :10.2307/2317424. JSTOR 2317424. MR 0313189.
^ ロブソン、エレノア；ステダル、ジャクリーン（2008年）、オックスフォード数学史ハンドブック、オックスフォード大学出版局、ISBN 9780191607448本書の123～124ページでは、超比を含む様々なタイプへの比の分類と、この分類がニコマコスからボエティウス、カンパヌス、オレームス、クラウィウスへと受け継がれてきた伝統について論じています。
^ レオンハルト・オイラー; Myra F. WymanとBostwick F. Wymanによる英訳 (1985)、「連分数に関するエッセイ」(PDF)、数学システム理論、18 : 295– 328、doi :10.1007/bf01699475、hdl : 1811/32133、S2CID 126941824 {{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)特に304ページを参照してください。
^ デブナス、ロケナス（2010年）、レオンハルト・オイラーの遺産：300周年記念、ワールド・サイエンティフィック、p. 214、ISBN 9781848165267。
^ エルデシュ, P. ;ストーン, AH (1946). 「線型グラフの構造について」.アメリカ数学会報. 52 (12): 1087–1091 . doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08715-7 .
^ バーバー、ジェームズ・マレー（2004年）、調律と気質：歴史的概観、クーリエ・ドーバー出版、23ページ、ISBN 9780486434063プトレマイオスの調律における最も重要な原則は、超比の使用でした。。
^ アン、トム（2011）、デジタル写真の基礎、ペンギン、p.107、ISBN 9780756685263アン氏は、16:9 (ワイドスクリーン) のアスペクト比もデジタル写真の一般的な選択肢であると指摘していますが、4:3 や 3:2 とは異なり、この比率はそれほど特別なものではありません。
^ 中判7:6のアスペクト比は、中判120フィルムで実現可能な複数のアスペクト比の一つであり、5:4のアスペクト比は、大判フィルムの一般的な2つのサイズ、4×5インチと8×10インチで実現されます。例えば、Schaub, George (1999)『How to Photograph the Outdoors in Black and White』How to Photograph Series, vol. 9, Stackpole Books, p. 43, ISBNを参照。 9780811724500。

外部リンク

David Canright によるペンタトニックスケールの構築に適用される超特殊数。
De Institutione Arithmetica, liber II by Anicius Manlius Severinus Boethius

[Ancient_name-10] 古代の名前

[1] スループ、プリシラ（2006年）『セビリアのイシドロスの語源：完全英訳』第1巻、p. III.6.12、n. 7。ISBN 978-1-4116-6523-1。

[hh-2] Halsey, GD; Hewitt, Edwin (1972). 「音楽における超特異比についてさらに詳しく」American Mathematical Monthly . 79 (10): 1096– 1100. doi :10.2307/2317424. JSTOR 2317424. MR 0313189.

[3] ロブソン、エレノア；ステダル、ジャクリーン（2008年）、オックスフォード数学史ハンドブック、オックスフォード大学出版局、ISBN 9780191607448本書の123～124ページでは、超比を含む様々なタイプへの比の分類と、この分類がニコマコスからボエティウス、カンパヌス、オレームス、クラウィウスへと受け継がれてきた伝統について論じています。

[4] レオンハルト・オイラー; Myra F. WymanとBostwick F. Wymanによる英訳 (1985)、「連分数に関するエッセイ」(PDF)、数学システム理論、18 : 295– 328、doi :10.1007/bf01699475、hdl : 1811/32133、S2CID 126941824 {{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)特に304ページを参照してください。

[5] デブナス、ロケナス（2010年）、レオンハルト・オイラーの遺産：300周年記念、ワールド・サイエンティフィック、p. 214、ISBN 9781848165267。

[6] エルデシュ, P. ;ストーン, AH (1946). 「線型グラフの構造について」.アメリカ数学会報. 52 (12): 1087–1091 . doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08715-7 .

[7] バーバー、ジェームズ・マレー（2004年）、調律と気質：歴史的概観、クーリエ・ドーバー出版、23ページ、ISBN 9780486434063プトレマイオスの調律における最も重要な原則は、超比の使用でした。。

[8] アン、トム（2011）、デジタル写真の基礎、ペンギン、p.107、ISBN 9780756685263アン氏は、16:9 (ワイドスクリーン) のアスペクト比もデジタル写真の一般的な選択肢であると指摘していますが、4:3 や 3:2 とは異なり、この比率はそれほど特別なものではありません。

[9] 中判7:6のアスペクト比は、中判120フィルムで実現可能な複数のアスペクト比の一つであり、5:4のアスペクト比は、大判フィルムの一般的な2つのサイズ、4×5インチと8×10インチで実現されます。例えば、Schaub, George (1999)『How to Photograph the Outdoors in Black and White』How to Photograph Series, vol. 9, Stackpole Books, p. 43, ISBNを参照。 9780811724500。