対称閉鎖

数学において、集合上の二項関係の対称閉包とは、集合上の最小の対称関係のうち、 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R.}$

例えば、 が空港の集合で「 から空港への直行便がある」という意味である場合、 の対称閉包は「 からへ、または からへの直行便がある 」という関係です。また、 が人間の集合で が「 の親」関係である場合、 の対称閉包は「は の親または子である」という関係です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

意味

集合上の関係の対称閉包は次のように与えられる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle S=R\cup \{(y,x):(x,y)\in R\}.}$$

言い換えれば、 の対称閉包はとその逆の関係との和集合である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\operatorname {T} }.}$

参照

• 推移閉包 – 与えられた二項関係を含む最小の推移関係
• 反射的閉鎖

参考文献

• フランツ・バーダー、トビアス・ニプコウ著『Term Rewriting and All That』ケンブリッジ大学出版局、1998年、8ページ

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