対称確率分布

Type of probability distribution

連続確率分布、具体的には標準正規分布の対称分布。平均 (0) を中心に完全な対称性を示します。

対称離散分布、具体的には試行回数が 10 回で成功確率が 0.5 の二項分布。

統計学において、対称確率分布とは、確率分布（起こり得る事象に対する確率の割り当て）の一種であり、その確率密度関数（連続確率分布の場合）または確率質量関数（離散確率変数の場合）が、分布で表される確率変数のある値における垂直線を中心として反転しても変化しない分布である。この垂直線は、分布の対称線である。したがって、対称となる値の一方の側における任意の距離にある確率は、その値の反対側における同じ距離にある確率と同じである。

正式な定義

確率分布が対称であるとは、次のような値が存在する場合のみである。 ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x_{0}-\delta )=f(x_{0}+\delta )}$すべての実数について ${\displaystyle \delta ,}$

ここで、fは、分布が連続している場合は確率密度関数、分布が離散している場合は確率質量関数です。

多変量分布

鏡面対称性という意味での対称性の度合いは、カイラル指数を用いて多変量分布に対して定量的に評価することができる。カイラル指数は[0;1]の区間の値を取り、分布が鏡面対称である場合にのみ零となる。^[1]したがって、d変量分布は、カイラル指数が零であるときに鏡面対称であると定義される。分布は離散的でも連続的でも良く、密度の存在は必須ではないが、慣性は有限かつ零でないことが必要である。単変量の場合、この指数は対称性の非パラメトリック検定として提案された。^[2]

連続対称球面分布について、ミール・M・アリは次のように定義した。n次元ユークリッド空間における絶対連続型の球対称分布の類を、原点を中心とし、半径が有限または無限大で、それ以外の場所では0である球面内の結合密度が となる分布とする。^[3] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=g(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})}$

プロパティ

• 対称分布の中央値と平均値（存在する場合）はどちらも対称性が生じる点に発生します。 ^[4] ${\displaystyle x_{0}}$
• 対称分布が単峰性である場合、最頻値は中央値および平均と一致します。
• 対称分布の奇数中心モーメントはすべてゼロになります（存在する場合）。これは、そのようなモーメントの計算において、 からの負の偏差から生じる負の項が、からの等しい正の偏差から生じる正の項と正確にバランスするためです。 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• 対称分布の場合、歪度のあらゆる尺度はゼロになります。

単峰性の場合

例の一部

以下の分布は、すべてのパラメータ化に対して対称です。（他の多くの分布は、特定のパラメータ化に対して対称です。）

名前	分布
逆正弦分布	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}$0 ≤  x  ≤ 1 の場合 ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$(0,1) 上
ベイツ分布	${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {n}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(nx-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(nx-k)}$
コーシー分布	${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi \gamma }\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$
シャンパーノーン分布	${\displaystyle f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,}$
連続均一分布	${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}}$
退化した分布	${\displaystyle F_{k_{0}}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\geq k_{0}\\0,&{\mbox{if }}x<k_{0}\end{matrix}}\right.}$
離散一様分布	${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$
楕円分布	${\displaystyle f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))}$
ガウスq分布	${\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}}$
非対称パラメータがゼロの双曲線分布	${\displaystyle {\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}}$ ${\displaystyle K_{\lambda }}$第二種修正ベッセル関数を表す
一般化正規分布	${\displaystyle {\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-(|x-\mu |/\alpha )^{\beta }}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ガンマ関数を表す
双曲正割分布	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\;\operatorname {sech} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\!,}$
ラプラス分布	${\displaystyle f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\text{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\text{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}$
アーウィン・ホール分布	${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(x-k)}$
ロジスティック分布	${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}}$
正規分布	${\displaystyle \varphi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}}$
正規指数ガンマ分布	${\displaystyle f(x;\mu ,k,\theta )\propto \exp {\left({\frac {(x-\mu )^{2}}{4\theta ^{2}}}\right)}D_{-2k-1}\left({\frac {|x-\mu |}{\theta }}\right)}$
ラデマッハ分布	${\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.}$
レイズドコサイン分布	${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,}$
学生の分布	${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}},\!}$
U-二次分布	${\displaystyle f(x|a,b,\alpha ,\beta )=\alpha \left(x-\beta \right)^{2},\quad {\text{for }}x\in [a,b].}$
フォークト分布	${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',}$
フォン・ミーゼス分布	${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(x-\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}$
ウィグナー半円分布	${\displaystyle f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,}$

参考文献

1. Petitjean, M. (2002). 「キラル混合物」(PDF) . Journal of Mathematical Physics . 43 (8): 4147– 4157. Bibcode :2002JMP....43.4147P. doi :10.1063/1.1484559.
2. Petitjean, M (2020). 「一様則の場合と正規則の場合における経験的カイラル指数の分布の分位数表」arXiv : 2005.09960 [stat.ME].
3. Ali, Mir M. (1980). 「連続対称球状クラスにおける正規分布の特徴づけ」.英国王立統計学会誌. シリーズB (方法論) . 42 (2): 162– 164. doi :10.1111/j.2517-6161.1980.tb01113.x. JSTOR  2984955.
4. デッキング, FM; クラアイカンプ, C.; ロプハー, HP; ミースター, LE (2005). 『確率と統計の現代的入門：なぜ、どのように理解するのか』 シュプリンガー・フェアラーク・ロンドン. p. 68. ISBN 978-1-84628-168-6。

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