対称関数

変数のあらゆる順列に対して不変な関数

数学において、変数関数は、引数の順序に関わらず値が同じである場合に対称関数と呼ばれます。例えば、2引数の関数が対称関数である場合、すべてのおよびに対しておよびがの領域内にあることが条件となります。最も一般的に見られる対称関数は多項式関数であり、これは対称多項式によって与えられます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2}\right)=f\left(x_{2},x_{1}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{2},x_{1}\right)}$ ${\displaystyle f.}$

関連する概念として、変数の交換によって符号が変化する交代多項式があります。多項式関数以外にも、複数のベクトルの関数として作用するテンソルは対称となる可能性があり、実際、ベクトル空間上の対称 -テンソルの空間は、ベクトル空間上の次数 の同次多項式の空間と同型です。対称関数は、異なる種類の対称性を持つ偶関数や奇関数と混同してはいけません。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V.}$

対称化

アーベル群の値を持つ変数の任意の関数が与えられた場合、引数のすべての順列にわたって の値を合計することで対称関数を構築できます。同様に、偶数順列にわたって合計し、奇数順列にわたって合計を引くことで反対称関数を構築できます。これらの操作は当然逆ではなく、自明でない関数に対して常にゼロとなる関数になる可能性があります。対称化と反対称化の両方が既知である場合に を復元できる唯一の一般的なケースはのときであり、アーベル群は 2 で割ること（2 倍の逆）が許されます。この場合、 は対称化と反対称化の合計の半分に等しくなります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle f}$

例

• 実関数を考えてみましょう。定義により、変数を持つ対称関数は次のような性質を持ちます。一般に、関数は変数のあらゆる順列に対して同じままです。つまり、この場合、そして以下同様に、すべての変数の順列に対して、 $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}}$$ $${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$
• 関数を考えてみましょ う。とを入れ替えると、関数はとなり、元の関数と全く同じ結果になります。 $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}$$ ${\displaystyle f(x,y).}$
• ここで関数を考えてみましょう。とが入れ替わると、関数は になります。この関数は元の関数と同じではないため、非対称になります。 $${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$$ ${\displaystyle a\neq b,}$

アプリケーション

U統計

統計学において、 -標本統計量（変数の関数）のうち、 -標本統計量のブートストラップ対称化によって得られる変数の対称関数は、 U統計量と呼ばれます。例としては、標本平均や標本分散などが挙げられます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

参照

• 交代多項式
• 初等対称多項式 – 数学関数
• 偶関数と奇関数 – f(–x) が f(x) または –f(x) に等しい関数
• 交換可能な確率変数 – 統計学の概念
• 準対称関数
• 対称関数の環
• 対称化
• ヴァンデルモンド多項式 – ペアワイズ差の積

参考文献

• FN David、MG Kendall、DE Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables、Cambridge University Press。
• Joseph PS Kung、Gian-Carlo Rota、およびCatherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way、§5.1 対称関数、pp 222–5、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-73794-4。

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