接ベクトル

Vector tangent to a curve or surface at a given point

数学において、接ベクトルとは、与えられた点において曲線または曲面に接するベクトルのことです。接ベクトルは、曲線の微分幾何学において、 R ⁿ内の曲線の文脈で記述されます。より一般的には、接ベクトルは微分可能多様体の接空間の要素です。接ベクトルは、芽を用いて記述することもできます。正式には、点 における接ベクトルは、 における芽の集合によって定義される代数の線型微分です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

動機

接ベクトルの一般的な定義に進む前に、微積分におけるその使用法とテンソルの性質について説明します。

微積分

をパラメトリックな滑らかな曲線とします。接線ベクトルは、それが存在し、かつ であるならば、で与えられます。ここで、パラメータtに関する微分を示すために、通常のドットの代わりにプライムを使用しています。^[1]単位接線ベクトルは で与えられます。 ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)\neq \mathbf {0} }$ $${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\,.}$$

例

における曲線が与えられたとき、における単位接ベクトルは次のように与えられます。ここで、接ベクトルの成分は、曲線の各対応する成分をについて微分することで求められます。 $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left\{\left(1+t^{2},e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle t=0}$ $${\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} '(0)}{\|\mathbf {r} '(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},-\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.}$$ ${\displaystyle t}$

反変性

がn次元座標系x ⁱ（ここでは通常の下付き文字の代わりに上付き文字を添え字として使用しています）でパラメトリックに与えられている場合、または接線ベクトル場は で与えられます 。座標変換の下で、 u ⁱ座標系における接線ベクトルは で与えられます 。ここで、アインシュタインの総和規則を使用しています。したがって、滑らかな曲線の接線ベクトルは、座標変換の下で1次の反変テンソルとして変換されます。 ^[2] ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}$ $${\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,}$$ ${\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}$ $${\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.}$$ $${\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n}$$ ${\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}$ $${\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}}$$

定義

を微分可能関数とし、をにおけるベクトルとする。点における 方向の方向微分をで定義する。すると、点における接ベクトルは^[3]で定義される。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (\nabla _{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.}$$

性質

を微分可能関数とし、におけるの接ベクトルとし、 とします。すると ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}$
3. ${\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.}$

多様体上の接ベクトル

を微分可能多様体とし、を上の実数値微分可能関数の代数とします。すると、多様体上の点における への接ベクトルは、微分によって与えられ、これは線型となります。つまり、任意の と に対して、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,g\in A(M)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.}$

微分は定義によりライプニッツの性質を持つことに留意してください。

${\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.}$

参照

• 微分可能曲線 § 接ベクトル
• 微分可能曲面 § 接平面と法ベクトル

参考文献

1. J. Stewart (2001 )
2. D. Kay (1988)

参考文献

• Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces , Boca Raton: CRC Press.
• Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts , Australia: Thomson/Brooks/Cole.
• ケイ、デイビッド（1988年）、ショームズ著『テンソル計算の理論と問題の概要』、ニューヨーク：マグロウヒル.

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