円錐

Geometric shape

円錐
底辺の半径がr、高さがh、斜辺の高さがc、角度がθの直円錐。
タイプ	実体図
顔	1つの円形面と1つの円錐面
オイラー文字。	2
対称群	O(2)
表面積	π r 2 + π rℓ
音量	( π r 2 h )/3

直円錐と斜円錐

無限に伸びていない二重円錐

幾何学において、円錐は平らな底面 (通常は円)から、頂点と呼ばれる底面に含まれない点に向かって滑らかに細くなる3次元図形です。

円錐は、線分、半直線、または共通点（頂点）と底辺上のすべての点を結ぶ直線の集合によって形成されます。線分の場合、円錐は底辺を超えて伸びませんが、半直線の場合、円錐は無限に伸びます。直線の場合、円錐は頂点から両方向に無限に伸びます。この場合、円錐は二重円錐と呼ばれることがあります。頂点で分割された二重円錐の2つの半分はそれぞれナップと呼ばれます。。

底辺は、著者によって、円、平面上の任意の1次元二次形式、任意の1次元閉図形、または上記のいずれかに加えて囲まれた点すべてに限定される場合があります。囲まれた点が底辺に含まれる場合、円錐は立体です。囲まれていない場合は、開面、つまり3次元空間内の2次元オブジェクトです。立体の場合、これらの線または部分線によって形成される境界は側面と呼ばれます。側面が境界を持たない場合、円錐面です。

円錐の軸は、円錐が円対称になる頂点を通る直線です。初等幾何学では、一般的に円錐は直円、すなわち軸に垂直な円の底面を持つものとされる。 ^[1]円錐が直円の場合、平面と側面の交差は円錐断面となる。しかし、一般的には底面はどのような形でも良く^[2]、頂点はどこにあっても構わない（ただし、通常は底面は有界であるため面積は有限で、頂点は底面の平面の外側にあると仮定される）。直円錐とは対照的に斜円錐は、軸が底面の中心を垂直に通過しないものである。^[3]

文脈に応じて、円錐はより狭義には凸円錐または射影円錐を指すことがあります。円錐は高次元に一般化できます。

さらなる用語

円錐の底辺の周囲は準線と呼ばれ、準線と頂点の間の線分はそれぞれ、円錐の側面の母線または生成線です。（この準線の意味と円錐曲線の準線の関係については、ダンデリン球を参照してください。）

円錐の底半径はその底部の半径です。これは単に円錐の半径と呼ばれることもあります。直円錐の開口角は、 2本の母線間の最大角度である。母線が軸に対して角度θをなす場合、開口角は2θとなる。光学では、角度θは円錐の半角。開口部と区別するためです。

1734 年にActa Eriditorumで出版された問題の数学からのイラスト

傾斜面で切断された円錐

頂点を含む領域が平面で切り取られた円錐は、切頂円錐と呼ばれます。切頂面が円錐の底面と平行な場合は、円錐台と呼ばれます。^[1] 楕円円錐は、底面が楕円形の円錐です。^[1]一般化円錐 は、頂点と境界上のすべての点を通る線の集合によって作成される面です（可視包を参照）。

測定と方程式

音量

円錐の体積は、直径と高さが等しい円柱の3分の1であることを言葉なしで証明する

1.	円錐と円柱の半径はr、高さはh です。
2.	高さをh' = r √ πにスケーリングすると、体積比は維持されます。
3.	薄くスライスして切ります。
4.	カヴァリエリの原理を使用して、各スライスを同じ面積の正方形に変形します。
5.	ピラミッドは2回複製されます。
6.	これらを立方体に組み合わせると、体積比は 1:3 になります。

円錐体の体積は 底面積と高さの積の3分の1である^[4] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{B}}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{B}h.}$$

現代数学では、この式は微積分を使って簡単に計算できる。係数が の場合、積分は ${\displaystyle A_{B}=k\cdot h}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \int _{0}^{h}kx^{2}\,dx={\tfrac {1}{3}}kh^{3}}$$

微積分を用いず、円錐を角錐と比較し、カヴァリエリの原理を適用することで、この式を証明できる。具体的には、円錐を（垂直方向に拡大された）直角錐（立方体の3分の1を形成する）と比較する。この式は、このような微小な議論を用いずには証明できない。円の面積に似ているものの、多面体の面積の2次元公式とは異なり、微積分が登場する前は証明はそれほど厳密ではなく、古代ギリシャ人は尽力法を用いていた。これがヒルベルトの3番目の問題の本質である。より正確に言えば、すべての多面体角錐がはさみ合同（有限の断片に切り離し、別の断片に再配置できる）であるわけではなく、したがって体積は分解の議論のみを用いて計算することはできない。^[5]

重心

均一な密度の円錐体の重心は、底辺の中心から頂点までの 4 分の 1 の距離にあり、両者を結ぶ直線上にあります。

直円錐

音量

半径と高さの円錐の場合、底面積は円なので体積の公式は次のようになります。^[6] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$

$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$$

傾斜高さ

直円錐の斜高は、円錐の底面上の任意の点から、円錐の表面に沿った線分を経由して頂点までの距離です。斜高はで与えられます。ここでは底面の半径、 は高さです。これはピタゴラスの定理によって証明できます。 ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$

表面積

直円錐の側面積は、円錐底の円の半径、円錐の斜高です。^[4] 円錐の底円の表面積は、どの円の場合も同じで、 です。したがって、直円錐の全表面積は、それぞれ次のように表すことができます。 ${\displaystyle LSA=\pi r\ell }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$

• 半径と高さ

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

（底面積と側面面積の合計。この項は斜高といいます） ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

ここでは半径、 は高さです。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$

半径𝑟と斜高ℓが与えられたときの直円錐の全表面積

• 半径と斜高

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r\ell }$

${\displaystyle \pi r(r+\ell )}$

ここで、 は半径、 は斜面の高さです。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$

• 円周と斜高

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)}$

ここでは円周、 は斜高です。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \ell }$

• 頂点の角度と高さ

${\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}}$

ここで、 は頂角、は高さです。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h}$

円形セクター

扇形は、円錐の一方のナップ面を展開することによって得られます。

• 半径R

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

• 弧の長さL

${\displaystyle L=c=2\pi r}$

• 中心角φ（ラジアン）

${\displaystyle \varphi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

方程式形式

円錐の表面は次のようにパラメータ化できる。

${\displaystyle f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),}$

ここで、 は円錐の周りの角度であり、は円錐に沿った高さです。 ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$

高さ、口径 の直円錐は、軸が座標軸で頂点が原点であり、媒介変数で次のように記述される。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}$

ここで、範囲はそれぞれ、、、です。 ${\displaystyle s,t,u}$ ${\displaystyle [0,\theta )}$ ${\displaystyle [0,2\pi )}$ ${\displaystyle [0,h]}$

暗黙の形式では、同じ立体は不等式によって定義される。

${\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}$

どこ

${\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,}$

より一般的には、原点に頂点を持ち、軸がベクトルに平行で、開口部がである直円錐は、次 の暗黙のベクトル方程式で与えられます。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle F(u)=0}$

${\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}$

${\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }$

ここで、 、 はドット積を表します。 ${\displaystyle u=(x,y,z)}$ ${\displaystyle u\cdot d}$

射影幾何学

射影幾何学では、円柱は頂点が無限遠にある円錐であり、視覚的には遠近法で空に向かう円錐のように見える円柱に対応します。

射影幾何学において、円柱とは、頂点が無限遠にある円錐のことである。^{[7]直感的には、底辺を固定し、頂点が無限遠に近づくにつれて極限をとると、辺の角度が}arctanの増加とともに増加し、極限において直角を形成する円柱が得られる。これは、円筒円錐を考慮する必要がある退化円錐の定義において有用である。

GB ハルステッドによれば、円錐はシュタイナー円錐に使用される射影範囲ではなく、射影性と軸線束(遠近法ではない) のみを使用してシュタイナー円錐と同様に生成されます。

「2つの直線でない共点軸線が射影的ではあるが透視的でない場合、相関平面の交わる部分は「2次の円錐面」、つまり「円錐」を形成する。」^[8]

一般化

円錐の定義は高次元に拡張することができます。凸円錐を参照してください。この場合、実ベクトル空間の凸集合 Cが円錐（頂点が原点）であるとは、Cに含まれるすべてのベクトルxとすべての非負の実数aに対して、ベクトルaxがCに含まれることを意味します。^{[2]この文脈では、円錐の類似物は通常特別なものではなく、むしろ}多面体円錐 に関心が寄せられることが多いです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

さらに一般的な概念は位相円錐であり、これは任意の位相空間で定義されます。

参照

• 双円錐形
• 円錐（線形代数）
• 円柱（幾何学）
• デモクリトス
• 楕円錐
• 一般化円錐曲線
• 双曲面
• 図形のリスト
• 高温測定コーン
• 二次曲面
• 軸の回転
• 罫線面
• 軸の移動

注記

1. James, RC ; James, Glenn (1992-07-31). 『数学辞典』 Springer Science & Business Media. pp.  74– 75. ISBN 9780412990410。
2. Grünbaum, Convex Polytopes、第2版、p. 23。
3. Weisstein, Eric W.「Cone」. MathWorld .
4. Alexander, Daniel C.; Koeberlein, Geralyn M. (2014-01-01). 大学生のための初等幾何学. Cengage. ISBN 9781285965901。
5. ハーツホーン、ロビン(2013年11月11日). 幾何学：ユークリッドとその先へ. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. 第27章. ISBN 9780387226767。
6. ブランク、ブライアン・E.、クランツ、スティーブン・ジョージ (2006). 微積分学：一変数. シュプリンガー. 第8章. ISBN 9781931914598。
7. ダウリング、リンネ・ウェイランド（1917年1月1日）『射影幾何学』マグロウヒル社。
8. GB Halsted (1906)総合射影幾何学、20ページ

参考文献

• プロッター、マレー H.; モリー、チャールズ B. ジュニア (1970)、『大学微積分学と解析幾何学』（第 2 版）、アディソン・ウェスレー社、LCCN  76087042

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「コーン」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「二重円錐」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「一般化円錐」。MathWorld。
• Maths Is Funのインタラクティブな回転コーン
• 紙製コーン模型
• 斜円錐の側面積
• 円錐を切る 円錐と平面の交差のインタラクティブなデモンストレーション

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