デジタル遅延線

Audio effect

整数M遅延線の標準的なブロック図表現。^[1]

デジタル遅延線（または単に遅延線、遅延フィルタとも呼ばれる）は、デジタルフィルタ内の個別の要素であり、信号を一定数のサンプル分遅延させることができます。遅延線は、スピーカーに送られる音声信号を遅延させて空気中の音速を補正したり、ビデオ信号を付随する音声と同期させる（いわゆる「オーディオ・ビデオ同期」）ためによく使用されます。遅延線は、電子処理の遅延を補正することで、複数の信号が異なる経路を通ってデバイスから同時に出力されるようにすることができます。

デジタルディレイラインは、室内音響、楽器、エフェクトユニットのシミュレーション手法において広く用いられている構成要素です。デジタルウェーブガイドシンセシスは、弦楽器や管楽器など、様々な楽器の音響合成手法としてデジタルディレイラインがどのように用いられるかを示しています。

遅延線が1未満の非整数値を保持する場合、それは分数遅延線（補間遅延線または分数遅延フィルタとも呼ばれる）となる。整数遅延線と分数遅延フィルタの組み合わせは、デジタル信号処理における任意遅延フィルタのモデル化によく用いられる。^[2] Dattorro方式は、分数遅延線を用いたデジタルフィルタの業界標準実装である。^[3]

理論

整数遅延の標準遅延線は、サンプル遅延された離散時間信号のZ変換から導出される^[4]。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle y[n]=x[n-M]}$ ${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {Z}}}}$ ${\displaystyle Y(z)=\overbrace {z^{-M}} ^{H_{M}(z)}X(z).}$

この場合、整数遅延フィルタは次のようになります。 ${\displaystyle z^{-M}=H_{M}(z)}$

${\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega M,&{\text{linear phase with }}\omega =2\pi fT_{s}{\text{ where }}T_{s}{\text{ is the sampling period in seconds }}[s].\end{cases}}}$

逆ゼータ変換としての整数遅延の離散時間領域フィルタは、 ^[5]によってシフトされたインパルスであるため、自明である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{M}(z)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle h_{m}[n]={\begin{cases}{\text{1}},&{\text{for }}n=M\\0,&{\text{for }}n\neq M.\end{cases}}}$

離散時間領域で分数遅延を扱うのは、それほど簡単ではありません。最も一般的な理論的な形では、任意の分数遅延を持つ遅延線は、遅延 を持つ標準遅延線として定義され、これは整数成分と1サンプル未満の分数成分の和としてモデル化できます。 ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d\in \mathbb {R} }$

（分数）遅延線 -ドメイン ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle H_{D}(z)=z^{-D}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;D=\overbrace {\lfloor D\rfloor } ^{M}+\overbrace {(D-\lfloor D\rfloor )} ^{d}}$

定義1

これは、非自明なデジタルフィルタ設計問題の領域表現である。解は、逆Z変換を表現または近似する任意の時間領域フィルタである。^[2] ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle H_{D}(z)}$

フィルター設計ソリューション

素朴な解決策

概念的に最も簡単な解は、連続時間領域解をサンプリングすることによって得られ、これは任意の遅延値に対して自明である。サンプル数、つまり 秒数だけ遅延された連続時間信号を考えると、次のようになる^[6]。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \tau =DT_{s}}$

${\displaystyle y(t)=x(t-D)}$ ${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle Y(\omega )=\overbrace {e^{-j\omega D}} ^{H_{ideal}(\omega )}X(\omega ).}$

この場合、連続時間領域の非整数遅延フィルタは次のようになります。 ${\displaystyle e^{-j\omega D}=H_{ideal}(\omega )}$

${\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega D,&{\text{linear phase}}\\\tau _{gr}=-{d\measuredangle \over {d\omega }}=D,&{\text{constant group delay}}\\\tau _{ph}=-{\measuredangle \over {\omega }}=-D,&{\text{constant phase delay.}}\end{cases}}}$

サンプリングされたフィルタの単純な解は、サンプリングされた逆フーリエ変換であり、 ^[6]によってシフトされたカーディナルサインの形をした非因果的IIRフィルタを生成する。 ${\displaystyle h_{ideal}[n]}$ ${\displaystyle H_{ideal}(\omega )}$ ${\displaystyle sinc()}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle h_{ideal}[n]={\mathcal {F}}^{-1}[H_{ideal}(\omega )]={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{+\pi }e^{j\omega D}e^{j\omega n}d\omega =sinc(n-D)={sin(\pi (n-D)) \over {\pi (n-D)}}}$

連続時間領域は分数遅延によってシフトされますが、サンプリングは常に直交平面に揃えられます。したがって、 ${\displaystyle sinc}$

• 遅延が整数のサンプル数の場合、サンプルされたシフトは理論解と同様にシフトされたインパルスに退化します。 ${\displaystyle D\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle sinc}$
• 遅延がサンプルの小数点以下の場合、サンプルシフトによって非因果的な IIR フィルタが生成されますが、これは実際には実装できません。 ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle sinc}$

理想的な非整数遅延線は、連続時間領域非整数遅延フィルタの逆フーリエ変換をサンプリングすることによって得られます。整数遅延値の場合、このケースは単純なシフトされたインパルスに退化することに注目してください。このフィルタでサンプリングされた信号を遅延させることは、概念的には、同じサンプリング周期でサンプルアラインメントを だけシフトしたアナログソースを再サンプリングすることと一致します。また、図にはゼロ付近の少数のサンプルしか示されていませんが、非因果的IIRはx軸の両方向に無限数のサンプルに対して定義されていることに注意してください。 ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$

切り捨て因果FIR解

概念的に最も簡単に実装できる解決策は、上記の単純な解決策の因果的切り捨てである。^[7]

${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}sinc(n-D)&{\text{for }}0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{N-1 \over {2}}<D<{N+1 \over {2}}\;\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;\;N\;{\text{is the order of the filter.}}}$

ただし、インパルス応答を切り捨てると不安定性が生じる可能性がありますが、これはいくつかの方法で軽減できます。

• 切り捨てられたインパルス応答に窓関数を適用し、平滑化します。この場合、窓関数と対称フィルタリングを実現するために、さらにシフトを追加する必要があることに注意してください^{[7] [8]}。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle sinc()}$

  ${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}w(n-D)sinc(n-D)&{\text{for }}L\leq n\leq L+N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;L={\begin{cases}round(D)-{N \over {2}}&{\text{for even }}N\\\lfloor D\rfloor -{N-1 \over {2}}&{\text{for odd }}N\end{cases}}}$

• 一般最小二乗法（GLS法）：^[2]は、最小二乗積分誤差設計をウィンドウ処理して周波数応答を反復的に調整し、次のように定義されるフィルタの理想的な周波数応答と切り捨てられた周波数応答の間の二乗積分誤差を最小化します。

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\alpha \pi }^{\alpha \pi }w(\omega )|H_{D}^{truncated}(e^{j\omega })-H_{D}^{id}(e^{j\omega })|^{2}d\omega \;\;\;\;\;{\text{where }}0<\alpha \leq 1{\text{ is the passband width parameter}}}$

• ラグランジュ補間（最大平坦非整数遅延フィルタ）: ^{[9] は}、最小二乗積分誤差のN次微分に「平坦性」制約を付加する。この手法は、閉形式の解を持つことから特に興味深い。

ラグランジュ補間式のブロック図表現。^[10]

${\displaystyle h_{D}[n]=\prod _{k=0,\;k\neq n}^{N}{D-k \over {n-k}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;0\leq n\leq N}$

以下は上記の式を展開したもので、 までの順序のフィルタの結果を表示します。 ${\displaystyle N=3}$

ラグランジュ補間公式の拡張[7]
	${\displaystyle h_{\tau }[0]}$	${\displaystyle h_{\tau }[1]}$	${\displaystyle h_{\tau }[2]}$	${\displaystyle h_{\tau }[3]}$
N = 1	${\displaystyle 1-D}$	${\displaystyle D}$	-	-
N = 2	${\displaystyle {(D-1)(D-2) \over {2}}}$	${\displaystyle -D(D-2)}$	${\displaystyle {D(D-1) \over {2}}}$	-
N = 3	${\displaystyle -{(D-1)(D-2)(D-3) \over {6}}}$	${\displaystyle {D(D-2)(D-3) \over {2}}}$	${\displaystyle -{D(D-1)(D-3) \over {2}}}$	${\displaystyle {D(D-1)(D-2) \over {6}}}$

オールパスIIR位相近似解

もう一つのアプローチは、 Z変換構造を持つ次数のIIRフィルタを設計することである。このフィルタは、遅延を近似しながらも、フィルタをオールパスにすることを強制する。^[7] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle H_{D}(z)={z^{-N}A(z) \over {A(z^{-1})}}={a_{N}+a_{N-1}z^{-1}+...+a_{1}z^{-(N-1)}+z^{-N} \over {1+a_{1}z^{-1}+...+a_{N-1}z^{-(N-1)}+a_{N}z^{-N}}}\;\;\;\;\;{\text{which has}}\;\;\;\;\;{\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB&0dB{\text{ gain}}\\\measuredangle _{H_{D}(z)}=-N\omega +2\measuredangle _{A(z)}=-D\omega &{\text{desired value for delay }}D\end{cases}}}$

の零点と極が互いに逆に配置されたことで周波数応答は平坦化され、位相は位相の関数となる。したがって、問題はFIRフィルタの設計、すなわち、位相が所望の値に最も近づくように、 Dの関数として（常に）係数を求めることになる。^[7] ${\displaystyle A(z){\text{ and }}A(z^{-1})}$ ${\displaystyle |\centerdot |}$ ${\displaystyle A(z)}$ ${\displaystyle A(z)}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle \measuredangle _{H_{D}(z)}=-D\omega }$

主な解決策は次のとおりです。

• 最小二乗位相誤差の反復最小化^[2]は次のように定義される。

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|\underbrace {\underbrace {-D\omega } _{\measuredangle _{ID}}-\underbrace {(-N\omega +2\measuredangle _{A(z)})} _{\measuredangle _{H}}} _{\Delta \measuredangle _{H_{D}}}|^{2}d\omega }$

• 最小二乗位相遅延誤差の反復最小化^[2]は次のように定義される。

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|{{\Delta \measuredangle _{H_{D}}} \over {\omega }}|^{2}}$

• Thiran最大平坦群遅延全極ローパスフィルタ。^[11]これにより、正の遅延の係数を求めるための閉じた解が得られる。 ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle D>0}$

${\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}{\binom {N}{k}}\prod _{l=0}^{N}{D+l \over {D+k+l}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{\binom {n}{k}}={N! \over {k!(N-k)!}}}$

以下は上記の式を展開したもので、 までの係数の結果を表示します。 ${\displaystyle N=3}$

Thiran全極ローパスフィルタ係数式の展開[7]
	${\displaystyle a_{0}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle a_{3}}$
N = 1	1	${\displaystyle -{D-1 \over {D+1}}}$	-	-
N = 2	1	${\displaystyle -2{D-2 \over {D+1}}}$	${\displaystyle {(D-1)(D-2) \over {(D+1)(D+2)}}}$	-
N = 3	1	${\displaystyle -3{D-3 \over {D+1}}}$	${\displaystyle 3{(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)}}}$	${\displaystyle -{(D-1)(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)(D+3)}}}$

商業史

Eventide DDL 1745 デジタルディレイライン

デジタル遅延線は、1973 年にニューヨークのワトキンス グレンロック フェスティバルで 60 万人の観客を集め、遠くのスピーカー タワーに適切な遅延時間を提供するために初めて空気中の音速を補正するために使用されました。ニューヨーク市に拠点を置くEventide Clock Works社は、それぞれ 200 ミリ秒の遅延が可能なデジタル遅延デバイスを提供しました。4 つのスピーカー タワーはステージから 200 フィート (60 メートル) に設置され、メイン ステージのスピーカーと遅延タワー間の音速を補正するために信号が 175 ミリ秒遅延されました。さらに 6 つのスピーカー タワーがステージから 400 フィートに設置され、350 ミリ秒の遅延が必要となり、さらに 6 つのタワーがステージから 600 フィートに設置され、525 ミリ秒の遅延が供給されました。各Eventide DDL 1745モジュールには、1000ビットのシフトレジスタチップ100個と特注のデジタル-アナログコンバータが搭載されており、価格は3,800ドル（2024年には28,565ドルに相当）でした。^{[12] [13]}

参照

• アナログ遅延線
• 遅延線メモリ
• 補間

参考文献

1. 「Mサンプル遅延線」. ccrma.stanford.edu . 2023年7月6日閲覧。
2. ラークソ、ティモ I.;ヴェサ、ヴァリマキ。カルヤライネン、マッティ A. Laine、Unto K. (1996 年 1 月)、「ユニット遅延の分割 [FIR/オール パス フィルター設計]」、IEEE Signal Processing Magazine、vol. 13、いいえ。 1、30 ～ 60 ページ 、 Bibcode : 1996ISPM...13...30L、doi :10.1109/79.482137
3. Smith, Julius O.; Lee, Nelson (2008年6月5日)、「デジタル遅延による計算音響モデリング」、音楽と音響のコンピュータ研究センター、 2007年8月21日閲覧
4. 「遅延線」. ccrma.stanford.edu . 2023年7月6日閲覧。
5. 「オーディオアプリケーションにおけるデジタルフィルタ入門」ccrma.stanford.edu . 2023年7月6日閲覧。
6. 「理想的な帯域制限（Sinc）補間」. ccrma.stanford.edu . 2023年7月6日閲覧。
7. Välimäki, Vesa (1998). 「分数遅延フィルタを用いた音響管の離散時間モデリング」
8. Harris, FJ (1978). 「離散フーリエ変換を用いた調和解析におけるウィンドウの使用について」 . Proceedings of the IEEE . 66 (1): 51– 83. doi :10.1109/proc.1978.10837. ISSN  0018-9219. S2CID  426548.
9. Hermanowicz, E. (1992). 「最大平坦な調整可能なFIR遅延の重み係数の明示的公式」 . Electronics Letters . 28 (20): 1936. doi :10.1049/el:19921239.
10. Smith, Julius (2022年9月5日). 「ラグランジュ補間係数の明示的公式」. ccrma .
11. Thiran, J.-P. (1971). 「最大平坦群遅延を持つ再帰デジタルフィルタ」. IEEE Transactions on Circuit Theory . 18 (6): 659– 664. doi :10.1109/TCT.1971.1083363. ISSN  0018-9324.
12. Nalia Sanchez (2016年7月29日)、「Remembering the Watkins Glen Festival」、Eventide Audio 、 2020年2月20日閲覧。
13. 「DDL 1745 デジタルディレイ」Eventide Audio . 2023年7月22日閲覧。

さらに読む

• バリマキ、ベサ。ティモ、ラークソ。カルジャライネン、マッティ。レイン、アント (1996)。 「ユニット遅延の分割」。IEEE 信号処理マガジン。13 (1): 30–60。書誌コード:1996ISPM...13...30L。doi :10.1109/79.482137 – IEEE Explore 経由。
• ハリス、フレデリック・J. (1978年1月). 「離散フーリエ変換を用いた調和解析におけるウィンドウの使用について」. Proceedings of the IEEE . 66 (1): 51–83 . doi :10.1109/PROC.1978.10837. S2CID  426548.

外部リンク

• ジュリアス・スミス著『デジタルフィルタ入門』
• Julius Smith著「スペクトルオーディオ信号処理」
• Julius Smith による物理的なオーディオ信号処理
• Valimaki Vesaによる分数遅延フィルタを用いた音響管の離散時間モデリング

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