Series whose partial sums eventually only have a fixed number of terms after cancellation
数学 において 、 テレスコープ級数（テレスコープきゅうすい） とは、 一般項が の形 、すなわち 数列 の連続する2つの項の差である級数 である。したがって、級数の部分和は、 相殺後の の2つの項のみで構成される。 [1] [2] t n {\displaystyle t_{n}} t n = a n + 1 − a n {\displaystyle t_{n}=a_{n+1}-a_{n}} ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} ( a n ) {\displaystyle (a_{n})}
各項の一部が次の項の一部と打ち消される打ち消し技法は、 差分法 として知られています。
伸縮級数の和や部分和の公式に関する初期の記述は、エヴァンジェリスタ・トリチェリ の1644年の著書『放物線の 次元について』 に見られる 。 [3]
意味 伸縮するべき級数。 和の記号 ,において 、添え字 n は1 から mまでであることに注意してください。n と m はどちらも 自然数 であるという事実以外には、 何の関係もありません 。 ∑ {\textstyle \sum } 伸縮 和とは、 連続する項の組が部分的に打ち消し合い、最初の項と最後の項の一部だけが残る有限和である。 [1] [4] を 数列の要素とする。すると 、 が極限 に収束する 場合 、伸縮 級数は 次式で表される。 a n {\displaystyle a_{n}} ∑ n = 1 N ( a n − a n − 1 ) = a N − a 0 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}.} a n {\displaystyle a_{n}} L {\displaystyle L} ∑ n = 1 ∞ ( a n − a n − 1 ) = L − a 0 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=L-a_{0}.}
あらゆる級数はそれ自身の部分和の伸縮級数である。 [5]
例 初項 と公比 を持つ 等比 級数 に因数を掛けると 、 伸縮和が得られ、その極限を直接計算することができる。 [6] a {\displaystyle a} r {\displaystyle r} ( 1 − r ) {\displaystyle (1-r)} ( 1 − r ) ∑ n = 0 ∞ a r n = ∑ n = 0 ∞ ( a r n − a r n + 1 ) = a {\displaystyle (1-r)\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(ar^{n}-ar^{n+1}\right)=a} | r | < 1 , {\displaystyle |r|<1,} | r | < 1 , {\displaystyle |r|<1,} ∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 − r . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}.} この級数は プロニック数 の 逆数 級数であり、 部分分数 形式 で書き直すと伸縮級数として認識できる [1] ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}} ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) = lim N → ∞ ∑ n = 1 N ( 1 n − 1 n + 1 ) = lim N → ∞ [ ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ + ( 1 N − 1 N + 1 ) ] = lim N → ∞ [ 1 + ( − 1 2 + 1 2 ) + ( − 1 3 + 1 3 ) + ⋯ + ( − 1 N + 1 N ) − 1 N + 1 ] = lim N → ∞ [ 1 − 1 N + 1 ] = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}} kを 正の整数とします。ここで H k は k 番目 の 調和数 です 。 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + k ) = H k k {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}} k と m （ k, m は正の整数）とします 。 ここで、 は 階乗 を表します 。 ≠ {\displaystyle \neq } ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + k ) ( n + k + 1 ) … ( n + m − 1 ) ( n + m ) = 1 m − k ⋅ k ! m ! {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{m-k}}\cdot {\frac {k!}{m!}}} ! {\displaystyle !} 多くの 三角関数は 差分として表現することができ、これにより連続する項間の相殺が明らかになることがあります。正弦の積に 角度の加法恒等式 を用いると、 次のように収束しません。 ∑ n = 1 N sin ( n ) = ∑ n = 1 N 1 2 csc ( 1 2 ) ( 2 sin ( 1 2 ) sin ( n ) ) = 1 2 csc ( 1 2 ) ∑ n = 1 N ( cos ( 2 n − 1 2 ) − cos ( 2 n + 1 2 ) ) = 1 2 csc ( 1 2 ) ( cos ( 1 2 ) − cos ( 2 N + 1 2 ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right),\end{aligned}}} N → ∞ . {\textstyle N\rightarrow \infty .}
アプリケーション 確率論 において 、 ポアソン過程 とは、最も単純なケースではランダムな時刻に「発生」し、次の発生までの待ち時間は 記憶のない 指数分布 に従い、任意の時間間隔における「発生」回数は、 期待値が時間間隔の長さに比例する ポアソン分布に従う確率過程である。時刻 t までの「発生」回数を X t 、 x 番目の「発生」までの待ち時間を T x とする。確率変数 T x の 確率密度関数 を求める。 ポアソン分布の 確率質量関数 を用いると、以下の式が得られる。
Pr ( X t = x ) = ( λ t ) x e − λ t x ! , {\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},} ここでλは長さ1の任意の時間間隔における平均発生回数である。事象{ X t ≥ x}は事象{ T x ≤ t }と同じであり、したがってそれらは同じ確率を持つことに注意されたい。直感的に、ある事象が時刻 より前に 少なくとも 回発生する場合、 その発生を 最大で 回待つ必要がある 。したがって、求める密度関数は次のようになる
。 x {\displaystyle x} t {\displaystyle t} t {\displaystyle t} x t h {\displaystyle xth}
f ( t ) = d d t Pr ( T x ≤ t ) = d d t Pr ( X t ≥ x ) = d d t ( 1 − Pr ( X t ≤ x − 1 ) ) = d d t ( 1 − ∑ u = 0 x − 1 Pr ( X t = u ) ) = d d t ( 1 − ∑ u = 0 x − 1 ( λ t ) u e − λ t u ! ) = λ e − λ t − e − λ t ∑ u = 1 x − 1 ( λ u t u − 1 ( u − 1 ) ! − λ u + 1 t u u ! ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}} 合計は拡大し、
f ( t ) = λ x t x − 1 e − λ t ( x − 1 ) ! . {\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.} その他のアプリケーションについては、以下を参照してください。
伸縮 積とは 、有限 積 （または無限積の部分積）であり、商の法則によって相殺することで最終的に有限個の因数のみとなる積である。 [7] [8] 伸縮積とは、連続する項が分母と分子を相殺し、最初の項と最後の項のみを残す有限積である。 を数列とする。このとき、
が 1に収束する 場合、結果として得られる積は以下のようになる。 a n {\displaystyle a_{n}} ∏ n = 1 N a n − 1 a n = a 0 a N . {\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}.} a n {\displaystyle a_{n}} ∏ n = 1 ∞ a n − 1 a n = a 0 {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}
例えば、無限積 [7] は
次のように簡略化される。 ∏ n = 2 ∞ ( 1 − 1 n 2 ) {\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)} ∏ n = 2 ∞ ( 1 − 1 n 2 ) = ∏ n = 2 ∞ ( n − 1 ) ( n + 1 ) n 2 = lim N → ∞ ∏ n = 2 N n − 1 n × ∏ n = 2 N n + 1 n = lim N → ∞ [ 1 2 × 2 3 × 3 4 × ⋯ × N − 1 N ] × [ 3 2 × 4 3 × 5 4 × ⋯ × N N − 1 × N + 1 N ] = lim N → ∞ [ 1 2 ] × [ N + 1 N ] = 1 2 × lim N → ∞ [ N + 1 N ] = 1 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}
参考文献 ^ abc アポストル、トム (1967) [1961]. 微積分学 第1巻 （第2版）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp. 386– 387. ^ ブライアン・S・トムソンとアンドリュー・M・ブルックナー『 初等実解析』第2版 、CreateSpace、2008年、85ページ ^ Weil, André (1989). 「ゼータ関数の前史」. Aubert, Karl Egil ; Bombieri, Enrico ; Goldfeld, Dorian (編). 数論、トレース公式、離散群：Atle Selberg記念シンポジウム、オスロ、ノルウェー、1987年7月14日～21日 . マサチューセッツ州ボストン：Academic Press. pp. 1– 9. doi :10.1016/B978-0-12-067570-8.50009-3. MR 0993308. ^ Weisstein, Eric W. 「Telescoping Sum」. MathWorld . Wolfram. ^ アブロウィッツ, マーク・J.; フォカス, アタナシオス・S. (2003). 『複素変数：入門と応用』 （第2版）. ケンブリッジ大学出版局. p. 110. ISBN 978-0-521-53429-1 。 ^ アポストル、トム (1967) [1961]. 微積分学 第1巻 （第2版）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 388. ^ ab 「Telescoping Series - Product」. Brilliant Math & Science Wiki . Brilliant.org . 2020年 2月9日 閲覧 。 ^ アレクサンダー・ボゴモルニー「Telescoping Sums, Series and Products」 Cut the Knot . 2020年 2月9日 閲覧 。
