時間的離散化

Mathematical technique

応用物理学および工学において、時間的離散化は流れの問題などの過渡的な問題を解決するための数学的手法です。

過渡問題は、多くの場合、コンピュータ支援エンジニアリング（CAE）シミュレーションを用いて解かれますが、そのためには支配方程式を空間と時間の両方で離散化する必要があります。時間的離散化とは、様々な方程式の各項を時間ステップ（） にわたって積分することです。 ${\displaystyle \Delta t}$

空間領域は離散化して半離散形式を生成することができる: ^[1] $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}(x,t)=F(\varphi ).~}$$

後方差分を用いた一次時間離散化は^[2] $${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ),}$$

そして2次の離散化は $${\displaystyle {\frac {3\varphi ^{n+1}-4\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}{2\Delta t}}=F(\varphi ),}$$

• ${\displaystyle \varphi }$スカラー​
• ${\displaystyle n+1}$次の時点の値です。 ${\displaystyle t+\Delta t}$
• ${\displaystyle n}$現在の時刻の値です。 ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle n-1}$前回の値です。 ${\displaystyle t-\Delta t}$

この関数は暗黙的および明示的な時間積分を用いて評価される。^[3] ${\displaystyle F(\varphi )}$

説明

時間的離散化は、一般的な離散化方程式を時間的に積分することによって行われます。まず、与えられた制御体積における時間間隔における値を仮定し、次に時間間隔における値を求めます。この手法では、与えられた変数の時間積分は、現在の値と将来の値の加重平均であるとされています。この方程式の積分形は次のように表すことができます。ここで、は0から1の間の重みです。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\Delta t}$ $${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=f\cdot F(\varphi ^{n+1})+(1-f)\cdot F(\varphi ^{n}),}$$ ${\displaystyle f}$

• ${\displaystyle f=0.0}$完全に明示的なスキームを生成します。
• ${\displaystyle f=1.0}$完全に暗黙的なスキームを生成します。
• ${\displaystyle f=0.5}$クランク・ニコルソン方式が得られます。

この積分は、任意の制御体積と任意の離散化変数に対して成立する。拡散項、対流項、および熱源項を完全に離散化した支配方程式に適用すると、次の式が得られる。^[4] $${\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}F(\varphi )\,dt=[f\cdot F_{\varphi }^{t+\Delta t}+(1-f)\cdot F_{\varphi }^{t}]\,\Delta t}$$

機能を評価する方法F（φ）

時間微分を離散化した後、関数の評価が残ります。関数は、陰的積分と陽的積分を用いて評価されます。^[5] ${\displaystyle F(\varphi )}$

暗黙時間積分

このメソッドは将来の時点で関数を評価します。 ${\displaystyle F(\varphi )}$

処方

暗黙時間積分を使用した評価は次のように与えられます。 $${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ^{n+1}),}$$

これは暗黙の積分と呼ばれ、与えられたセルは、次のよう に隣接セルに関連付けられます。 ${\displaystyle \varphi ^{n+1}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}}$ ${\displaystyle F(\varphi ^{n+1})}$ $${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\Delta tF(\varphi ^{n+1}),}$$

陰解法の場合、設定は無条件に安定しており、大きな時間ステップ（）を扱うことができます。しかし、安定性は精度を意味するものではありません。したがって、大きな時間ステップは精度に影響を与え、時間分解能を決定します。しかし、挙動には解決が必要な物理的な時間スケールが関与する可能性があります。 ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$

明示的時間積分

このメソッドは、現在の時刻で関数を評価します。 ${\displaystyle F(\varphi )}$

処方

明示的時間積分を使用した評価は次のように与えられます。 $${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n+1}-\varphi ^{n}}{\Delta t}}=F(\varphi ^{n}),}$$

そして、既存の解の値で明示的に表現できるため、明示的な積分と呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi ^{n+1}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}}$ $${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\Delta t\,F(\varphi ^{n}),}$$

ここで、時間ステップ（）はソルバーの安定限界によって制限されます（つまり、時間ステップはクーラン・フリードリヒス・レヴィ条件によって制限されます）。時間に関して正確であるためには、領域全体で同じ時間ステップを使用する必要があります。また、安定であるためには、時間ステップは領域内のすべての局所時間ステップの最小値である必要があります。この方法は「グローバル時間ステッピング」とも呼ばれます。 ${\displaystyle \Delta t}$

例

多くのスキームでは明示的時間積分が用いられます。そのいくつかを以下に示します。

• ラックス・ウェンドロフ法
• ルンゲ・クッタ法

参照

• クーラント・フリードリッヒ・レヴィ条件。
• フォン・ノイマン安定性解析。
• 有限要素法
• 明示的メソッドと暗黙的メソッド
• チーワン・シュー

参考文献

1. “空間的および時間的な離散化”. 2016年3月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。
2. 空間および時間離散化の選択
3. 「過渡項の離散化」。
4. 「時間的離散化の例」。
5. ジルカ・シムネク

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