Operation that pairs a left and a right R-module into an abelian group
数学 において 、 加群のテンソル積は、 双線型 写像に関する議論（例えば、乗算）を 線型写像 を用いて行えるようにする構成である。加群の構成は ベクトル空間 の テンソル積 の構成に似ているが、可 換環 上の加 群 のペアに対して実行して第3の加群を得ることも、任意の 環 上の右加群と左加群のペアに対して実行し て アーベル群を得ることもできる。テンソル積は、 抽象代数 、 ホモロジー代数 、 代数位相幾何学、代数幾何学 、 作用素代数 、 非可 換幾何学 の分野で重要である 。ベクトル空間のテンソル積の 普遍性は 、抽象代数のより一般的な状況にも拡張される。代数と加群のテンソル積は、 スカラーの拡張 に使用できる 。可換環の場合、モジュールのテンソル積を反復してモジュールの テンソル代数 を形成することができ、モジュール内の乗算を普遍的な方法で定義できます。
バランスの取れた製品 環 R 、右 R 加群 M 、左 R 加群 N 、およびアーベル群 G に対して、写像 φ : M × N → Gが R バランス 、 R 中線型 、または R バランス積 である とは、すべての m 、 Mの m ′ 、 N の n 、 n ′ 、 および R の r に対して次が成り立つときである: [1] : 126 φ ( m , n + n ′ ) = φ ( m , n ) + φ ( m , n ′ ) Dl φ φ ( m + m ′ , n ) = φ ( m , n ) + φ ( m ′ , n ) Dr φ φ ( m ⋅ r , n ) = φ ( m , r ⋅ n ) A φ {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (m,n+n')&=\varphi (m,n)+\varphi (m,n')&&{\text{Dl}}_{\varphi }\\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\\end{aligned}}}
M × N から G への R 上のすべての平衡積の集合は L R ( M , N ; G ) と表される 。
φ と ψ が 平衡積であるならば、 点ごとに 定義された 演算 φ + ψ と − φ はそれぞれ平衡積となる。これにより、集合 L R ( M , N ; G ) はアーベル群となる。
M と N を固定した場合 、写像 G ↦ L R ( M , N ; G )は、 アーベル群の圏 から自身への 関数 である 。射の部分は、群準同型 g : G → G ′ を 関数 φ ↦ g ∘ φ に写すことで与えられ、これは L R ( M , N ; G )から L R ( M , N ; G ′) へと写る 。
備考 性質(Dl)と(Dr)は φ の 双加法性を表し、これは φ の加法に対する 分配法則 とみなすことができます 。 性質(A)は φ の 結合特性 に似ています。 任意の環 Rは R 双 加群 である。したがって、 R における 環乗法 ( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′は R 平衡積 R × R → R となる 。
意味 環 R 、右 R 加群 M 、左 R 加群 N に対して、 R 上の テンソル積は 、（上で定義した）平衡積を伴う アーベル群 で
あり、 これは 次の意味で 普遍的である: [2] M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N} ⊗ : M × N → M ⊗ R N {\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}
任意のアーベル群 G と任意の平衡積に対して、 次のような 群準同型が 一意に 存在する。 f : M × N → G {\displaystyle f:M\times N\to G} f ~ : M ⊗ R N → G {\displaystyle {\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to G} f ~ ∘ ⊗ = f . {\displaystyle {\tilde {f}}\circ \otimes =f.} すべての普遍的性質 と同様に、上記の性質は 、唯一の同型性 を除いて テンソル積を一意に定義します。つまり、同じ性質を持つ他の任意のアーベル群とバランス積は、 M ⊗ R N および ⊗ と同型になります。実際、写像 ⊗ は標準的 、あるいはより明確にはテンソル積の標準写像（またはバランス積） と呼ばれます。 [3]
この定義はM⊗R N の 存在を証明するものではありません 。構築については以下を参照してください 。
テンソル積は、 関数 G → L R ( M , N ; G )の 表現オブジェクトとして定義することもできます。明示的には、これは 自然な同型性が あることを意味します 。 { Hom Z ( M ⊗ R N , G ) ≃ L R ( M , N ; G ) g ↦ g ∘ ⊗ {\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}
これは、上記に示した普遍写像の性質を簡潔に述べたものです。（この自然な同型性が事前に与えられていれば、 恒等写像 を取り、それを写像することで復元できます。） ⊗ {\displaystyle \otimes } G = M ⊗ R N {\displaystyle G=M\otimes _{R}N}
同様に、自然な同一視が与えられ 、[4]、M⊗R N L R ( M , N ; G ) = Hom R ( M , Hom Z ( N , G ) ) {\displaystyle \operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))} を 次 の 式 で 定義 することもできる 。 Hom Z ( M ⊗ R N , G ) ≃ Hom R ( M , Hom Z ( N , G ) ) . {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)).}
これはテンソル-ホム付加 として知られています 。§ プロパティも参照してください。
M の x と N の y のそれぞれについて 、
x ⊗ y
正準写像 による ( x , y )の像です 。これはしばしば 純粋テンソルと呼ばれます。厳密に言えば、正しい表記は x ⊗ R y ですが、ここでは R を 省略するのが慣例です 。すると、定義から直ちに以下の関係式が成り立ちます。 ⊗ : M × N → M ⊗ R N {\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}
x ⊗ ( y + y ’) = x ⊗ y + x ⊗ y ’ （ダウン ⊗ ） ( x + x ’) ⊗ y = x ⊗ y + x ’ ⊗ y （ドクター ⊗ ） ( x ⋅ r ) ⊗ y = x ⊗ ( r ⋅ y ) （あ ⊗ ）
テンソル積の普遍的性質は次のような重要な結果をもたらします。
証明：最初の命題において、 L を 問題の形式の元によって生成される の部分群とし 、 q を Q への商写像とします 。 また、 が成り立ちます。したがって、普遍性の一意性により、 q = 0 となります。2番目の命題は、 加群準同型 を定義するには、加群の生成集合上で定義すれば十分であるためです。 M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N} Q = ( M ⊗ R N ) / L {\displaystyle Q=(M\otimes _{R}N)/L} 0 = q ∘ ⊗ {\displaystyle 0=q\circ \otimes } 0 = 0 ∘ ⊗ {\displaystyle 0=0\circ \otimes } ◻ {\displaystyle \square }
テンソル積の普遍性の性質の応用
モジュールのテンソル積がゼロかどうかを判定する 実際には、 R モジュール のテンソル積が 0 であることを示すよりも、ゼロでないことを示す方が難しい場合があります。 普遍性により、これを簡単に確認することができます。 M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N}
テンソル積が ゼロでないことを確認するには、 となるような アーベル群への R -双線型写像を構築することができます 。これは、 ならば となるため有効です。 M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N} f : M × N → G {\displaystyle f:M\times N\rightarrow G} G {\displaystyle G} f ( m , n ) ≠ 0 {\displaystyle f(m,n)\neq 0} m ⊗ n = 0 {\displaystyle m\otimes n=0} f ( m , n ) = f ¯ ( m ⊗ n ) = ( f ) ¯ ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0}
例えば、 Z / p Z ⊗ Z Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } が非ゼロであることを確認するには、 を として、 とします。これは、 において が非ゼロである 限り、 純粋テンソルが であることを示しています。 G {\displaystyle G} Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } ( m , n ) ↦ m n {\displaystyle (m,n)\mapsto mn} m ⊗ n ≠ 0 {\displaystyle m\otimes n\neq 0} m n {\displaystyle mn} Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
同等のモジュールの場合 この命題は、テンソル積の明示的な要素を操作すれば、普遍性を毎回直接適用する代わりに済むというものです。これは実用上非常に便利です。例えば、 Rが可換であり、 R による加群への左作用と右作用が 同値であるとみなされる場合、前の命題を 全体に 拡張することで
、 R スカラー乗算を自然に実現できます （厳密に言えば、必要なのは可換性ではなく双加群構造です。以下の段落を参照してください）。この R 加群構造を備えることで、 は上記と同様の普遍性を満たします。つまり、任意の R 加群 G に対して、自然な同型性が存在するということです。 M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N} r ⋅ ( x ⊗ y ) := ( r ⋅ x ) ⊗ y = x ⊗ ( r ⋅ y ) {\displaystyle r\cdot (x\otimes y):=(r\cdot x)\otimes y=x\otimes (r\cdot y)} M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N} M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N} { Hom R ( M ⊗ R N , G ) ≃ { R -bilinear maps M × N → G } , g ↦ g ∘ ⊗ {\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,G)\simeq \{R{\text{-bilinear maps }}M\times N\to G\},\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}
R は 必ずしも可換ではないが、 M が 環 S （例えば R ）による左作用を持つ場合、 上式のように 左 S加群構造を次の式で与えることができる。 M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N} s ⋅ ( x ⊗ y ) := ( s ⋅ x ) ⊗ y . {\displaystyle s\cdot (x\otimes y):=(s\cdot x)\otimes y.}
同様に、 N が 環 S による右作用を持つ場合、 は 右 S 加群になります。 M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N}
線型写像のテンソル積と基底環の変化 環 R 上の右加群の線型写像 と 左加群の線型写像が与えられたとき、群準同型写像は一意に存在する。 f : M → M ′ {\displaystyle f:M\to M'} g : N → N ′ {\displaystyle g:N\to N'} { f ⊗ g : M ⊗ R N → M ′ ⊗ R N ′ x ⊗ y ↦ f ( x ) ⊗ g ( y ) {\displaystyle {\begin{cases}f\otimes g:M\otimes _{R}N\to M'\otimes _{R}N'\\x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y)\end{cases}}}
この構成の結果、テンソル化は関数になります。つまり、各右 R 加群 M は 、左加群のカテゴリ から アーベル群のカテゴリへの 関数を決定します。
この関数は、 Nを M ⊗ N に 、加群準同型 f を群準同型 1 ⊗ f に送信します。 M ⊗ R − : R -Mod ⟶ Ab {\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow {\text{Ab}}}
が環準同型であり、Mが右S加群、Nが左S加群ならば 、 標準 射影 準 同型 が 存在 する 。これは [ 5 ] によって誘導される。 f : R → S {\displaystyle f:R\to S} M ⊗ R N → M ⊗ S N {\displaystyle M\otimes _{R}N\to M\otimes _{S}N} M × N ⟶ ⊗ S M ⊗ S N . {\displaystyle M\times N{\overset {\otimes _{S}}{\longrightarrow }}M\otimes _{S}N.}
結果として得られる写像は、純粋テンソル x ⊗ y が 加群全体を生成するため、射影的である。特に、 R をこれとすると、 加群のテンソル積はすべてアーベル群のテンソル積の商であることが示される。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
複数のモジュール (このセクションは更新する必要があります。今のところ、より一般的な議論については § プロパティ を参照してください。)
この定義は、同じ可換環上の任意の数の加群のテンソル積に拡張することができる。例えば、
M 1 ⊗ M 2 ⊗ M 3
各三線写像は
M 1 × M 2 × M 3 → Z
唯一の線形写像に対応する
M 1 ⊗ M 2 ⊗ M 3 → Z 。
二項テンソル積は結合的である：( M 1 ⊗ M 2 ) ⊗ M 3 は自然に M 1 ⊗ ( M 2 ⊗ M 3 ) と同型である。三線型写像の普遍性によって定義される3つの加群のテンソル積は、これらの反復テンソル積の両方と同型である。
プロパティ
一般環上の加群 R 1 、 R 2 、 R 3 、 R を環としますが 、必ずしも可換ではありません。
R 1 - R 2 - 双加群 M 12 と左 R 2 - 加群 M 20 の場合 、 は左 R 1 - 加群です。 M 12 ⊗ R 2 M 20 {\displaystyle M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}} 右 R 2 加群 M 02 と R 2 - R 3 双加群 M 23 の場合、 右 R 3 加群となります。 M 02 ⊗ R 2 M 23 {\displaystyle M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}} （結合性）右 R 1 加群 M 01 、 R 1 - R 2 双加群 M 12 、左 R 2 加群 M 20 に対して次式が成り立つ： [6] ( M 01 ⊗ R 1 M 12 ) ⊗ R 2 M 20 = M 01 ⊗ R 1 ( M 12 ⊗ R 2 M 20 ) . {\displaystyle \left(M_{01}\otimes _{R_{1}}M_{12}\right)\otimes _{R_{2}}M_{20}=M_{01}\otimes _{R_{1}}\left(M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}\right).} R は R - R 双加群なので 、 環乗算を その標準的な平衡積として持つことができます。 R ⊗ R R = R {\displaystyle R\otimes _{R}R=R} m n =: m ⊗ R n {\displaystyle mn=:m\otimes _{R}n}
可換環上の加群 R を 可換環とし、 M 、 N 、 P を R -加群とする 。すると（以下では、「=」は 標準同型 を表す。テンソル積は一意な同型までしか定義されないため、この態度は許容される）。
身元 R ⊗ R M = M . {\displaystyle R\otimes _{R}M=M.} 結合性 ( M ⊗ R N ) ⊗ R P = M ⊗ R ( N ⊗ R P ) . {\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).} 対称 M ⊗ R N = N ⊗ R M . {\displaystyle M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.} 実際、 集合 {1, ..., n } の任意の順列 σ に対して、一意の同型が存在します。 { M 1 ⊗ R ⋯ ⊗ R M n ⟶ M σ ( 1 ) ⊗ R ⋯ ⊗ R M σ ( n ) x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x n ⟼ x σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ x σ ( n ) {\displaystyle {\begin{cases}M_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{n}\longrightarrow M_{\sigma (1)}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{\sigma (n)}\\x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\longmapsto x_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma (n)}\end{cases}}} 最初の 3 つの特性 (および射の恒等式) によれば、 Rが可換な R 加群のカテゴリは 対称モノイド カテゴリ を形成します 。 直和 の分配 M ⊗ R ( N ⊕ P ) = ( M ⊗ R N ) ⊕ ( M ⊗ R P ) . {\displaystyle M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).} 実際、 任意の 濃度の インデックス集合 I について 、有限積は有限直和と一致するため、次のことが成り立ちます。 M ⊗ R ( ⨁ i ∈ I N i ) = ⨁ i ∈ I ( M ⊗ R N i ) , {\displaystyle M\otimes _{R}\left(\bigoplus \nolimits _{i\in I}N_{i}\right)=\bigoplus \nolimits _{i\in I}\left(M\otimes _{R}N_{i}\right),} 有限積上の分布 任意の有限個の に対して 、 N i {\displaystyle N_{i}} M ⊗ R ∏ i = 1 n N i = ∏ i = 1 n M ⊗ R N i . {\displaystyle M\otimes _{R}\prod _{i=1}^{n}N_{i}=\prod _{i=1}^{n}M\otimes _{R}N_{i}.} ベース拡張 Sが R 代数である とき 、と書くと 、 [7] §スカラーの拡張を参照。系は次のようになる。 − S = S ⊗ R − {\displaystyle -_{S}=S\otimes _{R}-} ( M ⊗ R N ) S = M S ⊗ S N S ; {\displaystyle (M\otimes _{R}N)_{S}=M_{S}\otimes _{S}N_{S};} ローカリゼーション よりも流通 R の任意の乗法的に閉じた部分集合 S に対して 、は R 代数であり、 である ため、 -加群 として存在します 。 S − 1 ( M ⊗ R N ) = S − 1 M ⊗ S − 1 R S − 1 N {\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)=S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N} S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} S − 1 − = S − 1 R ⊗ R − {\displaystyle S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-} 直接極限 を持つ可換性 R 加群 M i の任意の直接システムに対して 、 ( lim → M i ) ⊗ R N = lim → ( M i ⊗ R N ) . {\displaystyle (\varinjlim M_{i})\otimes _{R}N=\varinjlim (M_{i}\otimes _{R}N).} 補助 Hom R ( M ⊗ R N , P ) = Hom R ( M , Hom R ( N , P ) ) . {\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{R}(N,P)){\text{.}}} 結論は次のようになります。 正確さ がR -加群の正確な列である 場合 、は R -加群の正確な列であり 、ここで 0 → N ′ → f N → g N ″ → 0 {\displaystyle 0\to N'{\overset {f}{\to }}N{\overset {g}{\to }}N''\to 0} M ⊗ R N ′ → 1 ⊗ f M ⊗ R N → 1 ⊗ g M ⊗ R N ″ → 0 {\displaystyle M\otimes _{R}N'{\overset {1\otimes f}{\to }}M\otimes _{R}N{\overset {1\otimes g}{\to }}M\otimes _{R}N''\to 0} ( 1 ⊗ f ) ( x ⊗ y ) = x ⊗ f ( y ) . {\displaystyle (1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).} テンソル-ホム関係 標準的なR 線型写像が存在する :これは M または P のどちらかが有限 生成射影加群 の場合には同型である (非可換ケースの線型性保存写像については§を参照); [8]より一般には、標準的な R 線型写像 が存在する: これは または のどちら かが 有限生成射影加群のペアの場合には同型である。 Hom R ( M , N ) ⊗ P → Hom R ( M , N ⊗ P ) , {\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes P\to \operatorname {Hom} _{R}(M,N\otimes P),} Hom R ( M , N ) ⊗ Hom R ( M ′ , N ′ ) → Hom R ( M ⊗ M ′ , N ⊗ N ′ ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes \operatorname {Hom} _{R}(M',N')\to \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes M',N\otimes N')} ( M , N ) {\displaystyle (M,N)} ( M , M ′ ) {\displaystyle (M,M')} 具体的な例として、 M 、 N が と を基底とする 自由加群であると仮定します 。このとき、 Mは 直和で あり、 N も同様です 。分配法則により、次式が成り立ちます
。 すなわち、は の R 基底です。M が 自由でなく ても、 M の 自由表現 を用いてテンソル積を計算できます。 e i , i ∈ I {\displaystyle e_{i},i\in I} f j , j ∈ J {\displaystyle f_{j},j\in J} M = ⨁ i ∈ I R e i {\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}Re_{i}} M ⊗ R N = ⨁ i , j R ( e i ⊗ f j ) ; {\displaystyle M\otimes _{R}N=\bigoplus _{i,j}R(e_{i}\otimes f_{j});} e i ⊗ f j , i ∈ I , j ∈ J {\displaystyle e_{i}\otimes f_{j},\,i\in I,j\in J} M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N}
テンソル積は一般に、 逆極限 と可換ではありません。一方では （「例」を参照）。他方では、
は p進整数環で あり 、 は p進数体 です。同様の考え方の例については、 「 profinite integer 」も参照してください。 Q ⊗ Z Z / p n = 0 {\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /p^{n}=0} ( lim ← Z / p n ) ⊗ Z Q = Z p ⊗ Z Q = Z p [ p − 1 ] = Q p {\displaystyle \left(\varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}} Z p , Q p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}
R が可換でない場合 、テンソル積の順序は次のように重要になる可能性があります。 テンソル積 を形成するために、 Mの右作用と N の左作用を「使い切る」ことになります 。特に、 は定義されません。 M 、 N が双加群である場合、 の左作用は M の左作用から、右作用は N の右作用から生じます。これらの作用は の左作用および右作用と同じである必要はありません 。 M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N} N ⊗ R M {\displaystyle N\otimes _{R}M} M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N} N ⊗ R M {\displaystyle N\otimes _{R}M}
結合法則は非可換環に対してより一般的に成り立ちます。つまり、 M が右 R 加群、 N が ( R , S ) 加群、 P が 左 S 加群の場合、 アーベル群として成り立ちます。 ( M ⊗ R N ) ⊗ S P = M ⊗ R ( N ⊗ S P ) {\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{S}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{S}P)}
テンソル積の随伴関係の一般的な形式は、 R が必ずしも可換でない場合、 M は右 R 加群、 N は ( R 、 S ) 加群、 P は右 S加群であるとき、アーベル群 [9] として、は で与えられる、という ことを示しています 。 Hom S ( M ⊗ R N , P ) = Hom R ( M , Hom S ( N , P ) ) , f ↦ f ′ {\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{S}(N,P)),\,f\mapsto f'} f ′ {\displaystyle f'} f ′ ( x ) ( y ) = f ( x ⊗ y ) {\displaystyle f'(x)(y)=f(x\otimes y)}
テンソル積 R 分数体を持つモジュール R を 分数体 K を持つ整域とし ます 。
任意のR 加群 M に対して 、 R 加群として 、 は M のねじり部分加群です 。 K ⊗ R M ≅ K ⊗ R ( M / M tor ) {\displaystyle K\otimes _{R}M\cong K\otimes _{R}(M/M_{\operatorname {tor} })} M tor {\displaystyle M_{\operatorname {tor} }} M が捩れ R 加群で あれば 、そして M が捩れ R 加群でなければ 、 。 K ⊗ R M = 0 {\displaystyle K\otimes _{R}M=0} K ⊗ R M ≠ 0 {\displaystyle K\otimes _{R}M\neq 0} Nが M のサブモジュールで、 が捩れ加群で ある 場合、 により R 加群として扱われます 。 M / N {\displaystyle M/N} K ⊗ R N ≅ K ⊗ R M {\displaystyle K\otimes _{R}N\cong K\otimes _{R}M} x ⊗ n ↦ x ⊗ n {\displaystyle x\otimes n\mapsto x\otimes n} K ⊗ R M {\displaystyle K\otimes _{R}M} において 、 または の場合に限ります 。特に、 の場合 。 x ⊗ m = 0 {\displaystyle x\otimes m=0} x = 0 {\displaystyle x=0} m ∈ M tor {\displaystyle m\in M_{\operatorname {tor} }} M tor = ker ( M → K ⊗ R M ) {\displaystyle M_{\operatorname {tor} }=\operatorname {ker} (M\to K\otimes _{R}M)} m ↦ 1 ⊗ m {\displaystyle m\mapsto 1\otimes m} K ⊗ R M ≅ M ( 0 ) {\displaystyle K\otimes _{R}M\cong M_{(0)}} ここで、 モジュールの 素イデアルにおける局所化 （つまり、非ゼロ要素に関する局所化） です。 M ( 0 ) {\displaystyle M_{(0)}} M {\displaystyle M} ( 0 ) {\displaystyle (0)}
スカラーの拡張 一般形の随伴関係には重要な特殊なケースがあります。任意の R 代数 S 、 右 R加群 M 、 右 S加群 Pに対して、 を 使用すると 、自然な同型が成り立ちます。 Hom S ( S , − ) = − {\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-} Hom S ( M ⊗ R S , P ) = Hom R ( M , Res R ( P ) ) . {\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}S,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Res} _{R}(P)).}
これは、関手が 忘却関手 の 左随伴 であり 、忘却関手は S作用を R 作用に制限することを示しています 。このため、はしばしば R から S へ のスカラーの拡大 と呼ばれます。 表現論 において 、 R 、 S が 群代数である場合、上記の関係は フロベニウスの相互関係 となります。 − ⊗ R S {\displaystyle -\otimes _{R}S} Res R {\displaystyle \operatorname {Res} _{R}} − ⊗ R S {\displaystyle -\otimes _{R}S}
例 、任意の R n ⊗ R S = S n {\displaystyle R^{n}\otimes _{R}S=S^{n}} R 代数 S に対して (つまり、自由モジュールはスカラーを拡張した後も自由のままです。) 可換環 と可換 R 代数 S については、次が成り立ちます。 実際、より一般的には、 は イデアルです。 R {\displaystyle R} S ⊗ R R [ x 1 , … , x n ] = S [ x 1 , … , x n ] ; {\displaystyle S\otimes _{R}R[x_{1},\dots ,x_{n}]=S[x_{1},\dots ,x_{n}];} S ⊗ R ( R [ x 1 , … , x n ] / I ) = S [ x 1 , … , x n ] / I S [ x 1 , … , x n ] , {\displaystyle S\otimes _{R}(R[x_{1},\dots ,x_{n}]/I)=S[x_{1},\dots ,x_{n}]/IS[x_{1},\dots ,x_{n}],} I {\displaystyle I} C = R [ x ] / ( x 2 + 1 ) {\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)} 、前の例、および 中国剰余定理 を使用すると 、環として次の式が得られます。これは、テンソル積が 直積で ある場合の例を示しています 。 C ⊗ R C = C [ x ] / ( x 2 + 1 ) = C [ x ] / ( x + i ) × C [ x ] / ( x − i ) = C 2 . {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {C} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {C} [x]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(x-i)=\mathbb {C} ^{2}.} R ⊗ Z Z [ i ] = R [ i ] = C {\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [i]=\mathbb {R} [i]=\mathbb {C} } .
例 ごく普通のモジュールのテンソル積の構造は予測できない場合があります。
Gを 、すべての元が有限位数を持つアーベル群とする（つまり、 G は 捩れ アーベル群 である。例えば、 Gは有限アーベル群または Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } である ）。すると、次のようになる。 [10] Q ⊗ Z G = 0. {\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G=0.}
実際、どれ も x ∈ Q ⊗ Z G {\displaystyle x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G} x = ∑ i r i ⊗ g i , r i ∈ Q , g i ∈ G . {\displaystyle x=\sum _{i}r_{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathbb {Q} ,g_{i}\in G.}
が の位数である 場合 、次を計算します。 n i {\displaystyle n_{i}} g i {\displaystyle g_{i}} x = ∑ ( r i / n i ) n i ⊗ g i = ∑ r i / n i ⊗ n i g i = 0. {\displaystyle x=\sum (r_{i}/n_{i})n_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.}
同様に、 Q / Z ⊗ Z Q / Z = 0. {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =0.}
計算に役立つ恒等式をいくつか挙げる。R を 可換環とし、 I 、 Jを イデアル、 M 、 Nを R 加群とする。すると、
R / I ⊗ R M = M / I M {\displaystyle R/I\otimes _{R}M=M/IM} . M が 平坦 であれば、 I M = I ⊗ R M {\displaystyle IM=I\otimes _{R}M} . [証明 1] M / I M ⊗ R / I N / I N = M ⊗ R N ⊗ R R / I {\displaystyle M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I} （テンソル化は基底拡張と可換であるため） R / I ⊗ R R / J = R / ( I + J ) {\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)} . [証明2] 例: G がアーベル群である 場合、これは 1から導かれ ます G ⊗ Z Z / n = G / n G {\displaystyle G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG} 。
例: Z / n ⊗ Z Z / m = Z / gcd ( n , m ) {\displaystyle \mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}} ; これは 3 から導かれます。特に、異なる素数 p 、 q 、 Z / p Z ⊗ Z / q Z = 0. {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} =0.}
テンソル積は群の元の順序を制御するために適用できます。Gをアーベル群とすると、2の倍数は 0になります。 G ⊗ Z / 2 Z {\displaystyle G\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
例： を n 乗根 の群とします。これは 巡回群 であり、巡回群は順序によって分類されます。したがって、非標準的に、 そしてしたがって、 gが n と m の最大公約数であるとき 、 μ n {\displaystyle \mu _{n}} μ n ≈ Z / n {\displaystyle \mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n} μ n ⊗ Z μ m ≈ μ g . {\displaystyle \mu _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }\mu _{m}\approx \mu _{g}.}
例: Q ⊗ Z Q {\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} } を考えてみましょう 。 中間点に -線型性を 課すことで が得られるので、 その核が の形の要素で生成される全射が得られます。 ここで、 r 、 s 、 x 、 u は整数で、 s は非ゼロです。 核は実際にはゼロなので、 となります。 Q ⊗ Q Q {\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} } Q ⊗ Z Q {\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } Q ⊗ Z Q → Q ⊗ Q Q {\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} } r s x ⊗ y − x ⊗ r s y {\displaystyle {r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y} r s x ⊗ y = r s x ⊗ s s y = x ⊗ r s y , {\displaystyle {r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,} Q ⊗ Z Q = Q ⊗ Q Q = Q {\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} }
しかし、とを考えてみましょ う 。 - ベクトル空間 なので、 は4次元ですが、 2次元です。 C ⊗ R C {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } C ⊗ C C {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} } R {\displaystyle \mathbb {R} } C ⊗ R C {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } C ⊗ C C {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }
したがって、 と は 同型ではありません。 C ⊗ R C {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } C ⊗ C C {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }
例: と を比較してみましょう 。前の例と同様に、 は アーベル群として、したがって - ベクトル空間として存在します（ -ベクトル空間 間の任意の -線型写像は -線型です）。 -ベクトル空間として、は 連続体 の次元（基底の濃度）を持ちます 。したがって、は 連続体の積でインデックス付けされた -基底を 持ちます。したがって、その -次元は連続体です。したがって、次元の理由から、 -ベクトル空間 の非標準的な同型性が存在します。 R ⊗ Z R {\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} } R ⊗ R R {\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} } R ⊗ Z R = R ⊗ Q R {\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } Z {\displaystyle \mathbb {Z} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } R {\displaystyle \mathbb {R} } R ⊗ Q R {\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } R ⊗ Z R ≈ R ⊗ R R . {\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \approx \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} .}
となるような既約多項式 の 加群を考えます 。すると、 M = C [ x , y , z ] / ( f ) , N = C [ x , y , z ] / ( g ) {\displaystyle M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)} f , g ∈ C [ x , y , z ] {\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]} gcd ( f , g ) = 1 {\displaystyle \gcd(f,g)=1} C [ x , y , z ] ( f ) ⊗ C [ x , y , z ] C [ x , y , z ] ( g ) ≅ C [ x , y , z ] ( f , g ) {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}
もう一つの有用な例は、スカラー値を変化させることから得られる。 Z [ x 1 , … , x n ] ( f 1 , … , f k ) ⊗ Z R ≅ R [ x 1 , … , x n ] ( f 1 , … , f k ) {\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}}
この現象をよく表す例としては、 R = Q , C , Z / ( p k ) , Z p , Q p {\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}} が挙げられます。
工事 M ⊗ N の構成は、 記号 m ∗ n を基底とする自由アーベル群 の商を取る。記号 m ∗ n は、 M の m と N の n に対して、 順序付きペア ( m , n ) を表すために使用される 。
− m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′ −( m + m ′) ∗ n + m ∗ n + m ′ ∗ n ( m · r ) ∗ n − m ∗ ( r · n ) ここで、 M ではm、m′ 、 N では n 、 n′ 、 R では r で ある 。m ∗ n = ( m 、 n )を m ∗ n を含む剰余類に 写す商写像 、すなわち、
は均衡しており、この写像が均衡するように部分群は最小限に選ばれている。⊗の普遍性は 、 自由アーベル群と商の普遍性から導かれる。 ⊗ : M × N → M ⊗ R N , ( m , n ) ↦ [ m ∗ n ] {\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]}
S が 環 R の部分環である場合 、 は によって生成される部分群による の商群であり 、 は の下で の の像である 。特に、 R加群のテンソル積は、必要に応じて、 R 均衡積の性質を課すことによって、アーベル群のテンソル積の商として構成することができる 。 M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N} M ⊗ S N {\displaystyle M\otimes _{S}N} x r ⊗ S y − x ⊗ S r y , r ∈ R , x ∈ M , y ∈ N {\displaystyle xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N} x ⊗ S y {\displaystyle x\otimes _{S}y} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ⊗ : M × N → M ⊗ S N {\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N}
より圏論的に言えば、σ をRの M へ の右作用 、すなわち σ( m , r ) = m · rとし、τ を R の N への左作用とする。すると、アーベル群のテンソル積が既に定義されていると仮定すると、 M と Nの R 上 のテンソル積はコ イコライザー として定義できる 。 ここで、 添え字のない はアーベル群のテンソル積を表す。 M ⊗ R ⊗ N → σ × 1 → 1 × τ M ⊗ N → M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes R\otimes N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\otimes N\to M\otimes _{R}N} ⊗ {\displaystyle \otimes }
可換環R上の テンソル 積の構築において 、自由 R 加群を、一般構成で上記に示した要素によって生成される部分加群で 商をとり、それに r ⋅ ( m ∗ n ) − m ∗ ( r ⋅ n ) の要素を加算することで、 R 加群構造を最初から組み込むことができる。あるいは、スカラー作用を r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n )と定義することで、一般構成に Z( R ) 加群構造を与えることもできる。ただし、この場合、 r ∈ Z( R )、すなわち R の 中心が 適切 に定義される必要がある 。
M と N の 直積 が M と N のテンソル積と同型になることは稀である 。R が可換でない場合 、 テンソル積では M と N が反対辺の加群であることが求められるが、直積では同じ辺の加群であることが求められる。いずれの場合も、 M × N からG への 関数のうち、 線型かつ双線型であるのは零写像のみである。
線形写像として 一般の場合、 ベクトル空間のテンソル積のすべての性質が加群に拡張されるわけではない。しかし、 加群準同型 として考えられるテンソル積のいくつかの有用な性質は 依然として残っている。
デュアルモジュール 右 R 加群 E の双対 加群 は、標準的な左 R加群構造を持つ Hom R ( E , R ) として定義され 、 E ∗ と表記される。 [11] 標準的な構造とは、 加法とスカラー乗算の 点ごとの演算である。したがって、 E ∗は、すべての R 線型写像 E → R （ 線型形式 とも呼ばれる） の集合であり、その演算は次のようになる。左 R 加群
の双対も 同様に、同じ表記で定義される。 ( ϕ + ψ ) ( u ) = ϕ ( u ) + ψ ( u ) , ϕ , ψ ∈ E ∗ , u ∈ E {\displaystyle (\phi +\psi )(u)=\phi (u)+\psi (u),\quad \phi ,\psi \in E^{*},u\in E} ( r ⋅ ϕ ) ( u ) = r ⋅ ϕ ( u ) , ϕ ∈ E ∗ , u ∈ E , r ∈ R , {\displaystyle (r\cdot \phi )(u)=r\cdot \phi (u),\quad \phi \in E^{*},u\in E,r\in R,}
E からその第二双対への 標準準同型 E → E ∗∗ は 常に存在する。Eが 有限ランクの自由加群であるとき、これは同型である 。一般に、標準準同型が同型であるとき、 Eは 反射加群 と呼ばれる 。
双対性ペアリング その双対 E ∗ と右 R 加群 E 、または左 R 加群 F とその双対 F ∗との 自然なペアリングを 次のよう に表します。 このペアリングは、左引数では左 R 線形であり、右 引数では
右 R線形です。 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : E ∗ × E → R : ( e ′ , e ) ↦ ⟨ e ′ , e ⟩ = e ′ ( e ) {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E^{*}\times E\to R:(e',e)\mapsto \langle e',e\rangle =e'(e)} ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : F × F ∗ → R : ( f , f ′ ) ↦ ⟨ f , f ′ ⟩ = f ′ ( f ) . {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :F\times F^{*}\to R:(f,f')\mapsto \langle f,f'\rangle =f'(f).} ⟨ r ⋅ g , h ⋅ s ⟩ = r ⋅ ⟨ g , h ⟩ ⋅ s , r , s ∈ R . {\displaystyle \langle r\cdot g,h\cdot s\rangle =r\cdot \langle g,h\rangle \cdot s,\quad r,s\in R.}
（双）線形写像としての要素 一般の場合、加群のテンソル積の各元は、左R -線型写像、右 R -線型写像、および R -双線型形式を生じる。可換な場合とは異なり、一般の場合、テンソル積は R -加群ではない ため、スカラー乗算はサポートされない。
右 R 加群 E と右 R 加群 F が与えられたとき、標準準同型 θ : F ⊗ R E ∗ → Hom R ( E , F ) が存在し、 θ ( f ⊗ e ′) は写像 e ↦ f ⋅ ⟨ e ′, e ⟩ となる。 [12] 左 R 加群 E と右 R 加群 F が与えられたとき、 θ : F⊗R E →HomR ( E ∗ , F ) という 標準 準同型が存在 し 、 θ ( f⊗e ) は e′↦f⋅⟨e , e′⟩ の 写像 と なる 。 [ 13 ] どちらの場合も一般加群に対して成り立ち、加群 E と Fが 有限生成射影加群 （特に有限階数の自由加群）である場合、準同型写像は同型となる。したがって、環 R 上の加群のテンソル積の元は R 線型写像に正準写像する が、ベクトル空間の場合と同様に、このような線型写像の完全空間と同値となるためには、加群に制約が課される。
右 R 加群 E と左 R 加群 F が与えられている場合、標準準同型 θ : F ∗ ⊗ R E ∗ → L R ( F × E , R ) が存在し、 θ ( f ′ ⊗ e ′) は写像 ( f , e ) ↦ ⟨ f , f ′⟩ ⋅ ⟨ e ′, e ⟩ です。 [ 引用が必要 ]したがって、 R 加群の テンソル積 F ∗ ⊗ R E ∗ の元 ξ は、 R 双線型写像 F × E → R を生成するものと考えられる場合があります 。
トレース R を 可換環とし、 E を R -加群とする。すると、 による線型性を通して誘導される標準的な R -線型写像が 存在する。 これは、自然なペアリングに対応する唯一の R -線型写像である。 E ∗ ⊗ R E → R {\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E\to R} ϕ ⊗ x ↦ ϕ ( x ) {\displaystyle \phi \otimes x\mapsto \phi (x)}
E が有限生成射影 R 加群である場合、 上述の標準準同型を通して 識別することができ、その場合、上記は トレースマップ である。 E ∗ ⊗ R E = End R ( E ) {\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)} tr : End R ( E ) → R . {\displaystyle \operatorname {tr} :\operatorname {End} _{R}(E)\to R.}
R が体の 場合、これは 線形変換の
通常の トレースになります。
微分幾何学からの例: テンソル場 微分幾何学における加群のテンソル積の最も顕著な例は、ベクトル場と微分形式の空間のテンソル積です。より正確には、 R が滑らかな多様体 M 上の（可換）滑らかな関数の環であるとすると、 となります。 ここで、Γ は 切断空間 を意味し、上付き文字は R上で p 回 テンソル化することを意味します 。定義により、 の元は ( p , q ) 型の テンソル体 です 。 T q p = Γ ( M , T M ) ⊗ p ⊗ R Γ ( M , T ∗ M ) ⊗ q {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}=\Gamma (M,TM)^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}} ⊗ p {\displaystyle \otimes p} T q p {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}
R 加群としては 、 の双対加群である 。 [14] T p q {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{p}^{q}} T q p {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}
表記を簡略化するために、 と書き加える 。 [ 15] p , q ≥ 1の とき、 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q を満たす各 ( k , l ) に対して、 R -多重線型写像 が存在する。 ここで 、 は を意味し 、ハットは項が省略されていることを意味する。普遍性により、これは唯一の R -線型写像に対応する。 E = Γ ( M , T M ) {\displaystyle E=\Gamma (M,TM)} E ∗ = Γ ( M , T ∗ M ) {\displaystyle E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)} E p × E ∗ q → T q − 1 p − 1 , ( X 1 , … , X p , ω 1 , … , ω q ) ↦ ⟨ X k , ω l ⟩ X 1 ⊗ ⋯ ⊗ X l ^ ⊗ ⋯ ⊗ X p ⊗ ω 1 ⊗ ⋯ ω l ^ ⊗ ⋯ ⊗ ω q {\displaystyle E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}} E p {\displaystyle E^{p}} ∏ 1 p E {\displaystyle \prod _{1}^{p}E} C l k : T q p → T q − 1 p − 1 . {\displaystyle C_{l}^{k}:{\mathfrak {T}}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1}.}
これは 添え字 ( k , l ) におけるテンソルの 縮約 と呼ばれます。普遍性からわかることを解きほぐすと、次のようになります。 C l k ( X 1 ⊗ ⋯ ⊗ X p ⊗ ω 1 ⊗ ⋯ ⊗ ω q ) = ⟨ X k , ω l ⟩ X 1 ⊗ ⋯ X l ^ ⋯ ⊗ X p ⊗ ω 1 ⊗ ⋯ ω l ^ ⋯ ⊗ ω q . {\displaystyle C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.}
注 ：上記の議論は微分幾何学の教科書（例えばヘルガソン）では標準的なものです。ある意味では、層理論的構成（すなわち 加群の層 の言語）の方がより自然であり、ますます一般的になりつつあります。この点については、「加群の層のテンソル積」のセクションを参照してください。
フラットモジュールとの関係 一般に、
は、 右および左の Rモジュールのペアを入力として受け入れ、それらを アーベル群のカテゴリの テンソル積に割り当てる 双関数子
です 。 − ⊗ R − : Mod- R × R -Mod ⟶ A b {\displaystyle -\otimes _{R}-:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }
右 R モジュール M を固定すると関数が
生じ、対称的に左 R モジュール Nを 固定すると関数が生じる。 M ⊗ R − : R -Mod ⟶ A b {\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} } − ⊗ R N : Mod- R ⟶ A b . {\displaystyle -\otimes _{R}N:{\text{Mod-}}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .}
Hom 双関数器 とは異なり、 テンソル関数器は両方の入力に対して 共変 です。 H o m R ( − , − ) , {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-),}
とは 常に 右完全関数 であるが、必ずしも左完全とは限らないこと が示される（ 、ここで最初の写像は による乗算であり、 は完全だが を持つテンソルを取った後は完全ではない）。定義により、 が完全関数である 場合 、モジュール Tは 平坦モジュール である。 M ⊗ R − {\displaystyle M\otimes _{R}-} − ⊗ R N {\displaystyle -\otimes _{R}N} 0 → Z → Z → Z n → 0 {\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0} n {\displaystyle n} Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} T ⊗ R − {\displaystyle T\otimes _{R}-}
と がそれぞれ M と N の生成集合である 場合 、 は の生成集合になります。 テンソル関数が 左正確でないことがあるため、元の生成集合が最小であっても、これは最小生成集合ではない可能性があります。 Mが 平坦加群 である場合 、関数は 平坦加群の定義により正確です。テンソル積が体 F 上で取られる場合、上記のようにベクトル空間の場合になります。すべての F 加群は平坦であり、 双関数は 両方の位置で正確であり、2 つの与えられた生成集合が基底であるため、 は確かに の基底を形成します 。 { m i ∣ i ∈ I } {\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}} { n j ∣ j ∈ J } {\displaystyle \{n_{j}\mid j\in J\}} { m i ⊗ n j ∣ i ∈ I , j ∈ J } {\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}} M ⊗ R N . {\displaystyle M\otimes _{R}N.} M ⊗ R − {\displaystyle M\otimes _{R}-} M ⊗ R − {\displaystyle M\otimes _{R}-} − ⊗ R − {\displaystyle -\otimes _{R}-} { m i ⊗ n j ∣ i ∈ I , j ∈ J } {\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}} M ⊗ F N {\displaystyle M\otimes _{F}N}
追加構造 S と T が可換 R -代数である場合 、#同値な加群の場合と同様に、 S ⊗ R T も可換 R -代数となり、乗法写像は ( m 1 ⊗ m 2 ) ( n 1 ⊗ n 2 ) = ( m 1 n 1 ⊗ m 2 n 2 ) で定義され、線形性によって拡張されます。この設定では、テンソル積は可換 R -代数のカテゴリにおいて ファイバー付き余積になります。(ただし、 R -代数のカテゴリでは余積ではありません 。)
M と Nが ともに 可換環上の R 加群ならば、それらのテンソル積は再び R 加群となる。Rが環ならば 、 R M は 左 R 加群であり、 交換子は
rs − sr
R の 任意の2つの元 r と s が M の 消滅子 に含まれる場合、次の ように設定することで M を 右 R 加群にすることができます。
mr = rm 。
Rの M へ の作用は 、商可換環の作用を介して因数分解されます。この場合、 Mと R 上の自身のテンソル積は 再び R -加群となります。これは可換代数において非常に一般的な手法です。
一般化
モジュールの複素数のテンソル積 X 、 Y が R 加群の複体 （ R は可換環）
である 場合、それらのテンソル積は複素数 で与えられ、微分は次式で与えられる。 xが X i に 、 yが Y j にそれぞれ存在する場合 、 [16] ( X ⊗ R Y ) n = ∑ i + j = n X i ⊗ R Y j , {\displaystyle (X\otimes _{R}Y)_{n}=\sum _{i+j=n}X_{i}\otimes _{R}Y_{j},} d X ⊗ Y ( x ⊗ y ) = d X ( x ) ⊗ y + ( − 1 ) i x ⊗ d Y ( y ) . {\displaystyle d_{X\otimes Y}(x\otimes y)=d_{X}(x)\otimes y+(-1)^{i}x\otimes d_{Y}(y).}
たとえば、 C が 平坦アーベル群の連鎖複体であり、 G がアーベル群である場合、 のホモロジー群は G の係数を持つ C のホモロジー群です( 普遍係数定理 も参照 )。 C ⊗ Z G {\displaystyle C\otimes _{\mathbb {Z} }G}
加群の層のテンソル積 加群の層のテンソル積は、開部分集合上のセクションの加群のテンソル積の前層に関連付けられた層です。
この設定では、例えば、 滑らかな多様体 M上の テンソル場をテンソル積（ テンソルバンドル と呼ばれる） の（大域的または局所的な）セクションとして定義することができます。 ここで、 Oは M 上の滑らかな関数の 環の層で あり 、バンドルは M 上の 局所的に自由な層 として見なされます 。 [17] ( T M ) ⊗ p ⊗ O ( T ∗ M ) ⊗ q {\displaystyle (TM)^{\otimes p}\otimes _{O}(T^{*}M)^{\otimes q}} T M , T ∗ M {\displaystyle TM,T^{*}M}
M 上の 外 束は 、すべての反対称共変テンソルからなるテンソル束の 部分束 である。 外束の 切断は M 上の 微分形式 である。
非可換環の層上にテンソル積を形成する重要なケースの 1 つは、 D 加群の理論、つまり 微分作用素の層 上のテンソル積に現れます 。
参照
注記 ^ M でテンソル化すると、 正確な数列 が得られます
。 ここで fは で与えられます 。 f の像は IM なので 、1 の最初の部分が得られます。M が平坦であれば 、 f は 単射であり、その像への同型も単射です。 0 → I → R → R / I → 0 {\displaystyle 0\to I\to R\to R/I\to 0} I ⊗ R M → f R ⊗ R M = M → R / I ⊗ R M → 0 {\displaystyle I\otimes _{R}M{\overset {f}{\to }}R\otimes _{R}M=M\to R/I\otimes _{R}M\to 0} i ⊗ x ↦ i x {\displaystyle i\otimes x\mapsto ix} ^ QED R / I ⊗ R R / J = R / J I ( R / J ) = R / J ( I + J ) / J = R / ( I + J ) . {\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J={R/J \over I(R/J)}={R/J \over (I+J)/J}=R/(I+J).}
参考文献 ^ ネイサン・ジェイコブソン（2009年）、 Basic Algebra II （第2版）、 Dover Publications ^ ヘイズウィンケル、他。 (2004)、p. 95、提案 4.5.1 ^ ブルバキ、第II章§3.1 ^ まず、 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } ならば、 と によって主張される同一視は によって与えられる 。 一般に、 は によって 右R -加群の構造を持つ 。したがって、任意の -双線型写像 f に対して、 f ′ は R -線型 である。 f ↦ f ′ {\displaystyle f\mapsto f'} f ′ ( x ) ( y ) = f ( x , y ) {\displaystyle f'(x)(y)=f(x,y)} Hom Z ( N , G ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)} ( g ⋅ r ) ( y ) = g ( r y ) {\displaystyle (g\cdot r)(y)=g(ry)} Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ⇔ f ′ ( x r ) = f ′ ( x ) ⋅ r ⇔ f ( x r , y ) = f ( x , r y ) {\displaystyle \Leftrightarrow f'(xr)=f'(x)\cdot r\Leftrightarrow f(xr,y)=f(x,ry)} ^ ブルバキ、第II章§3.2。 ^ ブルバキ、第II章§3.8 ^ 証明: (一般形の結合法則を用いて) ( M ⊗ R N ) S = ( S ⊗ R M ) ⊗ R N = M S ⊗ R N = M S ⊗ S S ⊗ R N = M S ⊗ S N S {\displaystyle (M\otimes _{R}N)_{S}=(S\otimes _{R}M)\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{S}S\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{S}N_{S}} ^ ブルバキ、第II章§4.4 ^ ブルバキ、第 II 章 §4.1 命題 1 ^ http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf の例3.6 ^ ブルバキ、第II章§2.3 ^ ブルバキ、ch. II §4.2 式(11) ^ ブルバキ、ch. II §4.2 同等(15) ^ ヘルガソン 1978、補題 2.3' ^ これは実際にはヘルガソンにおける 微分一形式、 の大域切断の 定義 ですが、加群理論を使用しない通常の定義と同等です。 T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} ^ 1999年5月、第12章§3 ^ 数学百科事典 – テンソル束も参照
![{\displaystyle \left(\varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a4bcee58284a7fd0fca240662c701b33dfcffa)
![{\displaystyle S\otimes _{R}R[x_{1},\dots ,x_{n}]=S[x_{1},\dots ,x_{n}];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa942f656f0cec0af8b5b458d3ccde0127963ef)
![{\displaystyle S\otimes _{R}(R[x_{1},\dots ,x_{n}]/I)=S[x_{1},\dots ,x_{n}]/IS[x_{1},\dots ,x_{n}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b0761fefb98da7f0c46f99b5e1f65336514f927)
![{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ececcfbeac51ed4f23aab254f4c79171b347b61)
![\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {C} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {C} [x]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(xi)=\mathbb {C} ^{2} です。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc8f39a9a3c0bc6c5d75eaaee42f1234a704ea8d)
![{\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [i]=\mathbb {R} [i]=\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969ae922ea38ffde7e8291a4b0ed9790e4502eea)
![{\displaystyle M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac97e8487ac14459cb901f30067cef110544f84)
![{\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2418c66d239152013f8737304f6d7469d15e681)
![{\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fab5419f28c8c9ef7c6bebcc1984dc917fe906)
![{\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eab047f452ea7598feeeef9b5c799a28766c2f8)
![{\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08b78a663d089d3bf1f57eee95ff92c550c6654)
