三角図

三元図、三元グラフ、三角図、単体図、またはギブス三角形は、定数の合計となる3つの変数に関する重心図です。[ 1 ] これは、³つの変数の比率を正三角形内の位置としてグラフ化したものです。物理化学、岩石学、鉱物学、冶金学、その他の物理科学において、3つの種からなる系の構成を示すために使用されます。三元図は、3次元の場合の組成データを分析するためのツールです。

集団遺伝学では、遺伝子型頻度の三角プロットはデ・フィネッティ図と呼ばれます。ゲーム理論^[2]や凸最適化^[3]では、しばしば単体図と呼ばれます。

$三角プロットでは、3つの変数a$ 、 $b$ 、 $c$ の値は、定数 $K$ に合計される必要があります。通常、この定数は1.0または100%で表されます。グラフ化されるすべての物質において、 $a + b + c = K$ であるため、いずれの変数も他の変数から独立しているわけではなく、グラフ上のサンプルの点を見つけるには2つの変数さえ分かれば十分です。例えば、 $c は$ $K - a - b$ と等しくなければなりません。3つの数値は独立して変化することはできず（自由度は2つしかない）、3つの変数の組み合わせを2次元でのみグラフ化することが可能となります。

化学組成を描写するために三元図を使用する利点は、3つの変数を2次元グラフに簡便にプロットできることです。また、三元図は、異なる相が存在する組成領域をプロット上に概説することで、相図を作成するのにも使用できます。

三角図上の点の値は、（定数まで）その三線座標または重心座標に対応します。

三角図の値の読み方

プロット上の点の値を決定するために使用できる同等の方法は 3 つあります。

平行線法またはグリッド法。最初の方法は、三角形の辺に平行な線で構成された図のグリッドを使用する方法です。三角形の辺に平行な線は、その辺と反対側の頂点にある成分の点の軌跡です。各成分は三角形の角で100%、その反対側の辺で0%となり、この角からの距離（反対側の辺に垂直な距離）が増加するにつれて直線的に減少します。ゼロ線と角の間に一定の間隔で平行線を引くことで、細かい区分が可能になり、推定が容易になります。
垂線法または高度法。グリッド線のない図の場合、値を決定する最も簡単な方法は、対象点から3辺それぞれまでの最短距離（つまり垂直距離）を決定することです。ヴィヴィアーニの定理によれば、距離（または距離と三角形の高さの比）が各要素の値を与えます。
コーナーライン法または交点法。この3つ目の方法では、垂直線や平行線を引く必要はありません。各コーナーから、着目点を通り、三角形の反対側の辺まで直線を引きます。これらの直線の長さ、および着目点と対応する辺の間の線分の長さを個別に測定します。測定された直線の比率から、100%に対する割合として構成値が得られます。

平行線（グリッド線）に沿った移動では、2つの値の合計が保持されますが、垂直線に沿った移動では、2つの値がそれぞれ3つ目の値の減少（増加）の半分ずつ、等しい量だけ増加（または減少）します。角を通る線に沿った移動では、他の2つの値の比率が保持されます。

図1. 高度法
図2. 交差法
図 3. 点がプロットされていない三角図の例。
図 4. 最初の軸に沿った増分を示す三元図の例。
図 5. 2 番目の軸に沿った増分を示す三元図の例。
図 6. 3 番目の軸に沿った増分を示す三元図の例。
図7. 空の三角プロット
図 8. 3 つの軸がどのように機能するかを示します。
主要なグリッド線付きのラベルなし三角形プロット
主グリッド線と副グリッド線付きのラベルなし三角形プロット

直交座標からの導出

図（1）は、軸 $a$ 、 $b$ 、 $c$ を持つ3次元直交座標空間における点 $P（$ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $）の$ 斜投影を示しています。

$a + b + c = K$ （正の定数）のとき、 $Pは$ $A(K,0,0)$ 、 $B(0, K,0)$ 、 $C(0,0, K)$ を含む平面に制限されます。a $、$ $b$ 、 $c$ がそれぞれ負でない場合、 $Pは(2)のように$ $A$ 、 $B$ 、 $C$ で囲まれた三角形に制限されます。

(3)では、軸を回転させて等角投影図を作成しています。三角形を正面から見ると、正三角形に見えます。

(4)において、直線 $BC$ 、 $AC$ 、 $ABからの$ $P$ の距離はそれぞれ $a$ $'$ 、 $b$ $'$ 、 $c$ $'$ で表される。

ベクトル形式の任意の直線 $l = s + t n̂$ （ $n̂$ は単位ベクトル）と点 $p$ について、 $p$ から $l$ への垂線距離は

\left\|(\mathbf {s} -\mathbf {p} )-{\bigl (}(\mathbf {s} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {\hat {n}} {\bigr )}\mathbf {\hat {n}} \right\|\,.

この場合、点 $P$ は

\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.

$BC$ ラインは

\mathbf {s} ={\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {\hat {n}} ={\frac {{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}}{\left\|{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}\right\|}}={\frac {\begin{pmatrix}0\\K\\-K\end{pmatrix}}{\sqrt {0^{2}+K^{2}+{(-K)}^{2}}}}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\,.

垂直距離の公式を用いると、

{\begin{aligned}a'&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left({\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left(0+{\frac {K-b}{\sqrt {2}}}+{\frac {c}{\sqrt {2}}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b-{\frac {K-b+c}{2}}\\-c+{\frac {K-b+c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\{\frac {K-b-c}{2}}\\{\frac {K-b-c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&={\sqrt {{(-a)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(K-b-c)}^{2}}{2}}}}\,.\end{aligned}}

$K = a + b + c$ を代入すると、

a'={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(a+b+c-b-c)}^{2}}{2}}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}=a{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.

直線 $AC$ と $直線AB$ についても同様の計算をすると、

b'=b{\sqrt {\frac {3}{2}}}\quad {\text{and}}\quad c'=c{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.

これは、点からそれぞれの直線までの距離が元の値 $a$ 、 $b$ 、 $c$ に比例していることを示しています。^[4]

三角図を描く

直交座標は三角形内の点をプロットするのに便利です。正三角形の三角プロットで、 $a = 100%が$ $(x, y) = (0,0)$ に、 $b = 100%が$ $(1,0)$ に配置されているとします。すると、 $c = 100%$ は、そして 3 つの $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ は、 ${\textstyle ({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}),}$

\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2b+c}{a+b+c}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {c}{a+b+c}}\right)\,.

例

米国農務省による色分けされた土壌テクスチャ三角形

この例では、3 つの土壌サンプルの仮想セットでこれがどのように機能するかを示します。

サンプル	粘土	シルト	砂	注記
サンプル1	50%	20%	30%	このサンプルでは粘土とシルトが合わせて 70% を占めているため、成分の合計が 100% になるためには砂の割合が 30% でなければなりません。
サンプル2	10%	60%	30%	砂の割合はサンプル1と同様に30％ですが、シルトの割合が40％増加すると、粘土の割合はそれに応じて減少します。
サンプル3	10%	30%	60%	このサンプルはサンプル 2 と同じ粘土の割合を持ちますが、シルトと砂の割合が入れ替わっています。プロットは垂直軸を中心に反転しています。

ポイントをプロットする

プロットサンプル1（ステップ1）：
50%粘土線を見つける
プロットサンプル1（ステップ2）：
20%シルトラインを見つける
プロットサンプル1（ステップ3）：
最初の2つに依存して、交差点は30％の砂の線上にあります
すべてのサンプルをプロットする
Mathematica でプログラムされた、砂、粘土、シルトの土壌タイプの三角プロット

注目すべき三元図のリスト

色度図
デ・フィネッティ図
ダリッツプロット
可燃性図
ジェンセン陽イオンプロット
水化学で使用されるパイパー図
超塩基性岩石のUIGS分類図
USDA土壌テクスチャ図（粒子サイズ別）

参照

見かけのモル特性
ヴィヴィアーニの定理
重心座標（数学）
構成データ
情報グラフィックソフトウェア一覧
- 地球科学グラフィックソフトウェア
- IGORプロ
- Origin（データ分析ソフトウェア）
- Rには、Comprehensive R Archive Network ( CRAN )で管理されている専用のパッケージternaryがあります。
- シグマプロット
プロジェクトトライアングル
トリレンマ

参考文献

^ Weisstein, Eric W. 「三元図」. mathworld.wolfram.com . 2021年6月5日閲覧。
^ Karl Tuyls、「ポーカー戦略の進化的ゲーム理論的分析」、Entertainment Computing 2009年1月doi :10.1016/j.entcom.2009.09.002、p.9
^ Boyd, S. および Vandenberghe, L., 2004. 凸最適化. ケンブリッジ大学出版局.
^ Vaughan, Will (2010年9月5日). 「Ternary plots」. 2010年12月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年9月7日閲覧。

外部リンク

「三元図用Excelテンプレート」serc.carleton.edu . カールトン大学科学教育リソースセンター（SERC） . 2020年5月14日閲覧。
「Tri-plot：三元図プロットソフトウェア」www.lboro.ac.ukラフバラ大学 – 地理学部 / リソースゲートウェイホーム > Tri-plot . 2020年5月14日閲覧。
「三角図ジェネレーター – オンラインで三角図を素早く作成」www.ternaryplot.com . 2020年5月14日閲覧。
Holland, Steven (2016). 「地球科学におけるデータ分析 - R言語で開発された三元図」. strata.uga.edu . ジョージア大学. 2020年5月14日閲覧。

[1] Weisstein, Eric W. 「三元図」. mathworld.wolfram.com . 2021年6月5日閲覧。

[2] Karl Tuyls、「ポーカー戦略の進化的ゲーム理論的分析」、Entertainment Computing 2009年1月doi :10.1016/j.entcom.2009.09.002、p.9

[3] Boyd, S. および Vandenberghe, L., 2004. 凸最適化. ケンブリッジ大学出版局.

[Vaughan-4] Vaughan, Will (2010年9月5日). 「Ternary plots」. 2010年12月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年9月7日閲覧。

v t e 化学溶液
解決	理想的な解決策水溶液固溶体緩衝液フロリー・ハギンズ混合サスペンションコロイド相図相分離共晶点合金飽和過飽和連続希釈希釈（式）見かけのモル特性混和性ギャップ
濃度と関連量	モル濃度質量濃度数値集中体積濃度正常モル濃度モル分率質量分率同位体存在比混合比三角図総溶解固形物
溶解度	溶解平衡溶媒和溶媒和殻溶解エンタルピー格子エネルギーラウールの法則ヘンリーの法則溶解度表（データ）溶解度チャート混和性
溶媒	（カテゴリー）酸解離定数プロトン性溶媒極性非プロトン性溶媒無機非水溶媒溶媒和溶剤の沸騰および凍結情報一覧分配係数極性疎水性物質親水性親油性両親媒性物質リオニウムイオンリアトイオン