ベイリンソン、バーンスタイン、ドリーニュの分解定理

数学、特に代数幾何学において、ベイリンソン、バーンスタイン、ドリーニュ、ガッバーの分解定理（BBDG分解定理）は、代数多様体のコホモロジーに関する一連の結果である。この定理は、もともとゲルファンドとマクファーソンによって予想された。^[1]

声明

滑らかな適切な写像の分解

分解定理の最初のケースは、2つの射影多様体間の相対次元dの滑らかな真写像に対する同型を与える硬いレフシェッツ定理を介して生じる^[2] $f:X\to Y$

-\cup \eta ^{i}:R^{d-i}f_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} ).

ここでは超平面切断の基本類であり、は直接像（押し進め）であり、は直接像のn次導来関手である。この導来関手はのn次コホモロジーを測る。これはについてである。実際、Y が点である特別な場合、同型写像となる。 $\eta$ $f_{*}$ $R^{n}f_{*}$ $f^{-1}(U)$ $U\subset Y$

-\cup \eta ^{i}:H^{d-i}(X,\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}H^{d+i}(X,\mathbb {Q} ).

この硬いレフシェッツ同型は標準同型を誘導する

Rf_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}\bigoplus _{i=-d}^{d}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} )[-d-i].

さらに、この分解に現れる層は局所システム、すなわちQベクトル空間の局所自由層であり、さらに半単純、すなわち非自明な局所サブシステムのない局所システムの直和である。 $R^{d+i}f_{*}\mathbb {Q}$

適切なマップの分解

分解定理は、この事実を、多様体間の写像が適切ではあるが必ずしも滑らかではない場合に一般化します。簡単に言えば、局所系の概念を倒錯層に置き換えても、上記の結果は成り立ちます。 $f:X\to Y$

上記の難しいレフシェッツ定理は次の形を取る：^[3]^[4]Y上の層の導来カテゴリには同型が存在する：

{}^{p}H^{-i}(Rf_{*}\mathbb {Q} )\cong {}^{p}H^{+i}(Rf_{*}\mathbb {Q} ),

ここで、はの全導出関数であり、は倒錯したt 構造に関するi番目の切断です。 $Rf_{*}$ $f_{*}$ ${}^{p}H^{i}$

さらに同型性がある

Rf_{*}IC_{X}^{\bullet }\cong \bigoplus _{i}{}^{p}H^{i}(Rf_{*}IC_{X}^{\bullet })[-i].

ここで、加数は半単純パーバース層であり、交差コホモロジー層のプッシュフォワードの直和であることを意味する。^[5]

Xが滑らかでない場合、交差コホモロジー複体に置き換えても上記の結果は成り立ちます。^[3] $\mathbb {Q} [\dim X]$ $IC$

証明

分解定理は、ベイリンソン、バーンスタイン、デリーニュ、ガッバーによって初めて証明されました。^{[6]彼らの証明は、正特性のl進層上の重みの利用に基づいています。}混合ホッジ加群を用いた別の証明は、斎藤によって与えられました。より幾何学的な証明は、半小写像の概念に基づいて、デ・カタルドとミグリオリニによって与えられました。^[7]

半小写像の場合、分解定理はチョウモチーフにも適用される。^[8]

定理の応用

有理レフシェッツ鉛筆のコホモロジー

によって与えられる滑らかな準射影多様体からの有理射影を考える。の消失軌跡をと設定すると、の誘導射影が存在する。のコホモロジーは、の交差コホモロジーからに沿ったブローアップからコホモロジーを引くことで計算できる。これは、パーバーススペクトル列を用いて行うことができる。 $f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}$ $[f_{1}(x):f_{2}(x)]$ $f_{1},f_{2}$ $Y$ ${\tilde {X}}=Bl_{Y}(X)\to \mathbb {P} ^{1}$ $X$ $Bl_{Y}(X)$ $Y$

E_{2}^{l,m}=H^{l}(\mathbb {P} ^{1};{}^{\mathfrak {p}}{\mathcal {H}}^{m}(IC_{\tilde {X}}^{\bullet }(\mathbb {Q} ))\Rightarrow IH^{l+m}({\tilde {X}};\mathbb {Q} )\cong H^{l+m}(X;\mathbb {Q} )

局所不変サイクル定理

が滑らかな複素代数多様体間の真射とする。また、を中心とする開球Bに含まれるの正則値とする。このとき、制限写像は $f:X\to Y$ $X$ $y_{0}$ $f$ $y$

\operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y),\mathbb {Q} )=\operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(B),\mathbb {Q} )\to \operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y_{0}),\mathbb {Q} )^{\pi _{1,{\textrm {loc}}}}

は射影的であり、はfの正則値の集合との共通部分の基本群である。^[9] $\pi _{1,{\textrm {loc}}}$ $B$

参考文献

^ Sergei Gelfand と Robert MacPherson の予想 2.10、「Verma モジュールと Schubert セル: 辞書」。
^ Deligne、Pierre (1968)、「Théoreme de Lefschetz et critères de dégénérense de suites spectrales」、Publ.数学。研究所オートエチュード Sci.、35 : 107–126、doi :10.1007/BF02698925、hdl : 2013/ULB-DIPOT:oai:dipot.ulb.ac.be:2013/215173、S2CID 121086388、Zbl 0159.22501
^ ab Beilinson, Bernstein & Deligne 1982, Théorème 6.2.10.。注: 正確には、この参照は分解に関するものです。
^ MacPherson 1990、定理1.12。注: 正確には、分解についての参照です。
^ Beilinson、Bernstein & Deligne 1982、Théorème 6.2.5。
^ アレクサンダー・A・ベイリンソン;ジョゼフ・バーンスタイン;ドリーニュ、ピエール(1982)。「ファイソー倒錯者」。アステリスク（フランス語）。100。フランス数学協会、パリ。
^ デ・カタルド、マーク・アンドレア;ミリオリーニ、ルカ (2005)。「代数写像のホッジ理論」。高等師範科学誌。38 (5): 693–750 . arXiv : math/0306030。Bibcode :2003math....6030D。土井：10.1016/j.ansens.2005.07.001。S2CID 54046571。
^ de Cataldo, Mark Andrea ; Migliorini, Luca (2004)、「半小解像度のチャウ動機」、Math. Res. Lett.、11 ( 2– 3): 151– 170、arXiv : math/0204067、doi :10.4310/MRL.2004.v11.n2.a2、MR 2067464、S2CID 53323330
^ de Cataldo 2015、定理 1.4.1。

調査記事

de Cataldo, Mark (2015), Perverse sheaves and the topology of algebraic variety Five lectures at the 2015 PCMI (PDF) , archived from the original (PDF) on 2015-11-21 , retrieved 2017-08-19
de Cataldo, Mark; Milgiorini, Luca, 分解定理、倒錯層、代数写像の位相(PDF)
MacPherson, R. (1990). 「交差ホモロジーと倒錯層」(PDF) .

教育参考文献

堀田良史竹内清谷崎俊之、Dモジュール、Perverse Sheaves、表現理論

さらに読む

nLabにおけるBBDG分解定理

[1] Sergei Gelfand と Robert MacPherson の予想 2.10、「Verma モジュールと Schubert セル: 辞書」。

[2] Deligne、Pierre (1968)、「Théoreme de Lefschetz et critères de dégénérense de suites spectrales」、Publ.数学。研究所オートエチュード Sci.、35 : 107–126、doi :10.1007/BF02698925、hdl : 2013/ULB-DIPOT:oai:dipot.ulb.ac.be:2013/215173、S2CID 121086388、Zbl 0159.22501

[cohomology_decomposition-3] Beilinson, Bernstein & Deligne 1982, Théorème 6.2.10.。注: 正確には、この参照は分解に関するものです。

[4] MacPherson 1990、定理1.12。注: 正確には、分解についての参照です。

[5] Beilinson、Bernstein & Deligne 1982、Théorème 6.2.5。

[6] アレクサンダー・A・ベイリンソン;ジョゼフ・バーンスタイン;ドリーニュ、ピエール(1982)。「ファイソー倒錯者」。アステリスク（フランス語）。100。フランス数学協会、パリ。

[7] デ・カタルド、マーク・アンドレア;ミリオリーニ、ルカ (2005)。「代数写像のホッジ理論」。高等師範科学誌。38 (5): 693–750 . arXiv : math/0306030。Bibcode :2003math....6030D。土井：10.1016/j.ansens.2005.07.001。S2CID 54046571。

[8] Cataldo, Mark Andrea ; Migliorini, Luca (2004)、「半小解像度のチャウ動機」、Math. Res. Lett.、11 ( 2– 3): 151– 170、arXiv : math/0204067、doi :10.4310/MRL.2004.v11.n2.a2、MR 2067464、S2CID 53323330

[9] Cataldo 2015、定理 1.4.1。