Selbergの恒等式

数論において、セルバーグ恒等式は、アトレ・セルバーグにちなんで名付けられた素数の対数を含む近似恒等式です。セルバーグとポール・エルデシュによって共同で発見されたこの恒等式は、素数定理の最初の初等証明で使用されました。

記述

セルバーグ恒等式には、いくつかの異なるが同等な形式があります。1つの形式は

\sum _{p<x}(\log p)^{2}+\sum _{pq<x}\log p\log q=2x\log x+O(x)

ここで、和は素数pとqについてです。

セルバーグ恒等式の左辺にある奇妙に見える式は、（小さい項を除いて）和です。

\sum _{n<x}c_{n}

ここで、数は

c_{n}=\Lambda (n)\log n+\sum _{d\,|\,n}\Lambda (d)\Lambda (n/d)

{\frac {\zeta^{\prime\prime}(s)}{\zeta(s)}}=\left({\frac {\zeta^{\prime}(s)}{\zeta(s)}}\right)^{\prime}+\left({\frac {\zeta^{\prime}(s)}{\zeta(s)}}\right)^{2}=\sum {\frac {c_{n}}{n^{s}}}.

この関数は、 s = 1に係数2を持つ2次の極を持ち、これは漸近展開における支配的な項2 x log( x )を与えます。 $\sum_{n<x}c_{n}.$

セルバーグの恒等式は、次の場合のフォン・マンゴルト関数とメビウス関数を含む、次の約数和恒等式を指すこともあります。[ ^1] $n\geq 1$

\Lambda(n)\log(n)+\sum_{d\,|\,n}\Lambda(d)\Lambda \!\left({\frac{n}{d}}\right)=\sum_{d\,|\,n}\mu(d)\log^{2}\left({\frac{n}{d}}\right).

このセルバーグの恒等式の変形は、アポストルの著書の2.18節で定義されている算術関数の微分の概念を用いて証明されます（このリンクも参照）。 $f^{\prime}(n)=f(n)\cdot\log(n)$

^ Apostol, T. (1976). Introduction to Analytic Number Theory . New York: Springer. p. 46 (Section 2.19). ISBN 0-387-90163-9。

ピソ、シャルル (1949)、「初代数定理の初等的証明」、ブルバキ講話、第1巻、 MR 1605145
セルバーグ、アトレ (1949)、「素数定理の基本的証明」、数学年報、2、50 ( 2 ): 305– 313、doi :10.2307/1969455、JSTOR 1969455、MR 0029410