Value approached by a mathematical object
数学 において 、 極限 とは、 関数 （または 数列 ）が引数（または指数）がある値に近づくにつれて近づく 値 のことである。 [ 1] 関数の極限は 微積分 学 や 数学解析学 に不可欠であり、 連続性 、 微分 、 積分 を定義するために使用される。 数列の極限 の概念は、 位相ネット の極限の概念へとさらに一般化され 、 圏論 における 極限 および 直接極限 と密接に関連している。 下極限と上極限は、 極限の概念の一般化を提供し、これはある点で極限が存在しない可能性がある場合に特に関連します。
表記 関数の極限は、式の中では通常 と表記され
、「 xが c に 近づく につれて、 関数 f の極限は L に等しい」 と読みます。これは、 x を c に十分近づけることで、 関数 fの値を L に任意に近づけることができることを意味します。あるいは、関数 fが x が c に 近づく につれて 極限 L に近づくという事実は、 右 矢印（→ または ）で表されることもあり、 これは「 は に近づく につれて に近づく」 と読みます 。 lim x → c f ( x ) = L , {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L,} → {\displaystyle \rightarrow } f ( x ) → L as x → c , {\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to c,} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} L {\displaystyle L} x {\displaystyle x} c {\displaystyle c}
歴史 ハンケル （1871）によれば 、現代の極限の概念は ユークリッドの『原論』の命題X.1に由来し、これはユークリッドとアルキメデスの 尽力法 の基礎となっている 。「二つの不等な大きさが与えられ、大きい方からその半分よりも大きい大きさが減じられ、残ったものからその半分よりも大きい大きさが減じられ、この過程が継続的に繰り返されると、与えられた小さい方の大きさよりも小さい大きさが残る。」 [2] [3]
グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンは、 著書 『幾何学作品 』（1647年）の中で 、等比級数 の極限（終点）の最初の定義を与えた。「数列の 終点 とは、たとえ無限に数列を続けても到達できない数列の終点であるが、与えられた線分よりも近づくことができる数列の終点である。」 [4]
1687年の プリンキピア の章で、 アイザック・ニュートンは 「これらの究極の比率は、実際には究極の量の比率ではなく、それらの差が任意の与えられた量よりも小さくなるほど近づくことができる限界である」と述べ、限界を明確に定義しました。 [5]
極限の現代的な定義は、1817年に連続関数を定義するための イプシロン・デルタ 法の基礎を開発した ベルナルト・ボルツァーノ に遡ります。しかし、彼の研究は彼の死後30年まで他の数学者に知られていませんでした。 [6]
1821年に オーギュスタン＝ルイ・コーシー [7] が、続いて カール・ワイエルシュトラスが 関数の極限の定義を形式化し、これは 極限の(ε,δ)定義 として知られるようになった。
極限記号の下に矢印を置くという現代の記法は、1905年にジョン・ガストン・リーザムによって発明され、 1908年に G・H・ハーディ の教科書 『純粋数学講座』 によって普及しました。 [8]
制限の種類
シーケンスで
実数 0.999... という表現は 、0.9、0.99、0.999、...という数列の極限として解釈されるべきである。この数列は厳密に1という極限を持つことが示されるため、この表現は1という値を持つと解釈するのが妥当である。 [9]
正式には、 a 1 、 a 2 、… が 実 数列 であるとする 。列の極限が存在するとき、実数 L がこの列の 極限 となるのは、 すべての 実数 ε > 0に対して、任意の n > N に対して| a n − L | < ε が成り立つ ような 自然数 N が存在する場合 のみ である。 [10] 一般的な記法 は次のように読み取られる。 lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}
n が無限 大に近づくにつれて、 n の極限は Lに 等しい。
または
n が 無限 大に近づく ときの限界は n に 等しくなります。
正式な定義は、絶対値 | a n − L |が a n と L 間の距離である ため、最終的にはシーケンスのすべての要素が限界に任意に近づくことを直感的に意味します 。
すべての数列に極限があるわけではありません。極限を持つ数列は 収束する数列 と呼ばれ、極限を持たない数列は発散する数列 と呼ばれます 。収束する数列には極限が1つしか存在しないことが示せます。
数列の極限と関数の極限は密接に関連している。一方で、 数列 { a n }の nが無限大に近づくときの極限は、 自然数 { n } で定義される 関数 a ( n ) の無限大における極限に等しい。他方、 X が 関数 f ( x )の定義域であり、 x 0 に収束する X − x 0 内の 任意の点列 { x n } に対して f ( x n )の n が 無限 大 に近づくときの極限が L である場合、 xが x 0 に 近づくときの関数 f ( x ) の 極限 は L に等しい 。 [11]このような数列の 1 つは { x 0 + 1/ n } である 。
限界としての無限 有限値 ではなく、無限大に向かう極限を持つという概念もあります 。 ある数列が 「無限大に向かう」とは、境界と呼ばれる各実数 に対して 、 各 に対して となる整数が存在する場合を指します 。つまり、あらゆる可能な境界に対して、数列は最終的に境界を超えるということです。これはしばしば または単に と表記 さ れ ます 。 L {\displaystyle L} { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} M > 0 {\displaystyle M>0} N {\displaystyle N} n > N {\displaystyle n>N} a n > M . {\displaystyle a_{n}>M.} lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty } a n → ∞ {\displaystyle a_{n}\rightarrow \infty }
数列が発散しながらも無限大に向かわないことはあり得ます。このような数列は 振動数列 と呼ばれます。振動数列の例として、があります 。 a n = ( − 1 ) n {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}
負の無限大に向かうという対応する概念があり、 これ は上記の定義の不等式を 次のように変形することによって定義される。 lim n → ∞ a n = − ∞ {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=-\infty } a n < M , {\displaystyle a_{n}<M,} M < 0. {\displaystyle M<0.}
を持つ 数列は 非有界数列 と呼ばれ 、この定義は 複素数列 や 任意の距離空間 における数列にも同様に当てはまります。無限大に向かわない数列は 有界数列 と呼ばれます。正の無限大に向かわない数列は 上方に有界数列 と呼ばれ、負の無限大に向かわない数列は 下方に有界数列 と呼ばれます。 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} lim n → ∞ | a n | = ∞ {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|=\infty }
計量空間 上で述べた数列に関する議論は、実数の数列を対象としています。極限の概念は、 距離空間 のようなより抽象的な空間で値をとる数列に対しても定義できます。 が 距離関数 を持つ距離空間 であり 、 が の数列である場合 、 数列 の極限（存在する場合）は、 が与えられたときに 、 が存在するような元 であり 、 各 に対して、 が成り立ちます
。 これは、実数の数列 の場合にも 当てはまります 。 M {\displaystyle M} d {\displaystyle d} { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} M {\displaystyle M} a ∈ M {\displaystyle a\in M} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} N {\displaystyle N} n > N {\displaystyle n>N} d ( a , a n ) < ε . {\displaystyle d(a,a_{n})<\varepsilon .} a n → a {\displaystyle a_{n}\rightarrow a} d ( a , a n ) → 0 {\displaystyle d(a,a_{n})\rightarrow 0}
例: ℝ n 重要な例として、各 要素が実数である - 次元実ベクトル の空間が挙げられます。 適切な距離関数の例としては 、 によって定義される ユークリッド距離 があります。
点のシーケンスは 、極限が存在し、 である場合 に に収束します 。 n {\displaystyle n} x = ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\cdots ,x_{n})} x i {\displaystyle x_{i}} d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ = ∑ i ( x i − y i ) 2 . {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.} { x n } n ≥ 0 {\displaystyle \{\mathbf {x} _{n}\}_{n\geq 0}} x {\displaystyle \mathbf {x} } ‖ x n − x ‖ → 0 {\displaystyle \|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} \|\rightarrow 0}
位相空間 ある意味で、 極限を定義できる 最も抽象的な空間は 位相空間 です。 が位相 を持つ位相空間であり 、 が 内の数列である場合 、 数列の極限（存在する場合）は 、 の（開） 近傍が与えられたときに 、 任意の に対して が満たされるような が 存在するような点です。この場合、極限（存在する場合）は一意ではない可能性があります。ただし、 が ハウスドルフ空間 で ある場合は 、 一意でなければなりません 。 X {\displaystyle X} τ {\displaystyle \tau } { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} X {\displaystyle X} a ∈ X {\displaystyle a\in X} U ∈ τ {\displaystyle U\in \tau } a {\displaystyle a} N {\displaystyle N} n > N {\displaystyle n>N} a n ∈ U {\displaystyle a_{n}\in U} X {\displaystyle X}
機能スペース このセクションでは、関数のシーケンスの極限の概念について説明します。これは、以下で説明する関数の極限の概念と混同しないでください。
関数解析 の分野は 、関数空間における収束の有用な概念を特定することを目指しています。例えば、一般集合 から への関数の空間を考えてみましょう 。 それぞれが関数 であるような 関数の列が与えられたとき 、 各 {{nowrap| ,{{lang|la| に対して となる関数が存在すると仮定します。 E {\displaystyle E} R {\displaystyle \mathbb {R} } { f n } n > 0 {\displaystyle \{f_{n}\}_{n>0}} f n : E → R {\displaystyle f_{n}:E\rightarrow \mathbb {R} } x ∈ E {\displaystyle x\in E} f n ( x ) → f ( x ) or equivalently lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x){\text{ or equivalently }}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x).}
すると、列は に 点収束する と言われる 。 しかし、そのような列は予期せぬ挙動を示すことがある。例えば、不連続な点収束極限を持つ連続関数の列を構成することが可能である。 f n {\displaystyle f_{n}} f {\displaystyle f}
収束のもう一つの概念は 一様収束 です。2つの関数間の一様距離とは、 引数 を変化させたときの2つの関数間の差の最大値です。つまり、
この距離に関して 、列は 一様収束する 、あるいは 一様極限 を 持つ と言われます 。一様極限は、点ごとの極限よりも「優れた」性質を持っています。例えば、連続関数の列の一様極限は連続です。 f , g : E → R {\displaystyle f,g:E\rightarrow \mathbb {R} } x ∈ E {\displaystyle x\in E} d ( f , g ) = max x ∈ E | f ( x ) − g ( x ) | . {\displaystyle d(f,g)=\max _{x\in E}|f(x)-g(x)|.} f n {\displaystyle f_{n}} f {\displaystyle f} f n → f {\displaystyle f_{n}\rightarrow f}
関数空間には様々な収束の概念が定義できます。これは、 空間の 正則性に依存する場合があります。収束の概念を持つ関数空間の代表的な例としては、 Lp空間 と ソボレフ空間 が挙げられます。
関数内 関数 f ( x ) の 無限遠点における極限が L である 。任意の距離 εに対して、 x > S の 条件 を 満たすような値 S が 存在する 。 f が 実数値関数 で cが 実数 である とする 。直感的に言えば、
lim x → c f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
は、 x を c に十分近づける ことで、 f ( x )を L に望むだけ近づけることができること を意味します 。 [12]その場合、上記の式は「 x が c に近づく につれて、 x の f の極限は L になる 」と読み替えることができます。
正式には、「が に近づくとき の の極限 」の定義は以下のように与えられます。この極限は実数であり 、任意の実数 （「誤差」と考える）が与えられたとき、を 満たす任意 の に対して が 成り立つような が存在し 、 この極限は の ( ε , δ ) 定義 として知られてい
ます 。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} c {\displaystyle c} L {\displaystyle L} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} x {\displaystyle x} 0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }
不等式は 、考察対象の点集合から を除外するために用いられますが、一部の著者はこれを極限の定義に含めず、 単に と置き換えています 。 この置き換えは、 が で連続である ことを要求するのと同等です 。 0 < | x − c | {\displaystyle 0<|x-c|} c {\displaystyle c} 0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } | x − c | < δ {\displaystyle |x-c|<\delta } f {\displaystyle f} c {\displaystyle c}
数列の極限と関数の極限の関係を明らかにする同等の定義が存在することが証明できる。 [13] 同等の定義は以下のように与えられる。まず、の定義域における任意の数列に対して 、 による数列の像で ある関連する数列 が存在する ことに注目する 。 極限は実数である ため、 すべての 数列に対して 、 関連する数列 が成り立つ 。 { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} f {\displaystyle f} { f ( x n ) } {\displaystyle \{f(x_{n})\}} f {\displaystyle f} L {\displaystyle L} x n → c {\displaystyle x_{n}\rightarrow c} f ( x n ) → L {\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}
片側制限 「左手極限」（「下から」）の概念と「右手極限」（「上から」）の概念を定義することができます。これらは必ずしも一致する必要はありません。一例として、 、 の場合に となるように定義された正の指示関数 、 が挙げられます。 では 、 関数 の 「 左手 極限 」 は 0 、 「右手極限」は 1 となり、その極限は存在しません。記号的に言えば、この例では 、 と表すことができ 、 で ある ため、 は存在しないと 推論できます 。 f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} x ≤ 0 {\displaystyle x\leq 0} f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1} x > 0 {\displaystyle x>0} x = 0 {\displaystyle x=0} lim x → c − f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)=0} lim x → c + f ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}f(x)=1} lim x → c f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)} lim x → c − f ( x ) ≠ lim x → c + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)}
関数の極限における無限 「無限大に向かう」という概念を の領域で定義することができる 。 f {\displaystyle f} lim x → + ∞ f ( x ) = L . {\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=L.}
これは逆数が 0 に近づくときの極限と同等であると考えられます。 lim x ′ → 0 + f ( 1 / x ′ ) = L . {\displaystyle \lim _{x'\rightarrow 0^{+}}f(1/x')=L.}
あるいは直接定義することもできます。「 が正の無限大に近づくとき の の極限」と は、任意の実数 が与えられたときに 、 すべての に対して となる が 存在するような 値として定義されます 。 数列 の定義も同様です。 のとき 、 となります 。 f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} L {\displaystyle L} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} M > 0 {\displaystyle M>0} x > M {\displaystyle x>M} | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon } n → + ∞ {\displaystyle n\rightarrow +\infty } f ( x n ) → L {\displaystyle f(x_{n})\rightarrow L}
これらの式において、無限大は通常、符号付き（ または ） とみなされ、逆数の片側極限に対応します。両側の無限極限を定義することもできますが、著者は明確に記述する必要があります 。 + ∞ {\displaystyle +\infty } − ∞ {\displaystyle -\infty } ± ∞ {\displaystyle \pm \infty }
の値において「無限大に向かう」という概念を定義することも可能である 。 f {\displaystyle f} lim x → c f ( x ) = ∞ . {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty .}
これも逆数で定義できます。 lim x → c 1 f ( x ) = 0. {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{f(x)}}=0.}
あるいは、次のように直接定義することもできます。任意の実数 が与えられたとき 、 が存在し 、 に対して 関数 の絶対値はとなります 。 また、数列には無限の極限を持つこともできます。 の場合 、 数列となります 。 M > 0 {\displaystyle M>0} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } | f ( x ) | > M {\displaystyle |f(x)|>M} n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } f ( x n ) → ∞ {\displaystyle f(x_{n})\rightarrow \infty }
この直接的な定義は、片側無限極限への拡張が容易です。数学者は関数が極限に近づくことを「上方から」あるいは「下方から」と表現しますが、 片側極限の場合のような
標準的な 数学的表記法は存在しません。
非標準分析 非標準解析（数体系の 超実数 拡大を伴う） では 、数列の極限は、無限 超自然 指数 n = H における数列の自然拡大の 値の 標準部分 として表現できます 。したがって、 ここで、標準部分関数「st」は、各有限超実数を最も近い実数（それらの差は 無限小 ）に丸めます。これは、指数の値が「非常に大きい」場合、数列の項が数列の極限値に「非常に近い」という自然な直感を形式化します。逆に、超冪 構成においてコーシー数列で表される超実数の標準部分は 、 単にその数列の極限です。 この意味で、極限を取ることと標準部分を取ることは同等の手順です。 ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} a H {\displaystyle a_{H}} lim n → ∞ a n = st ( a H ) . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H}).} a = [ a n ] {\displaystyle a=[a_{n}]} ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} st ( a ) = lim n → ∞ a n . {\displaystyle \operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}.}
制限セット
シーケンスの極限セット 位相空間 における数列を とする 。 具体 的には と考えることができるが 、 定義はより一般的に成り立つ。 極限集合とは 、 の収束 部分数列 が存在するならば が極限集合に属するよう な点の集合である 。この文脈では、そのような は 極限点と呼ばれることもある。 { a n } n > 0 {\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} R {\displaystyle \mathbb {R} } { a n k } k > 0 {\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k>0}} a n k → a {\displaystyle a_{n_{k}}\rightarrow a} a {\displaystyle a} a {\displaystyle a}
この概念は、振動列の「長期的な挙動」を特徴付けるために用いられます。例えば、列 を考えてみましょう 。n =1 から始めると、この列の最初の数項は となります 。 これは振動的であるため極限は存在しませんが、極限点 が存在することが確認できます 。 a n = ( − 1 ) n {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}} − 1 , + 1 , − 1 , + 1 , ⋯ {\displaystyle -1,+1,-1,+1,\cdots } { − 1 , + 1 } {\displaystyle \{-1,+1\}}
軌道の極限集合 この概念は、 力学系 において軌道の極限を研究するために使用されます。軌道を関数 と定義すると 、 点は 「時刻」 における軌道の「位置」と考えられます 。 軌道の極限集合は次のように定義されます。任意の増加時間列 には 、 対応する位置列 が存在します 。 が任意の増加時間列 に対する 列 の極限集合である 場合、 は 軌道 の極限集合です。 γ : R → X {\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow X} γ ( t ) {\displaystyle \gamma (t)} t {\displaystyle t} { t n } {\displaystyle \{t_{n}\}} { x n } = { γ ( t n ) } {\displaystyle \{x_{n}\}=\{\gamma (t_{n})\}} x {\displaystyle x} { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} x {\displaystyle x}
技術的には、これは -極限集合です。減少する時間列に対応する極限集合は - 極限集合と呼ばれます。 ω {\displaystyle \omega } α {\displaystyle \alpha }
一例として、円軌道 が挙げられます 。 この軌道には一意の極限はありませんが、各 に対して 、 点は 極限点となり、これは時間 の系列 によって与えられます 。 しかし、極限点は必ずしも軌道上で到達する必要はありません。また、 軌道には 単位円が 極限集合として存在します。 γ ( t ) = ( cos ( t ) , sin ( t ) ) {\displaystyle \gamma (t)=(\cos(t),\sin(t))} θ ∈ R {\displaystyle \theta \in \mathbb {R} } ( cos ( θ ) , sin ( θ ) ) {\displaystyle (\cos(\theta ),\sin(\theta ))} t n = θ + 2 π n {\displaystyle t_{n}=\theta +2\pi n} γ ( t ) = t / ( 1 + t ) ( cos ( t ) , sin ( t ) ) {\displaystyle \gamma (t)=t/(1+t)(\cos(t),\sin(t))}
用途 限界は、分析におけるいくつかの重要な概念を定義するために使用されます。
シリーズ 数列の極限として形式化される興味深い表現の一つに、無限級数の和がある。これらは実数の「無限和」であり、一般的には 次のように表記される。これは極限を通して次のように定義される。 [13] 実数列 が与えられたとき 、部分和の列は次のように定義される。 数列に極限が 存在する場合、式の値は 極限と定義される。そうでない場合、その級数は発散すると言われる。 ∑ n = 1 ∞ a n . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.} { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} s n = ∑ i = 1 n a i . {\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.} { s n } {\displaystyle \{s_{n}\}} ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
典型的な例は バーゼル問題である 。 ここ で、 a n = 1 / n 2 {\displaystyle a_{n}=1/n^{2}} ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}
しかしながら、数列には本質的に唯一の収束の概念があるのに対し、級数には異なる収束の概念があります。これは、式が数列の異なる順序を区別しない のに対し、部分和の数列の収束性は 数列の順序に依存する 可能性がある ためです。 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}}
あらゆる順序付けに対して収束する級数は 無条件収束と呼ばれます。これは 絶対収束 と同値であることが証明できます 。これは以下のように定義されます。級数が絶対収束するとは、 が明確に定義されている場合です。さらに、あらゆる順序付けにおいて同じ値が得られます。 ∑ n = 1 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}
それ以外の場合、級数は 条件収束する 。条件収束級数に関する意外な結果は リーマン級数定理 である。順序付け次第で、部分和は任意の実数に収束するだけでなく、 にも収束する 。 ± ∞ {\displaystyle \pm \infty }
べき級数 級数の和の理論の有用な応用の一つは、 冪級数 である。これらは の形の級数の
和である。 はしばしば 複素数とみなされ、複素数列の収束という適切な概念が必要となる。級数の和が収束する の値の集合は 円であり、その半径は 収束半径 と呼ばれる。 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n z n . {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}.} z {\displaystyle z} z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} }
ある点における関数の連続性 ある点における連続性の定義は、限界を通じて与えられます。
上記の極限の定義は、 の場合でも成り立ちます 。 実際、関数 f はc で定義される必要すらありません 。しかし、 が定義され、 に等しい場合 、 関数は 点 において連続であると言えます 。 f ( c ) ≠ L {\displaystyle f(c)\neq L} f ( c ) {\displaystyle f(c)} L {\displaystyle L} c {\displaystyle c}
同様に、 のとき は で関数は連続であり 、 シーケンスに関しては のとき は です 。 c {\displaystyle c} f ( x ) → f ( c ) {\displaystyle f(x)\rightarrow f(c)} x → c {\displaystyle x\rightarrow c} x n → c {\displaystyle x_{n}\rightarrow c} f ( x n ) → f ( c ) {\displaystyle f(x_{n})\rightarrow f(c)}
が定義されていない 限界の例を 以下に示します。 f {\displaystyle f} c {\displaystyle c}
機能について考える
f ( x ) = x 2 − 1 x − 1 . {\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}.}
すると f (1) は定義されない（ 不定形を 参照）が、 xが 1に任意に近づくと、 f ( x ) はそれに応じて2に近づく： [14]
f (0.9) （ 0.99） （ 0.999） f (1.0) （ 1.001） f (1.01) f （1.1） 1.900 1.990 1.999 未定義 2.001 2.010 2.100
したがって、 x を 1 に十分近づけるだけで、 f ( x ) を 2 の限界に任意に近づけることができます 。 言い換えると、 lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 = 2. {\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}
これは、すべての実数 x ≠ 1 と 同様に代数的に計算することもできます 。 x 2 − 1 x − 1 = ( x + 1 ) ( x − 1 ) x − 1 = x + 1 {\textstyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}
ここで、 x + 1は x について1で連続なので、 x に1を代入すると次 の式が得られます。 lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 = 1 + 1 = 2. {\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}
関数は有限値における極限に加えて、無限大における極限も持つことがあります。例えば、 次の関数を考えてみましょう。 f ( x ) = 2 x − 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {2x-1}{x}}}
f (100) = 1.9900 f (1000) = 1.9990 f (10000) = 1.9999 x が極めて大きくなると、 f ( x ) の値は 2 に 近づき、 x を十分に 大きくすることで、 f ( x ) の値は 望みどおりに 2に近づく。したがって、この場合、 x が 無限大に近づくとき の f ( x ) の極限は 2 、つまり数学的記法で表すと、 lim x → ∞ 2 x − 1 x = 2. {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.}
連続関数 極限を考える際に重要な関数のクラスは 連続関数 です。これらはまさに、が 連続関数であるなら ば の領域にあるときはいつでも 極限が存在し 、 さらに であるという意味で、 の極限を保存 する関数です 。 f {\displaystyle f} a n → a {\displaystyle a_{n}\rightarrow a} f {\displaystyle f} f ( a n ) {\displaystyle f(a_{n})} f ( a ) {\displaystyle f(a)}
位相空間の最も一般的な設定では、短い証明が以下に与えられます。
を位相空間と の 間の連続関数とする 。 定義 により、 内の各開集合に対して 、 その逆像は 内で開集合となる 。 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} V {\displaystyle V} Y {\displaystyle Y} f − 1 ( V ) {\displaystyle f^{-1}(V)} X {\displaystyle X}
ここで、 が の 極限を持つ数列であるとします 。 すると、 は の数列であり 、 は 何らかの点です。 a n → a {\displaystyle a_{n}\rightarrow a} a {\displaystyle a} X {\displaystyle X} f ( a n ) {\displaystyle f(a_{n})} Y {\displaystyle Y} f ( a ) {\displaystyle f(a)}
の 近傍を選ぶ 。 すると、は （ の連続性により） 開集合 となり 、 特に を含む ので、 の近傍となる 。 が に 収束することにより 、 に対して と なる ような が 存在する 。 V {\displaystyle V} f ( a ) {\displaystyle f(a)} f − 1 ( V ) {\displaystyle f^{-1}(V)} f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} f − 1 ( V ) {\displaystyle f^{-1}(V)} a {\displaystyle a} a n {\displaystyle a_{n}} a {\displaystyle a} N {\displaystyle N} n > N {\displaystyle n>N} a n ∈ f − 1 ( V ) {\displaystyle a_{n}\in f^{-1}(V)}
次に 両辺に適用すると、同じ に対して 、 各 に対して が 成り立ちます 。 もともと は の 任意の近傍だったので 、 となります 。 これで証明は終了です。 f {\displaystyle f} N {\displaystyle N} n > N {\displaystyle n>N} f ( a n ) ∈ V {\displaystyle f(a_{n})\in V} V {\displaystyle V} f ( a ) {\displaystyle f(a)} f ( a n ) → f ( a ) {\displaystyle f(a_{n})\rightarrow f(a)}
実解析において、より具体的なケースで ある部分集合 上で定義された実数値関数 の場合 、 連続関数は その定義域のどの点でも連続である関数としても定義できます。 E ⊂ R {\displaystyle E\subset \mathbb {R} } f : E → R {\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} }
制限ポイント 位相幾何学 では、極限は 位相空間のサブセットの 極限点 を定義するために使用され、これにより 閉集合 の便利な特徴付けが与えられます。
位相空間 における 部分集合 を考える 。 に となるような列が存在するとき、 その点は 極限 点と呼ばれる 。 X {\displaystyle X} S {\displaystyle S} a {\displaystyle a} { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} S ∖ { a } {\displaystyle S\setminus \{a\}} a n → a {\displaystyle a_{n}\rightarrow a}
が ではなく で 定義される 理由は 、次の例で説明されます。 と を取ります 。 すると となり 、したがって は定数列 の極限となります 。 しかし は の極限点ではありません 。 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} S ∖ { a } {\displaystyle S\setminus \{a\}} S {\displaystyle S} X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } S = [ 0 , 1 ] ∪ { 2 } {\displaystyle S=[0,1]\cup \{2\}} 2 ∈ S {\displaystyle 2\in S} 2 , 2 , ⋯ {\displaystyle 2,2,\cdots } 2 {\displaystyle 2} S {\displaystyle S}
閉集合は開集合の補集合として定義され、 そのすべての極限点を含む任意の集合と同等です。 C {\displaystyle C}
デリバティブ 導関数は、形式的には極限として定義されます。実解析 の範疇において 、導関数はまず 部分集合 上で定義された実関数に対して定義されます 。 における導関数は 以下のように定義されます。 の極限が存在する場合 、 における導関数は この極限となります。 f {\displaystyle f} E ⊂ R {\displaystyle E\subset \mathbb {R} } x ∈ E {\displaystyle x\in E} f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} h → 0 {\displaystyle h\rightarrow 0} x {\displaystyle x}
同様に、それ は y → x {\displaystyle y\rightarrow x} f ( y ) − f ( x ) y − x . {\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}.}
導関数が存在する場合、それは通常 と表記されます 。 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)}
プロパティ
実数の列 実数列については、いくつかの性質が証明できる。 [13] と が それぞれ とに収束する2つの列であるとする 。 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
限界の合計は合計の限界に等しい a n + b n → a + b . {\displaystyle a_{n}+b_{n}\rightarrow a+b.} 極限の積は積の極限に等しい a n ⋅ b n → a ⋅ b . {\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow a\cdot b.} 極限の逆数は逆数の極限に等しい（ただし、 ） a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 1 a n → 1 a . {\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}\rightarrow {\frac {1}{a}}.} 同様に、関数は 非ゼロの について連続です 。 f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x} x {\displaystyle x}
コーシー列 実数の収束する数列の性質の一つに、 コーシー列で あるということがある。 [13] コーシー列の定義は 、任意 の 実数に対して 、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} N {\displaystyle N} m , n > N {\displaystyle m,n>N} | a m − a n | < ε . {\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon .}
非公式には、任意の小さな誤差に対して、 最終的にシーケンスがその間隔内に含まれるような 直径の間隔を見つけることが可能です。 ε {\displaystyle \varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon }
コーシー列は収束列と密接な関係があります。実際、実数列の場合、これらは同値であり、任意のコーシー列は収束します。
一般計量空間においても、収束する列はコーシー列であるという考え方は変わりません。しかし、逆は成り立ちません。すべてのコーシー列が一般計量空間において収束するわけではありません。典型的な反例として 、 通常の距離を持つ 有理数 , が挙げられます。 の小数近似列を 桁で切り捨てたもの はコーシー列ですが、 では収束しません 。 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} n {\displaystyle n} Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
すべてのコーシー列が収束する、つまりコーシー列が収束列と等しい距離空間は、 完全距離空間 と呼ばれます。
コーシー数列が収束数列よりも「扱いやすい」理由の 1 つは、コーシー数列は数列 のみの特性であるのに対し、収束数列では数列だけで なく数列の極限も必要となるためです 。 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} a {\displaystyle a}
収束の順序 数列が 極限に収束するかどうかだけでなく 、数列が極限に収束する速度を記述することも可能です。これを定量化する一つの方法は、 数列の 収束次数を用いることです。 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} a {\displaystyle a}
収束位の正式な定義は次のように述べられる。 は 極限 で収束する実数列であるとする 。さらに、 すべての に対して となる 。正の定数と が 存在し 、 その場合 は 収束位 で に収束すると言われる 。この定数 は漸近誤差定数と呼ばれる。 { a n } n > 0 {\displaystyle \{a_{n}\}_{n>0}} a {\displaystyle a} a n ≠ a {\displaystyle a_{n}\neq a} n {\displaystyle n} λ {\displaystyle \lambda } α {\displaystyle \alpha } lim n → ∞ | a n + 1 − a | | a n − a | α = λ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\left|a_{n+1}-a\right|}{\left|a_{n}-a\right|^{\alpha }}}=\lambda } a n {\displaystyle a_{n}} a {\displaystyle a} α {\displaystyle \alpha } λ {\displaystyle \lambda }
収束順序は、例えば 数値解析 の分野では誤差解析などに使用されます。
計算可能性 極限の計算は困難な場合があります。収束係数 が決定 不可能な 極限表現が存在します 。 再帰理論 では、 極限補題は 、決定不可能な問題を極限を用いて符号化できることを証明しています。 [15]
極限が存在するかどうかを示す定理や検定法はいくつかあります。これらは 収束検定 として知られています。例としては、 比検定 や スクイーズ定理 などが挙げられます。しかし、これらの定理や検定法は、極限の計算方法を示していない場合があります。
参照
注記 ^ スチュワート、ジェームズ (2008). 微積分学：初期超越関数 （第6版）. ブルックス/コール . ISBN 978-0-495-01166-8 。 ^ シュブリング、ゲルト（2005年）『 一般化、厳密さ、直観の対立：17～19世紀フランスとドイツにおける解析学の発展を支えた数概念』 ニューヨーク：シュプリンガー、pp. 22～ 23. ISBN 0387228365 。 ^ ユークリッド 『原論』ジョイス、デイヴィッド・E・ウースター訳、マサチューセッツ州：クラーク大学。第10巻、命題1。 ^ ヴァン・ローイ、ハーマン (1984). 「グレゴリウス・ア・サンクト・ヴィンセンティオ（1584–1667）の数学写本の年表と歴史的分析」。 ヒストリア マセマティカ 。 11 (1): 57–75 。 土井 : 10.1016/0315-0860(84)90005-3 。 ^ ローランズ、ピーター (2017). ニュートンとグレートワールドシステム. ワールドサイエンティフィック . p. 28. doi :10.1142/q0108. ISBN 978-1-78634-372-7 。 ^ Felscher, Walter (2000). 「ボルツァーノ、コーシー、イプシロン、デルタ」. American Mathematical Monthly . 107 (9): 844– 862. doi :10.2307/2695743. JSTOR 2695743. ^ ラーソン、ロン 、エドワーズ、ブルース・H. (2010). 一変数微積分 （第9版）. Brooks/Cole , Cengage Learning . ISBN 978-0-547-20998-2 。 ^ ミラー、ジェフ（2004年12月1日）. ロバートソン、エドマンド、オコナー、ジョン（編）. 「微積分記号の初期の使用」. MacTutor . 2025年9月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2008年12月18日 閲覧 。 ^ スティルウェル、ジョン （1994年） 『代数の要素：幾何学、数、方程式 』シュプリンガー、p.42、 ISBN 978-1441928399 。 ^ Weisstein, Eric W. 「Limit」. Wolfram MathWorld . 2020年6月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年8月18日 閲覧 。 ^ アポストル（1974年、75～76ページ） ^ Weisstein, Eric W. 「イプシロン-デルタ定義」 Wolfram MathWorld . 2020年6月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年8月18日 閲覧 。 ^ abcd ガワーズ, ティモシー; チュア, デクスター. 「解析学 I」. 数学トリポスからのノート . ^ “limit”. ブリタニカ百科事典 . 2021年5月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年8月18日 閲覧 。 ^ Soare, Robert I. (2014). 再帰的に列挙可能な集合と次数：計算可能関数と計算可能生成集合の研究 . ベルリン: Springer. ISBN 978-3-540-66681-3 . OCLC 1154894968.
参考文献
外部リンク ウィキブック 微積分学には、 極限 に関するページがあります。
![{\displaystyle a=[a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e2180fadc958d8270f9131db9238ff0c1f5392)
![{\displaystyle S=[0,1]\cup \{2\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4747fd449058e2902cd7277ce7f9afad8574e1)
