多様体のタイムライン

数学のタイムライン

これは、数学における主要な幾何学的概念の一つである多様体に関する年表です。より詳しい背景については、多様体と多様体の歴史をご覧ください。

背景

現代数学における多様体には、以下のような様々な種類があります。

• 滑らかな多様体。多変数微積分、数学解析、微分幾何学の基礎です。
• 区分線形多様体;
• 位相多様体。

ホモロジー多様体やオービフォールドなど、多様体に似た関連クラスも存在します。アンリ・ポアンカレによる基本的な定義に関する初期の研究の後、明確な定義が明らかになるまでには1世代を要し、さらに3つの主要なクラスをより正確に区別するにはさらに1世代を要しました。低次元位相幾何学（実際には3次元と4次元）は、高次元位相幾何学よりもポアンカレの遺産を清算する上で困難であることが判明しました。その後の発展により、新たな幾何学的アイデア、量子場の理論の概念、そして圏論の多用がもたらされました。

公理化の第一段階の参加者は、ダヴィド・ヒルベルトの影響を受けていた。ヒルベルトの公理を例として、関係者の一人であるデーンが解決したヒルベルトの第3問題、 19世紀の幾何学の必要性から生まれたヒルベルトの第15問題などである。 ^{[説明が必要]}多様体の主題は、代数的位相幾何学、微分位相幾何学、および幾何学的位相幾何学に共通する流れである。

1900年までのタイムラインとアンリ・ポアンカレ

年	寄稿者	イベント
18世紀	レオンハルト・オイラー	オイラーの多面体定理は、2次元球面を「三角形分割」する。n辺を持つ凸多角形を、任意の内部点を用いてn個の三角形に分割すると、n個の辺、1つの頂点、n - 1個の面が追加されるが、結果は保存される。したがって、三角形分割そのものの場合、一般的な結果が導かれる。
1820–3	ヤノシュ・ボヤイ	非ユークリッド幾何学、特に双曲平面を発展させる。
1822	ジャン＝ヴィクトル・ポンセレ	実射影平面を含む実射影幾何学を再構築する。[1]
1825年頃	ジョゼフ・ディエス・ジェルゴンヌ、ジャン＝ヴィクトル・ポンスレ	複素射影平面の幾何学的性質[ 2]
1840	ヘルマン・グラスマン	一般的なn次元線形空間。
1848	カール・フリードリヒ・ガウス ピエール・オシアン・ボネ	閉曲面の微分幾何学におけるガウス・ボネ定理。
1851	ベルンハルト・リーマン	リーマン面の解析接続の理論への導入。[3]リーマン面は次元1の複素多様体であり、この設定ではリーマン球面（複素射影直線）の分岐被覆空間として表される。
1854	ベルンハルト・リーマン	リーマン計量は、任意の次元の多様体の固有の幾何学的形状の概念を与えます。
1861	1850年頃からの民間伝承の結果	体積上の積分とその境界上の積分を関連付ける、3次元におけるケルビン・ストークスの定理の最初の従来通りの出版。
1870年代	ソフス・リー	リー群の概念は局所公式を用いて発展した。[4]
1872	フェリックス・クライン	クラインのエアランゲンプログラムは、幾何学の基礎となる多様体のクラスとして、古典群の同質空間に重点を置いています。
1870年代後半	ウリッセ・ディニ	ディニは、局所的に滑らかな関数の零点集合として多様体を構築するための基本的なツールである暗黙関数定理を発展させた。[5]
1890年代から	エリー・カルタン	多様体の余接束、配置空間によるハミルトン力学の定式化。[6]
1894	アンリ・ポアンカレ	位相空間の基本群。ポアンカレ予想が定式化される。
1895	アンリ・ポアンカレ	単体ホモロジー。
1895	アンリ・ポアンカレ	基礎研究『解析学』 、代数的位相幾何学の始まり。有向多様体（コンパクト）のポアンカレ双対性の基本形は、ベッティ数の中心対称性として定式化される。[7]

1900年から1920年

年	寄稿者	イベント
1900	デイヴィッド・ヒルベルト	ヒルベルトの第五問題は、変換群におけるリー群の特徴づけという問題を提起したが、この問題は1950年代に部分的に解決された。ヒルベルトの第十五問題は、複素グラスマン多様体上で行われる交差理論の一分野であるシューベルト計算への厳密なアプローチを必要とした。
1902	デイヴィッド・ヒルベルト	2次元多様体の暫定的な公理化（位相空間はまだ定義されていない）。 [8]
1905	マックス・デーン	予想として、数値的に三角形化された多様体と単体多面体を関連付けるデーン・サマービル方程式。[9]
1907	アンリ・ポアンカレ、ポール・ケーベ	単連結リーマン面の均一化定理。
1907	マックス・デーン、ポール・ヒーガード	クラインの百科事典の概説記事「Analysis Situs」は、三角形分割の存在を条件として、曲面の分類の最初の証明を与え、組み合わせ論的位相幾何学の基礎を築いた。[10] [11] [12]この著作には、1930年代まで定義が流動的であった「位相多様体」の組み合わせ論的定義も含まれていた。[13]
1908	ハインリヒ・フランツ・フリードリヒ・ティーツェ	ウィーン大学の学位論文では、組み合わせ論的手法による「位相多様体」の別の暫定的な定義が提案されている。 [13] [11] [14]
1908	エルンスト・シュタイニッツ、ティーツェ	Hauptvermutung予想は、2つの三角形分割の共通の精緻化の存在に関する予想です。これは1961年まで、多様体に関しては未解決問題でした。
1910	LEJ ブラウワー	ブラウワーの定理（定義域不変性）は、連結で空でない多様体は定次元を持つという系を持つ。この結果は30年間未解決問題であった。[15]同年、ブラウワーはリー群ではない位相群の最初の例を示した。[16]
1912	LEJ ブラウワー	ブラウワーは連続写像の次数について発表し、有向多様体の基本クラス概念を予見した。[17] [18]
1913	ヘルマン・ワイル	『リーマンの初期思想』は、 1 次元複素数の場合における多様体の概念のモデル定義を示しています。
1915	オズワルド・ヴェブレン	プリンストン大学のセミナーで発表された、曲面に対する組み合わせ論的アプローチである「切断法」。1921年にヘンリー・ロイ・ブラハナが曲面の分類の証明に用いた。[19]

1920年から1945年のホモロジー公理

年	寄稿者	イベント
1923	ヘルマン・キュネス	空間の積のホモロジーに関するキュネスの公式。
1926	ヘルムート・クネザー	「位相多様体」を、開球と同相な近傍を持つ第2可算なハウスドルフ空間として定義し、「組合せ多様体」をセル複素定義とHauptvermutungに依存して帰納的に定義する。[20]
1926	エリー・カルタン	対称空間の分類、同質空間のクラス。
1926	ティボール・ラド	2次元位相多様体には三角形分割がある。[21]
1926	ハインツ・ホップ	ポアンカレ・ホップの定理によれば、コンパクト微分多様体M上の孤立した零点を持つベクトル場の添字の和は、Mのオイラー特性に等しい。
1926−7	オットー・シュライアー	位相群の定義と、局所ユークリッド位相群としての「連続群」（伝統的な用語、究極的にはリー群）の定義。彼はまた、この文脈において普遍被覆を導入している。 [22]
1928	レオポルド・ヴィエトリス	ポアンカレ双対性に適用された証明分析による組合せ論的手段によるh-多様体の定義。[23]
1929	エグベルト・ファン・カンペン	彼の博士論文では、単体複体のスター複体を用いて、組合せ論的設定でポアンカレ双対性を回復した。[23]
1930	バーテル・レンデルト・ファン・デル・ワールデン	シューベルト計算の列挙幾何学における基礎づけという目標を追求し、 1930年の論文（代数多様体の三角形化可能性を前提として）において、彼はポアンカレ＝レフシェッツ交差理論の交差数​​版を考察した。 [24]同年、彼はドイツ数学者協会での講演に関するノート『 Kombinatorische Topologie』を発表し、その中で8人の著者による「位相多様体」の定義を概観した。[25]
1930年頃	エミー・ネーター	モジュール理論と一般連鎖複体はノイマンとその弟子たちによって発展し、代数的位相幾何学は抽象代数に基づいた公理的アプローチとして始まりました。
1931	ジョルジュ・ド・ラム	ド・ラームの定理：コンパクト微分多様体に対して、微分形式の連鎖複体は実（コ）ホモロジー群を計算する。[26]
1931	ハインツ・ホップ	ホップファイバを導入します。 ${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}$
1931–32年	オズワルド・ヴェブレン、JHCホワイトヘッド	ホワイトヘッドが1931年にヴェブレンを指導教官として執筆した論文『射影空間の表現』は、多様体を特定の公理に従うハウスドルフ空間として捉えるという、本質的かつ公理的な見解を与えている。これに続き、共著『微分幾何学の基礎』（1932年）が出版された。局所座標系であるポアンカレの「チャート」概念は、この地図帳に体系化されており、この設定において、遷移関数に正則性条件を適用することができる。[27] [28] [8]この基礎的な視点は、遷移関数に擬群制約を適用し、例えば区分線形構造を導入することを可能にする。[29]
1932	エドゥアルド・チェフ	チェフコホモロジー。
1933	ソロモン・レフシェッツ	位相空間の特異ホモロジー。
1934	マーストン・モース	モース理論は、コンパクト微分多様体の実ホモロジーとモース関数の臨界点を関連付ける。[30]
1935	ハスラー・ホイットニー	埋め込み定理の証明。n次元の滑らかな多様体は2n次元のユークリッド空間に埋め込むことができるというものである。[31]
1941	ヴィトルド・ヒューレヴィッツ	ホモロジー代数の第一基本定理: 短い正確な空間列が与えられた場合、その空間のコホモロジー群の長い列が正確であるような接続準同型が存在する。
1942	レフ・ポンチャギン	1947年に全文を出版したポンチャギンは、境界となる閉多様体はスティーフェル・ホイットニー数がゼロになるという結果をもたらすコボルディズムの新しい理論を確立した。ストークスの定理によれば、コボルディズムの部分多様体類は閉微分形式の積分に対して不変である。代数的不変量の導入により、同値関係を本質的なものとして計算する道が開かれた。[32]
1943	ヴェルナー・ギシン	ギシン配列とギシン準同型。
1943	ノーマン・スティーンロッド	局所係数を持つホモロジー。
1944	サミュエル・アイレンバーグ	特異ホモロジーおよび特異コホモロジーの「現代的な」定義。
1945	ベノ・エックマン	ハインツ・ホップの研究に基づくコホモロジー環の定義。多様体の場合、環積には複数の解釈があり、微分形式のウェッジ積や交差閉路を表すカップ積などが含まれる。

1945年から1960年

用語：この時期までに、多様体は一般的にヴェブレン＝ホワイトヘッドの多様体、すなわち局所ユークリッドハウスドルフ空間であると仮定されていたが、可算性公理の適用も標準化されつつあった。ヴェブレン＝ホワイトヘッドは、クネザーが以前に仮定したように、多様体が第二可算であるとは仮定していなかった。^[33]第二可算多様体を区別するための「可分多様体」という用語は、1950年代後半まで使われ続けた。^[34]

年	寄稿者	イベント
1945	サンダース・マクレーン-サミュエル・アイレンバーグ	カテゴリー理論の基礎:カテゴリー、関数、自然変換の公理。
1945	ノーマン・スティーンロッド–サミュエル・アイレンバーグ	ホモロジーおよびコホモロジーに対するEilenberg–Steenrod 公理。
1945	ジャン・ルレイ	層理論を創始した。ルレーにとって層とは、位相空間の閉部分空間に加群または環を割り当てる写像であった。最初の例は、閉部分空間にp番目のコホモロジー群を割り当てる層であった。
1945	ジャン・ルレイ	層コホモロジーを定義します。
1946	ジャン・ルレイ	コホモロジー群を反復的に近似する方法であるスペクトル列を発明する。
1948	カルタンセミナー	層理論を書き上げる。
1949年頃	ノーマン・スティーンロッド	ホモロジー類を多様体の基本類で表現するというスティーンロッド問題は擬多様体によって解決できる（後にコボルディズム理論によって定式化された）。[35]
1950	アンリ・カルタン	カルタンセミナーの層論ノートにおいて、彼は次のように定義している。「層空間（エタール空間）、層の公理的台、台付き層コホモロジー。」「ポアンカレ双対性の最も自然な証明は、層論によって得られる。」[36]
1950	サミュエル・アイレンバーグ- ジョセフ・A・ジルバー [de]	行儀の良い位相空間の純粋に代数的なモデルとしての単体集合。
1950	チャールズ・エアーズマン	エーレスマンのファイバ化定理は、滑らかな多様体間の滑らかで適切な射影的沈み込みが局所的に自明なファイバ化であることを述べています。
1951	アンリ・カルタン	層理論の定義。層は位相空間の（閉部分集合ではなく）開部分集合を用いて定義されます。層は位相空間の局所的性質と大域的性質を結び付けます。
1952	ルネ・トム	トム同型性は、多様体のコボルディズムをホモトピー理論の範囲内に持ち込みます。
1952	エドウィン・E・モイーズ	モイーズの定理は、3次元コンパクト連結位相多様体がPL多様体（以前の用語では「組合せ多様体」）であり、唯一のPL構造を持つことを確立した。特に、それは三角形化可能である。[37]この結果は現在、高次元には拡張できないことが知られている。
1956	ジョン・ミルナー	最初のエキゾチック球面は、ミルナーによって7次元の-バンドルとして構築されました。彼は、7次元球面上に少なくとも7つの微分可能な構造が存在することを示し、その構造は7次元球面上に少なくとも7つ存在することを示しました。 ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{4}}$
1960	ジョン・ミルナーとセルゲイ・ノビコフ	安定複素多様体のコボルディズム類の環は、正の偶数次数の無限個の生成元上の多項式環です。

1961年から1970年

年	寄稿者	イベント
1961	スティーブン・スメール	4 次元を超える一般化ポアンカレ予想の証明。
1962	スティーブン・スメール	ホイットニートリックに基づいた、4 次元を超える次元におけるh -コボルディズム定理の証明。
1963	ミシェル・カーヴェール–ジョン・ミルナー	エキゾチック球面の分類：n球面上の滑らかな構造のモノイドは、向きを保存する微分同相写像まで同相な向き付けられた滑らかなn多様体の集合であり、モノイド演算として連結和をとる。 の場合、このモノイドは群であり、向き付けられたホモトピーn球面のhコボルディズム類の群と同型であり、これは有限かつアーベル的である。 ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\neq 4}$ ${\displaystyle \Theta _{n}}$
1965	デニス・バーデン	1962 年に Smale が開始した 単連結コンパクト5 次元多様体の分類を完了します。
1967	フリードヘルム・ヴァルトハウゼン	3 次元グラフ多様体を定義および分類します。
1968	ロビオン・カービーとローラン・C・ジーベンマン	少なくとも5次元では、カービー・ジーベンマン類はPL構造を持つ位相多様体に対する唯一の障害である。[38]
1969	ローラン・C・ジーベンマン	区分線形同相ではない２つの同相PL多様体の例。[39] 多様体上の構造に対する最大アトラスアプローチは、位相多様体 M の Hauptvermutung を三分法として明確にした。Mは三角形分割を持たない可能性があり、したがって区分線形最大アトラスを持たないかもしれない。また、唯一の PL 構造を持つかもしれない。あるいは、複数の最大アトラスを持ち、したがって複数の PL 構造を持つかもしれない。2番目の選択肢が常に当てはまるという予想の地位は、この時点で、Mに応じて3つのケースのそれぞれが当てはまる可能性があるという形で明確になった。 「組合せ的三角測量予想」は、 Mがコンパクトである場合、最初のケースは起こり得ないと述べていた。[40]カービー＝ジーベンマンの結果により、この予想は否定された。ジーベンマンの例は、3番目のケースも起こり得ることを示した。
1970	ジョン・コンウェイ	結び目のかせ理論：かせモジュールによる結び目の不変量の計算。かせモジュールは量子不変量に基づくことができる。

1971～1980年

年	寄稿者	イベント
1974	シーシェン・チェン–ジェームズ・シモンズ	チャーン・サイモンズ理論：結び目と多様体の不変量を記述する特殊なTQFT。当時は3次元のみで使用可能であった。
1978	フランソワ・バイエン – モシェ・フラト – クリス・フロンスダル –アンドレ・リヒネロヴィッツ– ダニエル・スターンハイマー	変形量子化（後にカテゴリカル量子化の一部となる）

1981～1990年

年	寄稿者	イベント
1983年頃	サイモン・ドナルドソン	サイモン・ドナルドソンは、滑らかな4次元多様体理論に自己双対接続を導入し、4次元幾何学に革命をもたらし、それを数理物理学と関連付けました。彼の研究結果の多くは、後に1990年にクロンハイマーとの共著論文として出版されました。ドナルドソン理論については、こちらをご覧ください。
1983年頃	ウィリアム・サーストン	ウィリアム・サーストンは、すべてのハーケン3次元多様体が双曲的であることを証明し、サーストンの双曲化定理の証明を与え、3次元多様体研究における革命のきっかけとなった。双曲化定理および幾何化予想も参照のこと。
1984	ウラジミール・バジャノフ – ラズモフ・ストロガノフ	ヤン・バクスター方程式とザモロドチコフ方程式を一般化したバザノフ・ストロガノフのd単体方程式
1985年頃	アンドリュー・カソン	アンドリュー・キャッソンはホモロジー3次元球面に対するキャッソン不変量を導入し、3次元位相幾何学に全く新しい概念を導入し、3次元多様体の幾何学と2次元多様体の基本群の表現空間の幾何学を関連付けました。これは数理物理学との直接的なつながりにつながります。詳しくはキャッソン不変量を参照してください。
1986	ヨアヒム・ランベック–フィル・スコット	いわゆる位相の基本定理：セクション関数Γと胚関数Λは、前層のカテゴリと束のカテゴリ（同じ位相空間上）の間に双対的な随伴関係を確立し、これは層の対応する完全部分カテゴリとエタール束の対応する完全部分カテゴリ間のカテゴリの双対同値（または双対性）に制限されます。
1986	ピーター・フライド– デイヴィッド・イェッター	（コンパクト編組）モノイド的タングルカテゴリを構築する
1986	ウラジミール・ドリンフェルド–神保道雄	量子群：言い換えれば、準三角ホップ代数です。量子群の表現の圏は、追加の構造を持つテンソル圏であるという点が重要です。これらは、結び目や絡み目、低次元多様体の量子不変量の構築など、様々な応用に用いられます。
1987	ウラジミール・トゥラエフ	量子群とR行列を用いて量子位相幾何学の始まりを示し、既知の結び目多項式のほとんどを代数的に統一した。特に重要なのは、ヴォーン・ジョーンズとエドワード・ウィッテンによるジョーンズ多項式に関する研究である。
1988年頃	アンドレアス・フローアー	Andreas Floer がインスタントンホモロジーを紹介。
1988	グレアム・シーガル	楕円オブジェクト: 接続を備えたベクトルバンドルのカテゴリ化されたバージョンである関数であり、文字列の 2D 並列トランスポートです。
1988	グレアム・シーガル	共形体理論：いくつかの公理を満たす対称モノイド関数 ${\displaystyle Z\colon \operatorname {nCob} _{\mathbb {C} }\to \operatorname {Hilb} }$
1988	エドワード・ウィッテン	位相量子場理論（TQFT ）：いくつかの公理を満たすモノイド関数 ${\displaystyle Z\colon \operatorname {nCob} \to \operatorname {Hilb} }$
1988	エドワード・ウィッテン	位相弦理論
1989	エドワード・ウィッテン	チャーン・サイモンズ理論を用いたジョーンズ多項式を理解し、3次元多様体の不変量を導く
1990	ニコライ・レシェティヒン–ウラジーミル・トゥラエフ–エドワード・ウィッテン	量子群の表現のモジュラーテンソルカテゴリからの結び目のReshetikhin-Turaev-Witten不変量。

1991～2000年

年	寄稿者	イベント
1991	アンドレ・ジョヤル–ロス・ストリート	ペンローズ弦図を、追加構造を持つ様々なモノイド圏における抽象テンソルを用いて計算するための形式化。この計算は、低次元位相との関連に依存する。
1992	ウラジミール・トゥラエフ	モジュラーテンソルカテゴリ。結び目不変量の構築、 TQFTおよびCFTの構築、量子群の表現カテゴリ（単位根）の切断（半単純商）として、弱いホップ代数の表現カテゴリとして、 RCFTの表現カテゴリとして発生する特別なテンソルカテゴリ。
1992	ウラジミール・トゥラエフ–オレグ・ヴィロ	球面カテゴリに基づく Turaev–Viro 状態和モデル(最初の状態和モデル) と 3 次元多様体の Turaev–Viro 状態和不変量。
1992	ウラジミール・トゥラエフ	リンクの影の世界: リンクの影は、影の状態の合計によってリンクの影の不変量を与えます。
1993	ルース・ローレンス	拡張TQFT
1993	デイヴィッド・イェッター –ルイス・クレイン	リボン カテゴリに基づく Crane–Yetter 状態和モデルと 4 次元多様体の Crane–Yetter 状態和不変量。
1993	深谷健二	A ∞ -カテゴリとA ∞ -関数。A ∞ -カテゴリは、オブジェクトの閉じたマーク付き部分スキームを持つ非可換形式dg-多様体として見ることもできます。
1993	ジョン・バレット＝ブルース・ウェストベリー	球面カテゴリ:平面上の図の代わりに球面上の図の双対を持つモノイド カテゴリ。
1993	マキシム・コンツェビッチ	結び目のコンツェビッチ不変量（ウィッテン関数積分の摂動展開ファインマン積分）はコンツェビッチ積分によって定義される。これらは結び目の 普遍的なヴァシリエフ不変量である。
1993	ダニエル・フリード	TQFT への 3 つのアプローチ (パス積分からのモジュラー テンソル カテゴリ) を統合する、モジュラー テンソル カテゴリを使用したTQFTの新しいビュー。
1994	ピーター・クロンハイマー、トマシュ・ムロウカ	クロンハイマーとムロウカは、単純4次元滑らかな多様体のコホモロジーに「標準類」という概念を導入しました。これにより、仮説的に滑らかな4次元滑らかな多様体のドナルドソン不変量を計算できるようになります。詳しくは、クロンハイマー–ムロウカ基本類を参照してください。
1994	ネイサン・セイバーグとエドワード・ウィッテン	ネイサン・ザイバーグとエドワード・ウィッテンは、滑らかな有向4次元多様体に対する新しい不変量を導入しました。ドナルドソンと同様に、彼らも数理物理学に着目していますが、彼らの不変量はドナルドソン不変量よりも扱いやすいものです。詳しくは、ザイバーグ・ウィッテン不変量とザイバーグ・ウィッテン理論をご覧ください。
1994	マキシム・コンツェビッチ	ホモロジーミラー対称性予想を定式化します。第 1 チャーン類c 1 ( X ) = 0を持つコンパクトシンプレクティック多様体 Xとコンパクトカラビ-ヤウ多様体Yがミラーペアである場合、かつその場合のみ、D (Fuk X ) (局所システムを持つラグランジアンサイクルから作られたXの深谷三角カテゴリの導来カテゴリ) はD b (Coh Y ) ( Y上のコヒーレント層の有界導来カテゴリ)のサブカテゴリと同等です。
1994	ルイス・クレイン–イゴール・フレンケル	ホップ圏とそれによる4次元TQFTの構成。k重モノイドn圏を同定する。球面のホモトピー群の表と一致する。
1995	ジョン・バエズ–ジェームズ・ドラン	n次元TQFT をn カテゴリ表現として記述するプログラムの概要を説明します。
1995	ジョン・バエズ–ジェームズ・ドラン	n次元変形量子化を提案する。
1995	ジョン・バエズ–ジェームズ・ドラン	タングル仮説:次元でフレームされたnタングルのnカテゴリは、1 つのオブジェクトに双対を持つ自由弱k重モノイドnカテゴリと同等です。 ${\displaystyle n+k}$ ${\displaystyle (n+k)}$
1995	ジョン・バエズ–ジェームズ・ドラン	コボルディズム仮説(拡張 TQFT 仮説 I): n次元拡張 TQFT が表現 nCob であるnカテゴリは、 1 つのオブジェクトに双対を持つ自由で安定した弱いnカテゴリです。
1995	ジョン・バエズ–ジェームズ・ドラン	拡張 TQFT 仮説II: n次元ユニタリ拡張 TQFT は、1 つのオブジェクト上の双対を持つ自由安定な弱nカテゴリから nHilb まで 、すべてのレベルの双対性を保持する弱n関数です。
1995	ヴァレンティン・リチャギン	カテゴリカル量子化
1997	マキシム・コンツェビッチ	形式的変形量子化定理: すべてのポアソン多様体は微分可能なスター積を許容し、それらはポアソン構造の形式的変形によって同値性まで分類されます。
1998	リチャード・トーマス	サイモン・ドナルドソンの弟子であるトーマスは、4次元多様体理論におけるドナルドソン不変量に類似した、複素方向の3次元多様体Xの数値不変量のシステムであるドナルドソン・トーマス不変量を導入しました。
1998	マキシム・コンツェビッチ	カラビ・ヤウ圏：圏の各対象に対するトレース写像と、それに対応する（対象に関して）対称な非退化対を持つ線型圏。X が次元dの滑らかな射影カラビ・ヤウ多様体である場合、 X はカラビ・ヤウ次元dの単位カラビ・ヤウA ∞圏となる。対象を1つ持つカラビ・ヤウ圏はフロベニウス代数である。 ${\displaystyle D^{b}(\operatorname {Coh} (X))}$
1999	ジョセフ・バーンスタイン–イーゴリ・フレンケル–ミハイル・ホヴァノフ	テンパリー・リーブ圏：対象は非負整数で列挙される。対象nから対象mへ​​の準同型写像の集合は、環 上の基底を持つ自由R加群である。ここで、は平面上の水平帯の内部にある、底部に | n | 個の点、上部に | m | 個の点をある順序で接続する単純な対素弧系の同位体類によって与えられる。写像は、それらの図式を連結することによって構成される。テンパリー・リーブ圏は、テンパリー・リーブ代数に分類される。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (n|+|m|)/2}$
1999	モイラ・チャス –デニス・サリバン	コホモロジーによって弦の位相幾何学を構築する。これは一般位相多様体上の弦理論である。
1999	ミハイル・ホヴァノフ	コバノフ ホモロジー: ホモロジー群の次元が結び目のジョーンズ多項式の係数となるような結び目のホモロジー理論。
1999	ウラジミール・トゥラエフ	ホモトピー量子場理論（HQFT）
1999	ロナルド・ブラウン– ジョージ・ジャネリゼ	2次元ガロア理論。
2000	ヤコフ・エリアシュベルグ–アレクサンダー・ギブンタール–ヘルムート・ホーファー	シンプレクティック場理論 SFT :フレーム化されたハミルトン構造とそれらの間のフレーム化されたコボルディズムの幾何学的カテゴリから、それらの間の特定の微分 D モジュールとフーリエ積分演算子の代数的カテゴリへの関数であり、いくつかの公理を満たします。 ${\displaystyle Z}$

2001年～現在

年	寄稿者	イベント
2003	グリゴリー・ペレルマン	ペレルマンによる3次元ポアンカレ予想の証明。リッチフローを用いた。この証明はより一般化されている。[41]
2004	スティーブン・シュトルツ –ピーター・タイヒナー	多様体によってパラメータ化された p 次 nD量子場理論の定義。
2004	スティーブン・シュトルツ –ピーター・タイヒナー	超対称ユークリッド場の理論のモジュライ空間として位相モジュラー形式を構築するプログラム。彼らは、クロマティック・フィルトレーションにおけるコホモロジー理論（ド・ラーム・コホモロジー、K理論、モラヴァK理論）の分類空間と、多様体によってパラメータ化された超対称場の理論のモジュライ空間（0次元および1次元で証明済み）との間に、シュトルツ・タイヒナー描像（アナロジー）が存在すると予想した。
2005	ピーター・オズヴァース–ゾルタン・ザボー	結び目フロアーホモロジー
2008	ブルース・バートレット	点仮説の優位性：n次元ユニタリ拡張TQFTは、それが点に割り当てるn-ヒルベルト空間によって完全に記述される。これはコボルディズム仮説の再定式化である。
2008	マイケル・ホプキンス–ジェイコブ・ルリー	拡張された TQFT をすべての次元に分類するBaez-Dolanタングル仮説と Baez-Dolanコボルディズム仮説の証明のスケッチ。
2016	チプリアン・マノレスク	「三角分割予想」の反証。少なくとも5次元では、単体複体と同相ではないコンパクトな位相多様体が存在することを証明する。[42]

参照

• 微分可能なスタック
• 因数分解ホモロジー
• 倉西理論
• フロアーホモロジー
• 代数的位相幾何学の用語集
• ボルディズムのタイムライン

注記

1. Coxeter, HSM (2012-12-06). 実射影平面. Springer Science & Business Media. pp.  3– 4. ISBN 9781461227342. 2018年1月16日閲覧。
2. Buekenhout, Francis; Cohen, Arjeh M. (2013-01-26). ダイアグラム幾何学：古典群と建物との関連. Springer Science & Business Media. p. 366. ISBN 9783642344534. 2018年1月16日閲覧。
3. García, Emilio Bujalance; Costa, AF; Martínez, E. (2001-06-14). Topics on Riemann Surfaces and Fuchsian Groups. Cambridge University Press . p. ix. ISBN 9780521003506. 2018年1月17日閲覧。
4. プラトーノフ、ウラジミール・P. (2001) [1994]、「リー群」、数学百科事典、EMSプレス
5. ジェームズ、イオアン・M. (1999年8月24日). トポロジーの歴史. エルゼビア. p. 31. ISBN 9780080534077. 2018年6月30日閲覧。
6. スタイン、アーウィン (2013年12月4日). 理論力学、材料力学、計算力学の歴史 - 数学と力学、工学の出会い. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. pp.  70–1 . ISBN 9783642399053. 2018年1月6日閲覧。
7. ディウドネ, ジャン(2009年9月1日). 『代数的・微分的位相幾何学の歴史 1900-1960』. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 7. ISBN 9780817649074. 2018年1月4日閲覧。
8. James, IM (1999-08-24). トポロジーの歴史. エルゼビア. p. 47. ISBN 9780080534077. 2018年1月17日閲覧。
9. エフェンバーガー、フェリックス (2011)。正多面体のハミルトニアン部分多様体。ロゴス フェルラーク ベルリン GmbH. p. 20.ISBN​ 9783832527587. 2018年6月15日閲覧。
10. マックス・デーン;ポール・ヒーガード (1907)。 「分析現場」。エンザイクロップ。 d.数学。ヴィッセンシュ。 Vol. Ⅲ．ページ 153–220。JFM 38.0510.14  。​
11. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.、「多様体の​​タイムライン」、MacTutor数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
12. Peifer, David (2015). 「マックス・デーンと位相幾何学および無限群論の起源」(PDF) .アメリカ数学月刊誌. 122 (3): 217. doi :10.4169/amer.math.monthly.122.03.217. S2CID  20858144. 2018年6月15日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
13. ジェームズ、イオアン・M. (1999-08-24). トポロジーの歴史. エルゼビア. p. 54. ISBN 9780080534077. 2018年6月15日閲覧。
14. キリー、ワルサー;フィーアハウス、ルドルフ (2011-11-30)。ティボー - ジカ。ウォルター・デ・グルイテル。 p. 43.ISBN​ 9783110961164. 2018年6月15日閲覧。
15. Freudenthal, Hans (2014-05-12). LEJ Brouwer Collected Works: Geometry, Analysis, Topology and Mechanics. Elsevier Science. p. 435. ISBN 9781483257549. 2018年1月6日閲覧。
16. Dalen, Dirk van (2012-12-04). LEJ Brouwer – 位相幾何学者、直観主義者、哲学者：数学は生命にどのように根ざしているか. Springer Science & Business Media. p. 147. ISBN 9781447146162. 2018年6月30日閲覧。
17. マウヒン、ジーン(2001) [1994]、「ブラウワー度」、数学百科事典、EMSプレス
18. Dalen, Dirk van (2012-12-04). LEJ Brouwer – 位相幾何学者、直観主義者、哲学者：数学は生命にどのように根ざしているか. Springer Science & Business Media. p. 171. ISBN 9781447146162. 2018年6月30日閲覧。
19. Gallier, Jean; Xu, Dianna (2013).コンパクト曲面の分類定理ガイド. Springer Science & Business Media. p. 156. ISBN 9783642343643。
20. James, IM (1999-08-24). トポロジーの歴史. エルゼビア. pp.  52–3 . ISBN 9780080534077. 2018年6月15日閲覧。
21. James, IM (1999-08-24). トポロジーの歴史. エルゼビア. p. 56. ISBN 9780080534077. 2018年1月17日閲覧。
22. ブルバキ, N. (2013-12-01). 『数学史の要素』. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. pp. 264 note 20. ISBN 9783642616938. 2018年6月30日閲覧。
23. James, IM (1999-08-24). トポロジーの歴史. エルゼビア. p. 54. ISBN 9780080534077. 2018年6月15日閲覧。
24. Fulton, W. (2013-06-29). 交差理論. Springer Science & Business Media. p. 128. ISBN 9783662024218. 2018年6月15日閲覧。
25. James, IM (1999-08-24). トポロジーの歴史. エルゼビア. p. 54. ISBN 9780080534077. 2018年6月15日閲覧。
26. 「デ・ラームの定理」数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
27. James, IM (1999-08-24). トポロジーの歴史. エルゼビア. p. 56. ISBN 9780080534077. 2018年1月17日閲覧。
28. Wall, CTC (2016-07-04). 微分位相幾何学. ケンブリッジ大学出版局. p. 34. ISBN 9781107153523. 2018年1月17日閲覧。
29. James, IM (1999-08-24). トポロジーの歴史. エルゼビア. p. 495. ISBN 9780080534077. 2018年1月17日閲覧。
30. Postnikov, MM ; Rudyak, Yu. B. (2001) [1994], "Morse theory", Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
31. Basener, William F. (2013-06-12). トポロジーとその応用. John Wiley & Sons. p. 95. ISBN 9781118626221. 2018年1月1日閲覧。
32. Canadian Mathematical Bulletin. Canadian Mathematical Society. 1971. p. 289 . 2018年7月6日閲覧。
33. James, IM (1999-08-24). トポロジーの歴史. エルゼビア. p. 55. ISBN 9780080534077. 2018年6月15日閲覧。
34. ミルナー、ジョン・ウィラード; マクリアリー、ジョン (2009). ホモトピー、ホモロジー、多様体.アメリカ数学会. p. 6. ISBN 9780821844755. 2018年6月15日閲覧。
35. Rudyak, Yu. B. (2001) [1994]、「スティーンロッド問題」、数学百科事典、EMSプレス
36. Sklyarenko, EG (2001) [1994]、「ポアンカレ双対性」、数学百科事典、EMSプレス
37. シュプレーア、ジョナサン (2011). 組み合わせ位相幾何学における爆発、スライス、順列群. Logos Verlag Berlin GmbH. p. 39. ISBN 9783832529833. 2018年7月2日閲覧。
38. フリード, ダニエル・S. ;ウーレンベック, カレン・K. (2012-12-06). インスタントンと4次元多様体.シュプリンガー. p. 1. ISBN 9781461397038. 2018年7月6日閲覧。
39. Rudyak, Yuli (2015-12-28). 位相多様体上の区分線形構造. World Scientific . p. 81. ISBN 9789814733809. 2018年7月6日閲覧。
40. Ranicki, Andrew A.; Casson, Andrew J .; Sullivan, Dennis P .; Armstrong, MA; Rourke, Colin P .; Cooke, GE (2013-03-09). The Hauptvermutung Book: A Collection of Papers on the Topology of Manifolds. Springer Science & Business Media. p. 5. ISBN 9789401733434. 2018年7月7日閲覧。
41. モーガン, ジョン・W. ;ティアン, ギャング(2007). リッチフローとポアンカレ予想. アメリカ数学会. p. ix. ISBN 9780821843284。
42. マノレスク、チプリアン (2016)、「ピン(2)同変ザイバーグ・ウィッテン・フローアーホモロジーと三角測量予想」アメリカ数学会誌、29 : 147–176、arXiv : 1303.2354、doi :10.1090/jams829、S2CID  16403004

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