閉包（トポロジー）

All points and limit points in a subset of a topological space

位相幾何学において、位相空間内の点の部分集合Sの閉包は、 S内のすべての点とSのすべての極限点から構成されます。 Sの閉包は、 Sとその境界の和集合として定義することも、またSを含むすべての閉集合の積集合として定義することもできます。直感的には、この閉包はS内にあるかSに「非常に近い」すべての点と考えることができます。 Sの閉包内にある点は、 Sの閉包点です。閉包の概念は、多くの点で内部の概念と双対です。

定義

閉鎖点

ユークリッド空間のサブセットとして、を中心とするすべての開球がの点(この点はそれ自身である場合もある) を含むとき、は の閉包点となります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

この定義は、計量空間の任意の部分集合に一般化されます。完全に表現すると、計量 を持つ計量空間は、任意の に対して、距離(が許容される ) が存在する場合、の閉包点となります。これを別の言い方で表現すると、 は、距離 が最小値 である場合、 の閉包点となります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle d(x,s)<r}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,s)=0}$ ${\displaystyle \inf }$

この定義は、「開球」または「球」を「近傍」に置き換えることで位相空間に一般化されます。位相空間の部分集合をとすると、 はの閉包点またはの付着点であるとは、 のすべての近傍がの点を含む（この場合も、に対して は許容される）ことを意味します。^[1]この定義は、近傍が開球である必要があるかどうかには依存しないことに注意してください。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x=s}$ ${\displaystyle s\in S}$

限界点

集合 の閉包点の定義は、集合 の極限点の定義と密接に関連しています。2 つの定義の違いは微妙ですが重要です。つまり、集合 の極限点の定義では、 のすべての近傍に自体以外の の点が含まれていなければなりません。つまり、 の各近傍には明らかに がありますが、が の極限点であるためには、と等しくないの点も含まれている必要があります。定義において、 の極限点はの閉包点よりも厳しい条件を持ちます。集合のすべての極限点からなる集合はの導出集合と呼ばれます。集合の極限点は、集合の クラスター点または集積点とも呼ばれます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

したがって、すべての極限点は閉包点であるが、すべての閉包点が極限点であるわけではない。極限点ではない閉包点は孤立点である。言い換えれば、点が の元であり、その近傍にそれ自身以外の の点が存在しないとき、その点は の孤立点である。^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

与えられた集合と点に対して、 がの閉包点である場合、かつ がの要素であるか、が の極限点である場合（またはその両方である場合）に限ります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$

集合の閉包

によって表される、あるいは（が理解されていれば）によって表される位相空間の部分集合の閉包（ただし、 と が文脈から明らかな場合はまたはによって表されることもある（さらに、は と大文字で表記されることもある）は、以下の同等の定義のいずれかを使用して定義できる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}},}$ ${\displaystyle S{}^{-}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} }$

1. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は、​ ${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は、そのすべての極限点を伴う集合である。（ の各点はの閉包点であり、 の各極限点もまた の閉包点である。）^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
3. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$を含むすべての閉集合の共通部分である。 ${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は、以下を含む最小の閉集合である。 ${\displaystyle S.}$
5. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は、その境界の和集合である。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial (S).}$
6. ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は、に収束するネット（値）が存在するすべての集合である。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

集合の閉包には以下の性質がある。^[4]

• ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$は の閉じたスーパーセットです。 ${\displaystyle S}$
• 集合が閉じている場合、かつその場合のみ、集合は閉じます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} S}$
• が次の部分集合である場合 ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} T.}$
• が閉集合である場合、 が含まれるのは、 が含まれる場合のみである。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S.}$

時には上記の2番目または3番目の性質が位相閉包の定義として採用され、他の種類の閉包に適用した場合でも意味をなします（下記参照）。 ^[5]

第一可算空間（距離空間など）において、は、内のすべての収束する点の列のすべての極限の集合です。一般的な位相空間では、「列」を「ネット」または「フィルター」（位相におけるフィルターに関する記事で説明されているように）に置き換えても、この記述は当てはまります。 ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$ ${\displaystyle S.}$

これらの特性は、「閉包」、「上位集合」、「共通集合」、「包含」、「最小」、「閉包」を「内部」、「部分集合」、「和集合」、「包含」、「最大」、「開包」に置き換えた場合でも満たされることに注意してください。この点については、後述の閉包演算子を参照してください。

例

3次元空間にある球面を考えてみましょう。この球面によって暗黙的に2つの関心領域が生成されます。球面自体と内部（開3次元球面と呼ばれます）です。球面の内部と表面を区別することは便利なので、開3次元球面（球面の内部）と閉3次元球面（開3次元球面の閉包、つまり開3次元球面と表面（球面自体））を区別します。

位相空間では：

• 任意の空間において、。言い換えれば、空集合の閉包はそれ自身である。 ${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$
• どんな空間でも ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X=\operatorname {cl} X.}$

与えることと標準（メトリック）トポロジー： ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• が実数のユークリッド空間 である場合、 となります。言い換えると、の部分集合としての集合の閉包はです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1]}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• がユークリッド空間であるとき、有理数全体の閉包は空間全体である。が稠密であると言う。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• が複素平面である場合、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}.}$
• がユークリッド空間の有限部分集合である場合、（一般的な位相空間の場合、この性質はT ₁公理と同等である。） ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

実数の集合には、標準的なトポロジー以外のトポロジーを配置することができます。

• が下限位相を備えている場合、 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=[0,1).}$
• すべての集合が閉じた（開いた）離散位相を考えると、 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=(0,1).}$
• 空集合とそれ自身のみが閉集合（開集合）となるような自明な位相を考えると、 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}((0,1))=\mathbb {R} .}$

これらの例は、集合の閉包が基底空間の位相に依存することを示しています。最後の2つの例は、以下の例の特別な場合です。

• 任意の離散空間では、すべての集合は閉じている（また開いている）ので、すべての集合はその閉包に等しくなります。
• 任意の非離散空間 では、閉集合は空集合とそれ自身だけなので、空集合の閉包は空集合であり、のすべての空でない部分集合に対して が成り立ちます。言い換えれば、非離散空間のすべての空でない部分集合は稠密です。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$

集合の閉包は、どの空間で閉包をとるかによっても異なります。たとえば、が有理数全体の集合で、ユークリッド空間によって誘導される通常の相対位相を持つ場合、は において閉じていて同時に開いています。なぜなら、もその補集合も（ の下限となる ）を含むことができないからです。しかし、 は無理数なので には含められません。したがって、には境界要素が に含まれないため、明確に定義された閉包はありません。ただし、代わりに を実数全体の集合 と定義し、区間 を同じ方法で定義すると、その区間の閉包は明確に定義され、以上のすべての実数全体の集合になります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}>2,q>0\},}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

閉包演算子

集合 上の閉包作用素は、の冪集合を自身に写像したもので、クラトフスキー閉包公理 を満たす。位相空間が与えられた場合、位相閉包はを に写像することで定義される関数を誘導する。この関数では、 または という表記が代わりに使用される。逆に、が集合 上の閉包作用素である場合、を満たす部分集合を閉集合と定義することで位相空間が得られる（したがって、これらの部分集合のにおける補集合は位相の開集合を形成する）。 ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {c} }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbb {c} (S)=S}$ ${\displaystyle X}$

閉包演算子は内部演算子と双対であり、次のように表される。 ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X},}$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

そしてまた

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S).}$

したがって、閉包作用素の抽象理論とクラトフスキー閉包公理は、集合をその補集合に置き換えることによって、内部作用素の言語に容易に翻訳することができる。 ${\displaystyle X.}$

一般に、閉包作用素は交差と可換ではない。しかし、完備計量空間においては、以下の結果が成り立つ。

定理^[7]  (C. Ursescu) —完備距離空間の部分集合の列を ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$

• それぞれが閉じられたら ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {int} _{X}\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].}$$
• それぞれが開いている場合 ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} _{X}S_{i}\right)=\operatorname {int} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right)\right].}$$

閉鎖に関する事実

部分集合が閉じている場合、かつその場合に限ります。具体的には、 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$

• 空集合の閉包は空集合である。
• それ自体の閉鎖は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• 集合の交差の閉包は常に、集合の閉包の交差の部分集合です (ただし、等しい必要はありません)。
• 有限個の集合の和集合では、和集合の閉包と閉包の和集合は等しくなります。零集合の和集合は空集合であり、したがってこの文には空集合の閉包に関する前述の文が特別なケースとして含まれています。
• 無限個の集合の和集合の閉包は、必ずしも閉包の和集合と等しいわけではありませんが、常に閉包の和集合のスーパーセットになります。
  • したがって、2 つの閉集合の和集合が閉じているのと同じように、閉包は 2 項和集合にわたって分配されます。つまり、 ですが、無限個の閉集合の和集合が必ずしも閉じているとは限らないのと同じように、閉包は必ずしも無限個の和集合にわたって分配されるわけではありません。つまり、が無限のときに可能です。 ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}(S\cup T)=(\operatorname {cl} _{X}S)\cup (\operatorname {cl} _{X}T).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)\neq \bigcup _{i\in I}\operatorname {cl} _{X}S_{i}}$ ${\displaystyle I}$

かつが のサブスペースである場合（つまりがを誘導するサブスペース位相を備えている場合）には、 で計算されるの閉包はの共通部分とで計算されるの閉包に等しくなります。 ${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S~=~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$$

証拠

は の閉部分集合であるため、交差はの閉部分集合である（部分空間位相の定義より）。これは が成り立つことを意味する（はを含むの最小の閉部分集合であるため）。は の閉部分集合であるため、部分空間位相の定義より、 が および で閉じているような集合が存在するはずである。およびはの極小性で閉じているため、 が成り立つことを意味する。両辺を と交差させることで、 が成り立つことがわかる。 ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\subseteq T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S=T\cap C.}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{T}S\subseteq C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S\subseteq C.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\cap \operatorname {cl} _{X}S\subseteq T\cap C=\operatorname {cl} _{T}S.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

が の稠密部分集合であることは、が の部分集合であることと同値であることを意味する。が の真部分集合となること は可能であり、例えば と をとる。 ${\displaystyle S\subseteq T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S;}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S=(0,1),}$ ${\displaystyle T=(0,\infty ).}$

が のサブセットである必要はなく、のみが 常に保証されます。この場合、この包含は厳密になる可能性があります (たとえば、通常の位相、および^{[証明 1]}を考えてみましょう)。ただし、が の開サブセットに発生する場合は、等式が保持されます (との関係に関係なく)。 ${\displaystyle S,T\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle T=(-\infty ,0],}$ ${\displaystyle S=(0,\infty )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)=T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

証拠

とし、が で開集合であると仮定し、は に等しい（ のため）。補集合は で開集合である。 が で開集合であることは、も で開集合であることを意味する。したがって、は の閉集合であり、 は を部分集合として含む（ がであれば であるため）、つまり が成り立つことを意味する。両辺を と交わらせると が成り立つことが証明される。逆包含は から導かれる。 ${\displaystyle S,T\subseteq X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C:=\operatorname {cl} _{T}(T\cap S),}$ ${\displaystyle T\cap \operatorname {cl} _{X}(T\cap S)}$ ${\displaystyle T\cap S\subseteq T\subseteq X}$ ${\displaystyle T\setminus C}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\setminus C}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\setminus (T\setminus C)=(X\setminus T)\cup C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X\setminus T)\cup C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s\in T\cap S\subseteq \operatorname {cl} _{T}(T\cap S)=C}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S\subseteq (X\setminus T)\cup C.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\cap \operatorname {cl} _{X}S\subseteq T\cap C=C.}$ ${\displaystyle C\subseteq \operatorname {cl} _{X}(T\cap S)\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

したがって、 がの任意の開被覆であり、 が任意の部分集合である場合、 が成り立ちます。 なぜなら、任意のに対して（ただし、 はによってその上に誘導される部分空間位相を付与されている）からです。この等式は、が多様体であり、開被覆内の集合が座標チャートの領域である場合に特に有用です。言い換えれば、この結果は、任意の部分集合のにおける閉包が の任意の開被覆の集合において「局所的に」計算され、その後、それらが結合されることを示しています。このように、この結果は、部分集合が で閉包される場合と、それが「 で局所的に閉包される場合とで同じ」というよく知られた事実の類似物と見なすことができます。つまり、が の任意の開被覆である場合、 がで閉包される場合と、それが任意の に対してで閉包される場合とで同じです。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)}$$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{U}(S\cap U)=U\cap \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\cap U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}.}$

関数と閉鎖

連続

位相空間間の関数が連続であることは、余域のすべての閉部分集合の逆像が領域内で閉じていることと同値である。これは、明示的には、が閉部分集合であるときはいつでも、が閉であることを意味する。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(C)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y.}$

閉包演算子を用いると、任意の部分集合に対して が連続であることと、が部分集合の閉包に属する任意の元が における の閉包に必ず属することの両者が成り立つ、という条件を満たす。ある点が の部分集合に近いと宣言すれば、この用語によって連続性を平易な英語で記述できる。が連続であることと、 が部分集合に対して に近い点を に近い点に写像することの両者が成り立つ、という条件を満たす。したがって、連続関数とは、点と集合の間の「近似性」関係を（順方向に）維持する関数と同義である。関数が連続であることと、 が部分集合に近いときは必ずその点の像がその集合の像に近い、という条件を満たす。同様に、 が固定された与えられた点で連続であることと、が部分集合に近いときは必ずが近い、という条件を満たす。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{Y}(f(A)).}$$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

閉じた地図

関数が（強く）閉写像である必要十分条件は、 が の閉部分集合であるときがの閉部分集合である必要十分条件である 。閉包演算子の用語で、が（強く）閉写像である必要十分条件は、すべての部分集合に対してが（強く）閉写像である必要十分条件である 。同様に、が（強く）閉写像である必要十分条件は、すべての閉部分集合に対してが ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(A)\subseteq f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}f(C)\subseteq f(C)}$ ${\displaystyle C\subseteq X.}$

カテゴリー解釈

次のように、普遍的な矢印を使用して閉包演算子を定義することができます。

集合のべき集合は、半順序圏として実現することができ、その対象は部分集合であり、射は包含写像である。 が部分集合である場合、さらに、上の位相は包含関手を持つのサブカテゴリである。固定された部分集合を含む閉部分集合の集合は、コンマカテゴリと同一視できる。このカテゴリ（これも半順序である）は、始対象を持つ。したがって、包含によって与えられるからへの普遍的な矢印が存在する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I:T\to P.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (A\downarrow I).}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle A\to \operatorname {cl} A.}$

同様に、 を含むすべての閉集合はに含まれる開集合に対応するので、そのカテゴリはの内部を終端オブジェクトとする に含まれる開部分集合の集合として解釈できる。 ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (A),}$ ${\displaystyle A.}$

閉包のすべての性質は、この定義と上記の圏のいくつかの性質から導出できます。さらに、この定義は位相閉包と他の種類の閉包（例えば代数的閉包）との類似性を明確にします。なぜなら、それらはすべて普遍的射の例だからです。

参照

• 付着点 – 位相空間の特定の部分集合の閉包に属する点
• 閉包代数 – 代数構造Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 閉正集合、その内部の閉包に等しい集合
• 導来集合（数学）  – 集合のすべての極限点の集合
• 内部（位相）  - ある集合の最大開集合
• 集合の極限点 – 位相空間におけるクラスター点Pages displaying short descriptions of redirect targets

注記

1. と から、となり、となり、 ${\displaystyle T:=(-\infty ,0]}$ ${\displaystyle S:=(0,\infty )}$ ${\displaystyle S\cap T=\varnothing }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=[0,\infty ),}$ $${\displaystyle \varnothing ~=~\operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~\neq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S~=~\{0\}.}$$

参考文献

1. シューベルト 1968年、20ページ
2. クラトフスキー 1966, 75ページ
3. ホッキング＆ヤング 1988年、4ページ
4. クルーム 1989、104ページ
5. Gemignani 1990、p. 55、Pervin 1965、p. 40、およびBaker 1991、p. 38では、2番目のプロパティが定義として使用されています。
6. パーヴィン 1965、41ページ
7. Zălinescu 2002、33ページ。

参考文献

• ベイカー、クランプ W. (1991)、『トポロジー入門』、Wm. C. ブラウン出版社、ISBN 0-697-05972-3
• クルーム、フレッド H. (1989)、「位相幾何学の原理」、サンダース大学出版、ISBN 0-03-012813-7
• ジェミニャーニ、マイケル・C. (1990) [1967]、初等位相学（第2版）、ドーバー、ISBN 0-486-66522-4
• ホッキング、ジョン・G.; ヤング、ゲイル・S. (1988) [1961],トポロジー, ドーバー, ISBN 0-486-65676-4
• クラトフスキー、K.（1966）、トポロジー、第1巻、アカデミック・プレス
• パーヴィン、ウィリアム J. (1965)、一般位相幾何学の基礎、アカデミック・プレス
• シューベルト、ホルスト（1968）、トポロジー、アリン＆ベーコン
• ザリネスク、コンスタンチン（2002年7月30日）『一般ベクトル空間における凸解析』リバーエッジ、ニュージャージー州ロンドン：ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング、ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 –インターネットアーカイブ経由。

外部リンク

• 「集合の閉包」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

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