位相テンソル積

Tensor product constructions for topological vector spaces

数学において、2つの位相ベクトル空間の位相テンソル積を構成する方法は通常、多種多様です。ヒルベルト空間や核空間については、テンソル積に関する単純な理論（ヒルベルト空間のテンソル積を参照）が存在します。しかし、一般のバナッハ空間や局所凸位相ベクトル空間については、この理論は非常に複雑です。

モチベーション

位相テンソル積の元々の動機の一つは、滑らかな実数値関数の空間のテンソル積が期待通りに振る舞わないという事実である。 ${\displaystyle {\hat {\otimes }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\hookrightarrow C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})}$

しかしこれは同型ではない。例えば、関数は^[1]の滑らかな関数の有限線型結合として表現できない。位相テンソル積を構築した後にのみ同型が得られる。すなわち、 ${\displaystyle f(x,y)=e^{xy}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{x})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} _{y}).}$

${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mathop {\hat {\otimes }} C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\cong C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m}).}$

本稿ではまず、バナッハ空間の場合における構成を詳述する。この空間はバナッハ空間ではないため、その他の場合については最後に議論する。 ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

ヒルベルト空間のテンソル積

二つのヒルベルト空間AとBの代数テンソル積は、AとBのセクリニア形式によって誘導される自然な正定値セクリニア形式（スカラー積）を持つ。したがって、特にそれは自然な正定値二次形式を持ち、対応する完備化はヒルベルト空間A ⊗ Bであり、これはAとBの（ヒルベルト空間）テンソル積と呼ばれる。

ベクトルa _iとb _{j が}AとBの直交基底を通る場合、ベクトルa _i ⊗ b _jはA ⊗ Bの直交基底を形成します。

バナッハ空間の交差ノルムとテンソル積

この節では、(Ryan 2002) の記法を用いる。2つのバナッハ空間とテンソル積を定義する明白な方法は、ヒルベルト空間の方法を模倣することである。すなわち、代数的テンソル積にノルムを定義し、このノルムにおける完備化をとる。問題は、テンソル積にノルムを定義する自然な方法が複数存在することである。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

とがバナッハ空間であるとき、と の代数テンソル積は、ベクトル空間としてのとのテンソル積を意味し、 と で表される。代数テンソル積は、 とに依存する自然数であるすべての有限和から成り、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes B.}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ $${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{i}\in A}$ ${\displaystyle b_{i}\in B}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

とがバナッハ空間であるとき、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$クロスノルム（または代数テンソル積の交差ノルム)、条件を満たすノルムである。ここで、 と はそれぞれと の位相双対空間の要素であり、は の双対ノルムである。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ $${\displaystyle p(a\otimes b)=\|a\|\|b\|,}$$ $${\displaystyle p'(a'\otimes b')=\|a'\|\|b'\|.}$$ ${\displaystyle a^{\prime }}$ ${\displaystyle b^{\prime }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle p^{\prime }}$ ${\displaystyle p.}$上記の定義では、合理的なクロスノルムも使用されます。

射影交差ノルムと呼ばれる交差ノルムがあり、これは次のように表される。 ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \pi (x)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|:x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}\right\},}$$ ${\displaystyle x\in A\otimes B.}$

射影交差ノルムは最大交差ノルムと一致することが判明しました (Ryan 2002、pp. 15–16)。

入射的クロスノルムと呼ばれるクロスノルムがあり、 によって定義されます 。ここで、 と はそれぞれと の位相的双対を表します。 ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \varepsilon (x)=\sup \left\{\left|(a'\otimes b')(x)\right|:a'\in A',b'\in B',\|a'\|=\|b'\|=1\right\}}$$ ${\displaystyle x\in A\otimes B.}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$

ここで、入射クロスノルムは、ある合理的な意味でのみ「最小」であることに注意してください。

これら2つのノルムにおける代数テンソル積の完備化は射影テンソル積および単射テンソル積と呼ばれ、次のように表される。 ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\pi }B}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\varepsilon }B.}$

とがヒルベルト空間であるとき、それらのヒルベルト空間テンソル積に用いられるノルムは、一般にはこれらのノルムのどちらとも等しくない。一部の著者はこれを と表記するため、上の節におけるヒルベルト空間テンソル積は ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\sigma }B.}$

あ一様クロスノルム は、バナッハ空間の各ペアに、 上の妥当なクロスノルムを割り当てることである。 が任意のバナッハ空間である場合、すべての（連続線型）演算子に対して、演算子は連続であり、と が2つのバナッハ空間であり、 が一様クロスノルムである場合代数テンソル積上の妥当なクロスノルムを定義する。にそのノルムを装備することで得られるノルム線型空間はの完備化はバナッハ空間であり、 で表される。上の によって与えられるノルムの値は、（またはの元に対する完備テンソル積上では、 で表される。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X,W,Y,Z}$ ${\displaystyle S:X\to W}$ ${\displaystyle T:Y\to Z}$ ${\displaystyle S\otimes T:X\otimes _{\alpha }Y\to W\otimes _{\alpha }Z}$ ${\displaystyle \|S\otimes T\|\leq \|S\|\|T\|.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\otimes B.}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B.}$ ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B,}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\alpha }B}$ ${\displaystyle \alpha _{A,B}(x){\text{ or }}\alpha (x).}$

一様クロスノルムは次のように言われる。 ${\displaystyle \alpha }$有限生成とは、バナッハ空間の任意のペアと任意の ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$ $${\displaystyle \alpha (u;X\otimes Y)=\inf\{\alpha (u;M\otimes N):\dim M,\dim N<\infty \}.}$$

一様クロスノルムは ${\displaystyle \alpha }$任意のバナッハ空間のペアと任意の ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle u\in X\otimes Y,}$ $${\displaystyle \alpha (u)=\sup\{\alpha ((Q_{E}\otimes Q_{F})u;(X/E)\otimes (Y/F)):\dim X/E,\dim Y/F<\infty \}.}$$

あテンソルノルムは有限生成一様クロスノルムとして定義されます。上で定義した射影クロスノルムと入射クロスノルムはテンソルノルムであり、それぞれ射影テンソルノルムと入射テンソルノルムと呼ばれます。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

とが任意のバナッハ空間であり、が任意の一様交差ノルムである場合、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \varepsilon _{A,B}(x)\leq \alpha _{A,B}(x)\leq \pi _{A,B}(x).}$$

局所凸位相ベクトル空間のテンソル積

局所凸位相ベクトル空間 と の位相は、半ノルムの族によって与えられる。 および上の半ノルムの各選択に対して、代数テンソル積 上の対応するクロスノルムの族を定義でき、各族から1つのクロスノルムを選択することで、位相を定義する 上のクロスノルムが得られる。一般に、これを行う方法は膨大にある。最も重要な2つの方法は、すべての射影クロスノルムを取るか、すべての入射クロスノルムを取ることである。 上の結果として得られる位相の完備化は、射影テンソル積と入射テンソル積と呼ばれ、 および で表され、からへの自然な写像が存在する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes B,}$ ${\displaystyle A\otimes B,}$ ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$ ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B.}$

または が核空間である場合、 からへの自然な写像は同型である。大まかに言えば、これはまたはが核空間である場合、との有効なテンソル積は1つしか存在しないことを意味する。この性質は核空間を特徴付ける。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\gamma }B}$ ${\displaystyle A\otimes _{\lambda }B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

参照

• フレシェ空間 – 局所凸位相ベクトル空間であり、完備計量空間でもある
• フレドホルムカーネル
• 帰納的テンソル積
• 射影位相 – 特定の関数を連続にする最も粗い位相Pages displaying short descriptions of redirect targets

参考文献

1. 「C∞(R)⊗C∞(R)に含まれないC∞(R2)の滑らかな関数の例は何ですか」。

• Ryan, RA (2002), 『バナッハ空間のテンソル積入門』ニューヨーク：Springer。
• Grothendieck, A. (1955)、「Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires」、米国数学協会回想録、16。

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