トロイダルインダクタと変圧器

積層鉄心を備えた中電力トロイダル主電源トランス。

フェライトコア付き小型トロイダルインダクタ

従来の変圧器は長方形のコアに巻かれています。

トロイダル主電源トランスを備えたリニア電源装置の内部。

トロイダルインダクタおよびトランスは、環状（リング状またはドーナツ状）の磁心を用いたインダクタおよびトランスです。これらは受動電子部品であり、積層鉄、鉄粉、フェライトなどの強磁性材料で作られた環状またはドーナツ状の磁心と、その周囲に巻線が巻かれた構造をしています。

閉コア型インダクタやトランスでは、長方形のコアが使用されることが多いですが、トロイダル形状のコアを使用すると、優れた電気性能が得られる場合があります。トロイダル形状の利点は、その対称性により、コアの外側に逃げる磁束（漏れ磁束）の量を低減できるため、効率が向上し、電磁干渉（EMI）の放射が低減される可能性があることです。

トロイダルインダクタとトランスは、電源、インバータ、アンプなどの幅広い電子回路で使用されており、テレビ、ラジオ、コンピューター、オーディオパワーアンプなど、ほとんどの電気機器で使用されています。

利点

一般的に、トロイダルインダクタ/トランスは、他の形状のコアよりも材料が少なく、センタリングワッシャー、ナット、ボルトが含まれているため、最大50％の軽量設計が可能になり、コンパクトになります。^{[ 1 ]}これは特に電力機器に当てはまります。

トロイドは閉ループコアであるため、同じ質量の直線コアを持つインダクタ（ソレノイドコイル）よりも高い磁場を持ち、したがってインダクタンスとQ値が高くなります。これは、磁場の大部分がコア内に収まるためです。一方、直線コアを持つインダクタでは、コアの一端から発生した磁場が他端に到達するまでに、空気中を長い経路を辿る必要があります。

さらに、巻線が比較的短く、閉磁界内で巻かれているため、トロイダルトランスは二次インピーダンスが低くなり、効率と電気性能が向上し、歪みやフリンジングなどの影響が減少します。^{[ 2 ]}

トロイダルコイルの対称性により、コアから漏れる磁束（漏れ磁束）はわずかです。そのため、トロイダルインダクタ／トランスは、隣接回路への電磁干渉（EMI）放射が少なく、高密度環境に最適です。^{[ 3 ]}近年、家電製品が発生できる電磁界の量を規制する国際規格がますます厳しくなっているため、メーカーはトロイダルコイルを採用しています。

完全なBフィールド閉じ込め

状況によっては、トロイダルインダクタの巻線を流れる電流は、巻線内部の磁界Bのみに寄与し、巻線外部の磁界Bには寄与しません。これは対称性とアンペールの回路法則によるものです。

十分条件

図1. 座標系。Z軸は公称対称軸です。X軸は巻き始めの点と一致するように任意に選択されます。ρは半径方向と呼ばれます。θは円周方向と呼ばれます

図2. 円周方向の電流が流れない軸対称トロイダルインダクタ。

円周電流が存在しない^{[ 4 ]}（円周電流の経路は、このセクションの図3の赤い矢印で示されています）ことと、導体と磁性体の軸対称レイアウト^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}は、磁界Bを完全に内部に閉じ込めるための十分な条件です。（一部の著者は磁界Hの使用を好みます）。対称性のため、磁界Bの磁束線は対称軸を中心とした一定強度の円を形成しなければなりません。電流を囲む磁界Bの磁束線は、トロイダル巻線の内側にあるものだけです。したがって、アンペールの回路法則から、巻線の外側では磁界Bの強度はゼロでなければなりません。^{[ 6 ]}

図3. 円周方向電流を流したトロイダルインダクタ

このセクションの図 3 は、最も一般的なトロイダル巻線を示しています。これは、完全な B フィールド閉じ込めの要件を両方とも満たしていません。軸から見ると、巻線がコアの内側にある場合もあれば、外側にある場合もあります。近くの領域では軸対称ではありません。ただし、巻線間隔の数倍の距離の点では、トロイドは対称に見えます。^{[ 7 ]} 円周方向の電流の問題はまだ残っています。巻線がコアを何周しても、またワイヤがどれだけ細くても、このトロイダルインダクタには、トロイドの平面内に 1 つのコイルループが含まれます。この巻線は、インダクタの平面内にEフィールドも生成し、その影響を受けます。

図4～6は、周方向電流を中和する様々な方法を示しています。図4は最もシンプルな方法で、インダクタを購入または自作した後にリターン線を追加できるという利点があります。

図4. 戻り線で逆流する円周電流。戻り線は白色で、インダクタの外側の縁と巻線の外側部分の間を走っています。

図5. 戻り巻線によって逆流する円周方向電流。

図6. 分割された戻り巻線によって打ち消される円周方向の電流。

外部電界

図7. 単純なトロイドと発生する電界。±100ボルトの励起を想定

図8. 戻り巻線での電圧分布。±100ボルト励起を想定。

巻線に沿って電位分布が生じます。これにより、図7に示すように、トロイド面内に電界が発生し、またトロイド面内で電界の影響を受けやすくなります。これは、図8に示すように、戻り巻線を使用することで軽減できます。この戻り巻線では、巻線が交差する箇所ごとに、2つの部分が等しく反対の極性になるため、面内に発生する電界が大幅に減少します。

磁気ベクトルポテンシャル

対称トロイダルインダクタの周りの磁気ベクトルポテンシャルの発達を示しています

磁気ベクトルポテンシャルに関する一般的な議論については、ファインマンの第14章^{[ 8 ]}と第15章^{[ 9 ]}を参照してください。また、少なくとも無限遠においては、 B場が完全に内部に閉じ込められていることを示す、細長いソレノイドの周りの磁気ベクトルポテンシャルの図については、ファインマンの15-11ページ^{[ 10 ]}を参照してください。

A場は、仮定を用いると正確です。これは以下の仮定のもとで成り立ちます。 ${\displaystyle bf{A}=0}$

• 1.クーロンゲージが使用される
• 2.ローレンツゲージが使用され、電荷の分布は存在しない。 ${\displaystyle \rho =0\,}$
• 3.ローレンツゲージを使用し、周波数はゼロであると仮定する
• 4.ローレンツ ゲージが使用され、無視できるほど低い非ゼロ周波数が想定されます。 ${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

このセクションの残りの部分では番号 4 が想定され、「準静的状態」と呼ばれることがあります。

円周方向の電流がない軸対称のトロイダルインダクタでは、Bフィールドは巻線内に完全に閉じ込められますが、Aフィールド (磁気ベクトル ポテンシャル) は閉じ込められません。図の矢印 1 は、対称軸上のベクトル ポテンシャルを示しています。放射状電流セクション a と b は軸から等距離ですが、反対方向を向いているため、打ち消し合います。同様に、セグメント c と d も打ち消し合います。すべての放射状電流セグメントは打ち消し合います。軸電流の場合は状況が異なります。トロイドの外側の軸電流は下向きで、トロイドの内側の軸電流は上向きです。トロイドの外側の各軸電流セグメントは、トロイドの内側の等しいが反対方向のセグメントと一致させることができます。内側のセグメントは外側のセグメントよりも軸に近いため、対称軸に沿って Aフィールドの正味の上向きの成分が存在します。

円形断面のトロイダルインダクタの周囲の磁気ベクトルポテンシャル（A）、磁束（B）、および電流密度（j）場を表しています。太い線は平均強度の高い磁力線を示します。コアの断面にある円は、図から出ていく磁束（B）を表します。コアのもう一方の断面にあるプラス記号は、図に入っていく磁束（B）を表します。Div A = 0 と仮定しています。

方程式、および (準静的条件、すなわち と仮定) は同じ形であるため、Aの直線および等高線はBと関連しており、これはBの直線および等高線がjと関連しているのと同じです。したがって、 B磁束のループの周りのAフィールドの描画(トロイダル インダクタで生成されるもの) は、電流のループの周りのBフィールドと定性的に同じです。 左の図は、トロイダル インダクタの周りのAフィールドを描いたものです。太い線は、平均強度の高い経路を示しています (経路が短いほど強度が高くなるため、経路積分は同じになります)。これらの線は、見た目を良くし、Aフィールドの全体的な外観を伝えるために描かれているだけです。 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} \ }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} \ }$ ${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}\rightarrow 0}$

変圧器の作用

E場とB場は、 A場と（スカラー電位）場 から計算できます ${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$^{[ 11 ]} および : ^{[ 11 ]}そして、巻線の外側の領域にBフィールドがない場合でも、その領域はゼロではないEフィールドで満たされます。 ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

一次側と二次側の間の望ましい磁場結合はdで表され、一次側と二次側の間の望ましくない電界結合は d で表されます。変圧器の設計者は、電界結合を最小限に抑えるよう努めます。本セクションの残りの部分では、特に指定がない限り、 d はゼロであると仮定します。 ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$ ${\displaystyle \nabla \phi \,}$ ${\displaystyle \nabla \phi \,}$

ストークスの定理^{[ 12 ]}が適用され、Aの経路積分はBの囲まれた磁束に等しく、経路積分Bは囲まれた電流の定数倍に等しい。

二次巻線に沿ったEの経路積分により、二次巻線の誘導 EMF (起電力) が得られます。

${\displaystyle \mathbf {EMF} =\oint _{path}\mathbf {E} \cdot {\rm {d}}l=-\oint _{path}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\cdot {\rm {d}}l=-{\frac {\partial }{\partial t}}\oint _{path}\mathbf {A} \cdot {\rm {d}}l=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{surface}\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}s}$

これは、EMF が巻線に囲まれた B 磁束の時間変化率に等しいことを示し、これが通常の結果です。

ポインティングベクトル結合

この図では、青い点は一次電流からの磁束Bが図から外に出る場所を示し、プラス記号は図に入る場所を示しています

この図は、トロイダル変圧器の半分の断面を示しています。準静的条件が想定されているため、各磁場の位相はどこでも同じです。変圧器、その巻線、およびすべてのものは、対称軸の周りに対称に分布しています。巻線は、円周方向の電流が流れないようになっています。一次電流によるBフィールドを完全に内部に閉じ込めるための要件は満たされています。コアと一次巻線は、灰褐色のトーラスで表されています。一次巻線は示されていませんが、断面における巻線の電流は、金色 (またはオレンジ色) の楕円で示されています。一次電流によって発生するBフィールドは、一次巻線 (つまり、コア) で囲まれた領域に閉じ込められます。左側の断面の青い点は、コア内のB磁束の線が左側の断面から出ていることを示しています。もう一方の断面では、青いプラス記号は、B磁束がそこに入ってきていることを示しています。一次電流から発生するEフィールドは、緑色の楕円で示されています。二次巻線は、対称軸に沿ってまっすぐ伸びる茶色の線で示されています。標準的な方法では、二次巻線の両端はトーラスから十分に離れた長い電線で接続されますが、絶対的な軸対称性を維持するために、装置全体は完全導電性の球体の中にあり、二次巻線は両端で球体の内側に「接地」されていると想定されています。二次巻線は抵抗線で作られているため、別途負荷はありません。二次巻線に沿った電界は二次巻線に電流を発生させ（黄色の矢印）、二次巻線周囲に磁界（青い楕円で表示）を発生させます。この磁界は変圧器コア内部を含む空間を満たすため、二次巻線が開回路になっていない限り、最終的には一次巻線から二次巻線まで連続した非ゼロの磁界が発生します。磁界（一次巻線電流から発生）と磁界（二次巻線電流から発生）の外積は、一次巻線から二次巻線に向かうポインティングベクトルを形成します。

注記

1. 「トロイダルコイルトランスと他のトランスの違いは何ですか？ | Custom Coils Blog」。Custom Coils Blog。2018年4月3日閲覧
2. 「トロイダルトランスフォーマー - Agile Magnetics, Inc」 Agile Magnetics, Inc. 2018年4月3日閲覧。
3. 「トロイダルトランスの仕組みは？」Sciencing . 2018年4月3日閲覧。
4. グリフィス（1989年、222ページ）
5. ライツ、ミルフォード、クリスティ（1993年、244ページ）
6. ハリデー＆レズニック（1962年、859ページ）
7. ヘイト（1989年、231ページ）
8. ファインマン (1964、p. 14_1-14_10)
9. ファインマン (1964、p. 15_1-15_16)
10. ファインマン（1964年、p.15_11）
11. ファインマン（1964年、p.15_15）
12. パーセル（1965年、249ページ）

参考文献

• ファインマン、リチャード・P、レイトン、ロバート・B、サンズ、マシュー（1964年）、ファインマン物理学講義第2巻、アディソン・ウェスレー、ISBN 0-201-02117-X{{citation}}：ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）
• グリフィス、デイヴィッド（1989年）『電気力学入門』プレンティス・ホール、ISBN 0-13-481367-7
• ハリデー、レズニック（1962年）、物理学 第2部、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ
• ヘイト、ウィリアム（1989年）、電磁気工学（第5版）、マグロウヒル、ISBN 0-07-027406-1
• パーセル、エドワード・M. (1965)、『電気と磁気』、バークレー物理学講座、第2巻、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-004859-1
• ライツ、ジョン・R.、ミルフォード、フレデリック・J.、クリスティ、ロバート・W. (1993)、『電磁気理論の基礎』、アディソン・ウェスレー、ISBN 0-201-52624-7

外部リンク

• インダクタとトランスの設計ガイド - 磁気
• トロイドの近似インダクタンスには式が含まれていますが、円形の巻線を前提としています
• トロイドトランスの設計上の考慮事項産業研究資料：フェライトトロイドトランスの設計
• トロイド巻線機。

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